Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/Komplexe Zahlen

Einführung

Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. Grundlegend wird die sogenannte Imaginäre Einheit, i, eingeführt. Sie ist wie folgt definiert:

$i^2:=-1$

Komplexe Ebene

Allgemein werden komplexe Zahlen dargestellt als:

$z=a+b\cdot i;a,b\in ℝ$

Die Zahlengerade, die alle reellen Zahlen enthielt ($b=0$), wird durch die Einführung komplexer Zahlen zu einer Ebene erweitert. Dies ist einfach vorstellbar, wenn man jeder komplexen Zahl einen Vektor zuordnet:

$z=a+b\cdot i\Rightarrow \overrightarrow{z}:=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$

a heisst Realteil($ℛ$), b (nicht ib) Imaginärteil($ℐ$) von z.

Da es sich um Punkte in einer Ebene handelt, können komplexe Zahlen auch in Polarform dargestellt werden(Eulersche Relation):

$\begin{array}{cc}z& =r\cdot e^{i\phi };r\in ℝ;\phi \in [-\pi ;\pi [\\ r& =|z|=\sqrt{x^2+y^2}\\ e^{i\phi }& =\cos (\phi )+i\sin (\phi )\end{array}$

Damit ergibt sich für Real- und Imaginärteil:

$\begin{array}{cc}ℛ\{z\}& =r\cdot \cos (\phi )\\ ℐ\{z\}& =r\cdot \sin (\phi )\\ \end{array}$