Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Verzerrungsabschätzungen für ebene elliptische Systeme

Satz 1 (Heinzsche Ungleichung)

Wir betrachten auf der Einheitskreisscheibe $B:=\{w=u+iv\in ℂ:|w|<1\}$ die ebene Abbildung $𝔷(u,v)=(x(u,v),y(u,v))\in C^2(B,{ℝ}^2)$. Diese genüge der DUGL

(1) $|\mathrm{\Delta }𝔷(u,v)|\le a|\mathrm{\nabla }𝔷(u,v){|}^2+b|\mathrm{\nabla }𝔷(u,v)|$ in $B$

mit Konstanten $a,b\in [0,+\mathrm{\infty })$, erfülle

(2) $|𝔷(u,v)|\le m$ in $B$

mit einer Konstante $m\in (0,+\mathrm{\infty })$ und sei gemäß

(3) $J_{𝔷}(u,v):=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}>0$ für alle $(u,v)\in B$

positiv orientiert. Schließlich sei $am<1$ erfüllt. Zu jedem $r\in (0,1)$ gibt es dann Konstanten $C^{\pm }(a,m,b,r)>0$, so dass gilt

(4) $C^{-}(a,b,m,r)|\mathrm{\nabla }𝔷(0){|}^{\frac{1+3r}{1-r}}\le |\mathrm{\nabla }𝔷(w)|\le C^{+}(a,b,m,r)|\mathrm{\nabla }𝔷(0){|}^{\frac{1-r}{1+3r}},w\in \overline{B_r}.$

Beweis

1. Zum Parameter $\lambda \in (0,+\mathrm{\infty })$ erhalten wir aus (1) die Abschätzung

(5) $|\mathrm{\Delta }𝔷(u,v)|\le a|\mathrm{\nabla }𝔷(u,v){|}^2+2\lambda |\mathrm{\nabla }𝔷(u,v)|\frac{b}{2\lambda }\le (a+{\lambda }^2)|\mathrm{\nabla }𝔷(u,v){|}^2+\frac{b^2}{4{\lambda }^2}$ in $B$.

Wir wählen $\lambda =\lambda (a,m)>0$ so klein, dass $(a+{\lambda }^2)m<1$ erfüllt ist. In der Kreisscheibe $B_R$ vom Radius $R:=\frac{1+r}{2}\in (r,1)$ entnehmen wir §2, Satz 1 die Abschätzung

(6) $|\mathrm{\nabla }𝔷(u,v)|\le C_1(a,b,m,r),w\in B_R.$

Einsetzen in (1) liefert die lineare DUGL

(7) $|\mathrm{\Delta }𝔷(u,v)|\le (a{C}_1(a,b,m,r)+b)|\mathrm{\nabla }𝔷(u,v)|=C_2(a,b,m,r)|\mathrm{\nabla }𝔷(u,v)|$ in $\overline{B_R}$.

2. Wir betrachten die Hilfsfunktion $f(w):=x_w(w)+i{y}_w(w):B\to ℂ$ und berechnen

$|f(w){|}^2=f(w)\overline{f(w)}=(x_w+i{y}_w)(x_{\bar{w}}-i{y}_{\bar{w}})=|x_w{|}^2+|y_w{|}^2-i(x_w{y}_{\bar{w}}-x_{\bar{w}}{y}_w)$

$=\frac{1}{4}|\mathrm{\nabla }𝔷(w){|}^2-\frac{i}{4}\{(x_u-i{x}_v)(y_u+i{y}_v)-(x_u+i{x}_v)(y_u-i{y}_v)\}=\frac{1}{4}|\mathrm{\nabla }𝔷(w){|}^2+\frac{1}{2}\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ in $B$.

Wegen (3) folgt

(8) $\frac{1}{2}|\mathrm{\nabla }𝔷(w)|<|f(w)|\le \frac{\sqrt{2}}{2}|\mathrm{\nabla }𝔷(w)|,w\in B.$

3. Aus (6)-(8) erhalten wir die Ungleichungen

(9) $|f_{\bar{w}}(w)|=\frac{1}{4}|\mathrm{\Delta }𝔷(w)|\le \frac{1}{4}{C}_2(a,b,m,r)|\mathrm{\nabla }𝔷(w)|\le \frac{1}{2}{C}_2(a,b,m,r)|f(w)|$ in $B_R$

und

(10) $0<|f(w)|\le \frac{\sqrt{2}}{2}|\mathrm{\nabla }𝔷(w)|\le \frac{\sqrt{2}}{2}{C}_1(a,b,m,r)$ in $B_R$.

Die Funktion $f(w)$ ist also in $B_R$ pseudoholomorph mit den Konstanten

$M=M(a,b,m,r):=\frac{1}{2}{C}_2(a,b,m,r),K=K(a,b,m,r):=\frac{\sqrt{2}}{2}{C}_1(a,b,m,r).$

Wegen $\frac{R-r}{R+r}=\frac{1-r}{1+3r}$ und $\frac{R+r}{R-r}=\frac{1+3r}{1-r}$ gilt nun die Abschätzung

(11) $K^{-\frac{2r}{R-r}}{e}^{-\frac{8MR(R+r)}{R-r}}|f(0){|}^{\frac{1+3r}{1-r}}\le |f(w)|\le K^{\frac{2r}{R+r}}{e}^{8MR}|f(0){|}^{\frac{1-r}{1+3r}}$

in $\overline{B_r}$. Mit Hilfe von (8) finden wir dann die behauptete Ungleichung (4) mit den a-priori-Konstanten $C^{\pm }(a,b,m,r)>0$.

q.e.d.

Definition 1

Zu Konstanten $a,b\in [0,+\mathrm{\infty })$ und $N\in (0,+\mathrm{\infty }]$ bezeichnen wir mit $\mathrm{\Gamma }(B,a,b,N)$ die folgende Klasse von Abbildungen:

i) $𝔷(w)=(x(u,v),y(u,v)):\bar{B}\to {ℝ}^2\in C^2(B)\cap C^0(\bar{B})$ bildet $\partial B$ topologisch und positiv orientiert auf $\partial B$ ab;

ii) $𝔷$ ist nullpunkttreu, d. h. $𝔷(0)=(0,0)$;

iii) es ist

$J_{𝔷}(w)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}>0$ für alle $w=u+iv\in B$;

iv) $𝔷$ genügt der DUGL

$|\mathrm{\Delta }𝔷(u,v)|\le a|\mathrm{\nabla }𝔷(u,v){|}^2+b|\mathrm{\nabla }𝔷(u,v)|$ in $B$;

v) für das Dirichletintegral von $𝔷$ gilt

$D(𝔷):=\underset{B}{\iint }(|{𝔷}_u(u,v){|}^2+|{𝔷}_v(u,v){|}^2)dudv\le N.$

Satz 2 (Verzerrungsabschätzung von Heinz)

Die Parameter $a,b\in [0,+\mathrm{\infty }),N\in (0,+\mathrm{\infty })$ und $r\in (0,1)$ seien gewählt. Dann gibt es Konstanten $0<\mathrm{\Theta }(a,b,N,r)\le \mathrm{\Lambda }(a,b,N,r)<+\mathrm{\infty }$, so dass für jede Abbildung $𝔷=𝔷(w)\in \mathrm{\Gamma }(B,a,b,N)$ die Ungleichung

(12) $\mathrm{\Theta }(a,b,N,r)\le |\mathrm{\nabla }𝔷(w)|\le \mathrm{\Lambda }(a,b,N,r)$ für alle $w\in \overline{B_r}$

erfüllt ist. Weiter ist der Stetigkeitsmodul der Abbildungen in $\bar{B}$ gemäß der u. a. Formel (13) abgeschätzt.

Beweis

Wir zeigen zunächst die Zwischenbehauptung: Für alle $𝔷=𝔷(w)\in \mathrm{\Gamma }(B,a,b,N)$ und $\delta \in (0,\frac{1}{4})$ gilt

(13) $|𝔷(w_1)-𝔷(w_0)|\le 4\sqrt{\frac{\pi N}{\log \frac{1}{\delta }}}$ für alle $w_0,w_1\in \bar{B}$ mit $|w_0-w_1|\le \delta$.

Wir können o. B. d. A.

$4\sqrt{\frac{\pi N}{\log \frac{1}{\delta }}}<2$

annehmen, da anderenfalls (13) trivial wäre. Für ein beliebiges $w_0\in \bar{B}$ finden wir nach dem Courant-Lebesgueschen Oszillationslemma ein ${\delta }^{*}\in [\delta ,\sqrt{\delta }]$, so dass gilt

(14) $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{w\in B}{|w-w_0|={\delta }^{*}}}{\int }|d𝔷(w)|\le 2\sqrt{\frac{\pi N}{\log \frac{1}{\delta }}}.$

Wir erklären die Mengen

$\mathrm{\Omega }:=\{w\in \bar{B}:|w-w_0|\le {\delta }^{*}\},\gamma :=\{w\in \bar{B}:|w-w_0|={\delta }^{*}\}$

sowie ihre topologischen Bilder $\hat{\mathrm{\Omega }}:=𝔷(\mathrm{\Omega }),\hat{\gamma }:=𝔷(\gamma )$ und unterscheiden
Fall a: $\mathrm{\Omega }\subset B$. Dann folgt $\partial \hat{\mathrm{\Omega }}=\hat{\gamma }$ und die Länge von $\hat{\gamma }$ erfüllt wegen (14)

$L(\hat{\gamma })\le 2\sqrt{\frac{\pi N}{\log \frac{1}{\delta }}}.$

Da $𝔷$ topologisch ist, erhalten wir

(15) $|𝔷(w_1)-𝔷(w_0)|\le 2\sqrt{\frac{\pi N}{\log \frac{1}{\delta }}}$ für alle $w_1\in \mathrm{\Omega }$.

Fall b: $\partial \mathrm{\Omega }\cap \partial B\ne \mathrm{\varnothing }$. Dann gibt es also einen Punkt $\widehat{𝔷}\in \hat{\gamma }\cap \partial B$ und (14) liefert

$\hat{\gamma }\subset K:=\{\zeta \in ℂ:|\zeta -\widehat{𝔷}|\le 2\sqrt{\frac{\pi N}{\log \frac{1}{\delta }}}\}.$

Wegen $|\widehat{𝔷}|=1$ und

$2\sqrt{\frac{\pi N}{\log \frac{1}{\delta }}}<1$

ist $0\notin K$ erfüllt und wegen ${\delta }^{*}\le \sqrt{\delta }<\frac{1}{2}$ und $\partial \mathrm{\Omega }\cap \partial B\ne \mathrm{\varnothing }$ gilt $0\notin \mathrm{\Omega }$. Da die Abbildung $𝔷:\bar{B}\to \bar{B}$ topologisch und nullpunkttreu ist, liefert somit $\hat{\gamma }\subset K$ die Inklusion $\hat{\mathrm{\Omega }}\subset K$. Wir erhalten für alle $w_1\in \mathrm{\Omega }$ die Abschätzung

(16) $|𝔷(w_1)-𝔷(w_0)|\le |𝔷(w_1)-\widehat{𝔷}|+|\widehat{𝔷}-𝔷(w_0)|\le 4\sqrt{\frac{\pi N}{\log \frac{1}{\delta }}}.$

Beachten wir noch $\delta \le {\delta }^{*}$, so ergeben (15), (16) den Beweis der Zwischenbehauptung (13).

2. Die Funktion $𝔷=𝔷(w)\in \mathrm{\Gamma }(B,a,b,N)$ genügt der DUGL

(17) $|\mathrm{\Delta }𝔷|\le a|\mathrm{\nabla }𝔷(w){|}^2+b|\mathrm{\nabla }𝔷(w)|\le (a+1)|\mathrm{\nabla }𝔷(w){|}^2+\frac{b^2}{4}$ in $B$.

Wir wählen nun $r\in (0,1)$ so groß, dass $\delta :=\frac{1-r}{2}>0$ neben $\delta \in (0,\frac{1}{4})$ auch die Bedingung

(18) $(a+1)4\sqrt{\frac{\pi N}{\log \frac{1}{\delta }}}\le \frac{1}{2}$

erfüllt. Zu beliebigem Punkt $\tilde{w}\in \overline{B_{1-\delta }}=\overline{B_{\frac{r+1}{2}}}$ betrachten wir die Hilfsfunktion

(19) $𝔵(w):=𝔷(w)-𝔷(\tilde{w}),w\in \mathrm{\Omega }:=\{w\in \bar{B}:|w-\tilde{w}|\le \delta \}.$

Wegen (13) und (17) haben wir dann

(20) $|\mathrm{\Delta }𝔵(w)|\le (a+1)|\mathrm{\nabla }𝔵(w){|}^2+\frac{b^2}{4}$ in $\stackrel{\circ }{\mathrm{\Omega }},\underset{w\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|𝔵(w)|\le 4\sqrt{\frac{\pi N}{\log \frac{1}{\delta }}}.$

Beachten wir noch (18), so liefert die Gradientenabschätzung von Heinz aus §2, Satz 1 die Ungleichung

(21) $|\mathrm{\nabla }𝔷(\tilde{w})|=|\mathrm{\nabla }𝔵(\tilde{w})|\le \tilde{\mathrm{\Lambda }}(a,b,N,\delta )=:\mathrm{\Lambda }(a,b,N,r)$ für alle $\tilde{w}\in \overline{B_{\frac{r+1}{2}}}$.

Hiermit erhalten wir die behauptete Abschätzung (12) nach oben.

3. Wir wählen nun $r\in (0,1)$ so groß, dass $\delta =\frac{1-r}{2}$ neben (18) noch $\delta \in (0,\frac{1}{8})$ und

$4\sqrt{\frac{\pi N}{\log \frac{1}{2\delta }}}\le \frac{1}{2}$

erfüllt. Aus (13) ersehen wir dann

(22) $|𝔷(w)|\ge \frac{1}{2}$ für alle $w\in ℂ$ mit $r=1-2\delta \le |w|\le 1$.

Zu einem $w_0\in \partial B_r$ betrachten wir nun die Kurve $𝔶(t):=𝔷(t{w}_0),0\le t\le 1$ und berechnen

$\frac{1}{2}\le |𝔷(w_0)|=|𝔷(w_0)-𝔷(0)|\le \underset{0}{\overset{1}{\int }}|{𝔶}^{\prime }(t)|dt=|{𝔶}^{\prime }(t_0)|\le |\mathrm{\nabla }𝔷(t_0{w}_0)|$

mit einem $t_0\in [0,1]$. Es gibt also einen Punkt a(23) $w_{*}:=t_0{w}_0\in \overline{B_r}$ mit $|\mathrm{\nabla }𝔷(w_{*})|\ge \frac{1}{2}$.

4. Wegen (21) genügt $𝔷$ der linearen DUGL

(24) $|\mathrm{\Delta }𝔷(u,v)|\le (a\mathrm{\Lambda }(a,b,N,r)+b)|\mathrm{\nabla }𝔷(u,v)|$ in $B_{\frac{r+1}{2}}$.

Mit der Heinzschen Ungleichung (für $a=0$ und $B\to B_{\frac{r+1}{2}},B_r\to B_r$) erhalten wir in $\overline{B_r}$

(25) $C^{-}(a,b,N,r)|\mathrm{\nabla }𝔷(0){|}^{{\varrho }_{-}(r)}\le |\mathrm{\nabla }𝔷(w)|\le C^{+}(a,b,N,r)|\mathrm{\nabla }𝔷(0){|}^{{\varrho }_{+}(r)}$

mit gewissen Exponenten ${\varrho }_{\pm }>0$ und Konstanten $C^{\pm }(a,b,N,r)>0$. Beachten wir schließlich noch (23), so finden wir mit (25) eine Konstante $\mathrm{\Theta }(a,b,N,r)>0$, so dass

(26) $|\mathrm{\nabla }𝔷(w)|\ge \mathrm{\Theta }(a,b,N,r)$ für alle $w\in B_r$

für beliebige $𝔷\in \mathrm{\Gamma }(B,a,b,N)$ richtig ist. Somit ist auch die Abschätzung nach unten in (12) bewiesen.

q.e.d.