Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Gradientenabschätzungen für nicht lineare elliptische Systeme

Hilfssatz 1 (Innere Energieabschätzung)

Sei $aM<1$ erfüllt und $\vartheta \in (0,1)$ gewählt. Weiter erfülle die Kreisscheibe $B_R(w_0):=\{w\in ℂ:|w-w_0|<R\}$ mit $w_0\in \mathrm{\Omega }$ und $R>0$ die Inklusion $B_R(w_0)\subset \mathrm{\Omega }$. Dann gilt für alle Lösungen die Ungleichung

(1) $\underset{B_{\vartheta R}(w_0)}{\iint }|\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^{2}dudv\le \frac{1}{-\log \vartheta }\{\frac{2\pi M}{1-aM}\underset{w\in \partial B_R(w_0)}{\sup }|𝔵(w)-𝔵(w_0)|+\frac{\pi bM{R}^2}{2(1-aM)}\}.$

Beweis

Für beliebige Funktionen $\varphi \in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^2(\bar{\mathrm{\Omega }})$ haben wir aus Kapitel V, §2 die Identität

(2) $\varphi (w_0)=\frac{1}{2\pi R}\underset{\partial B_R(w_0)}{\int }\varphi (w)d\sigma (w)-\frac{1}{2\pi }\underset{B_R(w_0)}{\iint }(\log \frac{R}{|w-w_0|})\mathrm{\Delta }\varphi (w)dudv.$

Für $\varphi (w):=|w-w_0{|}^2=(u-u_0{)}^2+(v-v_0{)}^2,w\in {ℝ}^2$ erhalten wir

$0=R^2-\frac{1}{2\pi }\underset{B_R(w_0)}{\iint }(\log \frac{R}{|w-w_0|})4dudv$

bzw.

(3) $\underset{B_R(w_0)}{\iint }\log \frac{R}{|w-w_0|}dudv=\frac{\pi R^2}{2}.$

Setzen wir nun $\varphi =f(u,v)=|𝔵(u,v){|}^2$ in (2) ein, so berechnen wir

$\frac{1-aM}{\pi }\underset{B_R(w_0)}{\iint }(\log \frac{R}{|w-w_0|})|\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^{2}dudv-\frac{bM{R}^2}{2}$

$\le \frac{1}{2\pi }\underset{B_R(w_0)}{\iint }(\log \frac{R}{|w-w_0|})\mathrm{\Delta }f(u,v)dudv=\frac{1}{2\pi R}\underset{\partial B_R(w_0)}{\int }(f(w)-f(w_0))d\sigma (w)$

$\le \frac{1}{2\pi R}\underset{\partial B_R(w_0)}{\int }|𝔵(w)-𝔵(w_0)||𝔵(w)+𝔵(w_0)|d\sigma (w)\le 2M\underset{w\in \partial B_R(w_0)}{\sup }|𝔵(w)-𝔵(w_0)|.$

Somit folgt

(4) $\underset{B_R(w_0)}{\iint }(\log \frac{R}{|w-w_0|})|\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^{2}dudv\le \frac{2\pi M}{1-aM}\underset{w\in \partial B_R(w_0)}{\sup }|𝔵(w)-𝔵(w_0)|+\frac{\pi bM{R}^2}{2(1-aM)}.$

Diese Ungleichung impliziert (1).

q.e.d.

Hilfssatz 2 (Rand-Energieabschätzung)

Es gelte $aM<1$ und $\vartheta \in (0,1)$ sei gewählt. Die Kreisscheibe $B_R(w_0)$ mit $w_0\in ℝ$ und $R>0$ erfülle

(5) $B_R(w_0)\cap \mathrm{\Omega }=\{w\in B_R(w_0):\mathrm{Im}w>0\}=:H_R(w_0).$

Wir setzen $\partial H_R(w_0)=C_R(w_0)\cup I_R(w_0)$ mit

$C_R(w_0):=\{w\in \partial B_R(w_0):\mathrm{Im}w\ge 0\},I_R(w_0):=[w_0-R,w_0+R].$

Dann gilt für alle Lösungen $𝔵\in C^1(\bar{\mathrm{\Omega }})$, die der Randbedingung

$𝔵(u,0)=0$ für alle $u\in I_R(w_0)$

genügen, die Abschätzung

(6) $\underset{H_{\vartheta R}(w_0)}{\iint }|\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^{2}dudv\le \frac{1}{-\log \vartheta }\{\frac{\pi M}{1-aM}\underset{w\in C_R(w_0)}{\sup }|𝔵(w)-𝔵(w_0)|+\frac{\pi bM{R}^2}{4(1-aM)}\}.$

Beweis

1. Durch Spiegelung setzen wir $𝔵$ fort zu

(7) $\widehat{𝔵}(u,v):=\{\begin{array}{cc}𝔵(u,v),& w=u+iv\in \overline{H_R(w_0)}\\ 𝔵(u,-v),& w\in \overline{B_R(w_0)}\setminus \overline{H_R(w_0)}\end{array}.$

Die Funktion $\widehat{𝔵}(u,v)$ ist stetig in $\overline{B_R(w_0)}$ und genügt in $B_R(w_0)\setminus I_R(w_0)$ der Differentialungleichung (kurz DUGL)

(8) $|\mathrm{\Delta }𝔵(u,v)|\le a|\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^2+b$ für alle $(u,v)\in \mathrm{\Omega }$.

Allerdings kann ${𝔵}_v(u,v)$ auf $I_R(w_0)$ eine Sprungstelle haben. Wir betrachten die Funktion

(9) $\varphi (u,v):=|\widehat{𝔵}(u,v){|}^2,(u,v)\in \overline{B_R(w_0)},$

welche in $B_R(w_0)\setminus I_R(w_0)$ die DUGL

(10) $\mathrm{\Delta }f(u,v)\ge 2(1-aM)|\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^2-2bM$

erfüllt. Weiter ermitteln wir

(11) $\varphi \in C^1(\overline{B_R(w_0)})$ und $\varphi (u,0)=0={\varphi }_v(u,0)$ in $I_R(w_0)$.

Wir zeigen nun, dass Formel (2) auch für $\varphi =|\widehat{𝔵}{|}^2$ gilt. Fahren wir dann wie im Beweis von Hilfssatz 1 fort, so erhalten wir (1) für die gespiegelte Funktion $\widehat{𝔵}(w)$. Die Abschätzung (6) folgt dann aus Symmetriegründen.

2. Für hinreichend kleine $0<\epsilon <{\epsilon }_0$ erklären wir die Mengen

$B_{\epsilon }^{\pm }:=\{w\in ℂ:0<\epsilon <|w-w_0|<R,\pm \mathrm{Im}w>0\}$

und setzen $r:=|w-w_0|\in [0,R]$. Im Punkt $w_0$ verwenden wir die Greensche Funktion

(12) $\psi (w)=\psi (u,v)=\frac{1}{2\pi }\log \frac{R}{|w-w_0|}=\frac{1}{2\pi }(\log R-\log r),w\in \overline{B_R(w_0)}\setminus \{w_0\}.$

Mit der Greenschen Formel berechnen wir für $0<\epsilon <{\epsilon }_0$

(13) $\frac{1}{2\pi }\underset{B_{\epsilon }^{\pm }}{\iint }(\log \frac{R}{|w-w_0|})\mathrm{\Delta }\varphi (u,v)dudv=\underset{B_{\epsilon }^{\pm }}{\iint }(\psi \mathrm{\Delta }\varphi -\varphi \mathrm{\Delta }\psi )dudv=\underset{\partial B_{\epsilon }^{\pm }}{\int }(\psi \frac{\partial \varphi }{\partial \nu }-\varphi \frac{\partial \psi }{\partial \nu })d\sigma .$

Mit den Randbedingungen (11), (12) für $\varphi$ und $\psi$ folgt aus (13) durch Addition

$\frac{1}{2\pi }\underset{B_{\epsilon }^{+}\cup B_{\epsilon }^{-}}{\iint }(\log \frac{R}{|w-w_0|})\mathrm{\Delta }\varphi (u,v)dudv=\frac{1}{2\pi R}\underset{\partial B_R(w_0)}{\int }\varphi (w)d\sigma (w)$

$-\frac{1}{2\pi \epsilon }\underset{|w-w_0|=\epsilon }{\int }\varphi (w)d\sigma (w)+\frac{1}{2\pi }\underset{|w-w_0|=\epsilon }{\int }(\log \frac{R}{\epsilon })\frac{\partial \varphi (w)}{\partial \nu }d\sigma (w)$

für $0<\epsilon <{\epsilon }_0$. Wegen $\varphi \in C^1(\overline{B_R(w_0)})$ liefert der Grenzübergang $\epsilon \to 0+$

$\varphi (w_0)=\frac{1}{2\pi R}\underset{\partial B_R(w_0)}{\int }\varphi (w)d\sigma (w)-\frac{1}{2\pi }\underset{B_R(w_0)}{\int }(\log \frac{R}{|w-w_0|})\mathrm{\Delta }\varphi (u,v)dudv.$

Wie in Teil 1 des Beweises beschrieben folgt nun die Behauptung.

q.e.d.

Satz 1 (Gradientenabschätzung von Heinz)

Im beschränkten Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^2$ sei eine Lösung $𝔵=𝔵(u,v)$ mit $aM<1$ gegeben. Wir erklären

$\delta (w):=\mathrm{dist}\{w,\partial \mathrm{\Omega }\}=\underset{\zeta \in ℂ\setminus \mathrm{\Omega }}{\inf }|\zeta -w|,w\in \mathrm{\Omega }undd:=\underset{w\in \mathrm{\Omega }}{\sup }\delta (w).$

Dann gibt es eine Konstante $C=C(a,M,b{d}^2)$, so dass die Ungleichung

(14) $\delta (w)|\mathrm{\nabla }𝔵(w)|\le C(a,M,b{d}^2)$ für alle $w\in \mathrm{\Omega }$

erfüllt ist.

Beweis

1. Wir nehmen zunächst $𝔵=𝔵(u,v)\in C^1(\bar{\mathrm{\Omega }},{ℝ}^n)$ an und betrachten die stetige Funktion

(15) $\varphi (w):=\delta (w)|𝔶(w)|,w\in \mathrm{\Omega }$

mit $𝔶(w)={𝔵}_w(w),w\in \bar{\mathrm{\Omega }}$. Diese nimmt wegen $\varphi {|}_{\partial \mathrm{\Omega }}=0$ ihr Maximum in einem inneren Punkt $w_0\in \mathrm{\Omega }$ an. Setzen wir $R:=\delta (w)>0$, so erhalten wir $B_R(w_0)\subset \mathrm{\Omega }$. Für beliebiges $\vartheta \in (0,1)$ finden wir ein $\lambda =\lambda (\vartheta )\in [\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$, so dass

(16) $R\left|\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial B_{\lambda \vartheta R}(w_0)}{\int }\frac{𝔶(w)}{w-w_0}dw\right|\le \frac{c_1(a,M,b{d}^2)}{\vartheta \sqrt{-\log \vartheta }}+\frac{b{d}^2}{8}+\frac{a}{2}\vartheta R^2\underset{w\in B_{\vartheta R}(w_0)}{\sup }|𝔶(w){|}^2$

mit der Konstante

$c_1(a,M,b{d}^2):=\frac{8\sqrt{M^2+\frac{1}{8}bM{d}^2}}{\sqrt{\log 4}\sqrt{1-aM}}$

richtig ist. Kapitel IV, §5 entnehmen wir auf der Kreisscheibe $B:=B_{\lambda \vartheta R}(w_0)$ vom Radius $\varrho :=\lambda \vartheta R\in (0,R)$ die Integraldarstellung

(17) $𝔶(w_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial B}{\int }\frac{𝔶(w)}{w-w_0}dw-\frac{1}{\pi }\underset{B}{\iint }\frac{{𝔶}_{\bar{w}}(w)}{w-w_0}dudv.$

Das erste Integral in (17) haben wir in (16) abgeschätzt. Führen wir Polarkoordinaten ein und beachten

(18) $|{𝔶}_{\bar{w}}(w)|\le a|𝔶(w){|}^2+\frac{1}{4}b$ für alle $w\in \mathrm{\Omega }$,

so erhalten wir für das zweite Integral in (17)

(19) $\frac{1}{\pi }\left|\underset{B}{\iint }\frac{{𝔶}_{\bar{w}}(w)}{w-w_0}dudv\right|\le a\vartheta R^2\underset{w\in B_{\vartheta R}(w_0)}{\sup }|𝔶(w){|}^2+\frac{1}{4}b{d}^2.$

2. Aus (15)-(17) und (19) folgt für alle $\vartheta \in (0,1)$ die Abschätzung

(20) $\varphi (w_0)\le \frac{c_1(a,M,b{d}^2)}{\vartheta \sqrt{-\log \vartheta }}+\frac{3}{8}b{d}^2+\frac{3a}{2}\frac{\vartheta }{(1-\vartheta {)}^2}\varphi (w_0{)}^2.$

3. Für $\vartheta \in (0,1)$ erklären wir nun

$\alpha (\vartheta ):=\frac{3a}{2}\frac{\vartheta }{(1-\vartheta {)}^2}>0$ mit $\underset{\vartheta \to 0+}{\lim }\alpha (\vartheta )=0$

und

$\beta (\vartheta ):=\frac{c_1(a,M,b{d}^2)}{\vartheta \sqrt{-\log \vartheta }}+\frac{3}{8}b{d}^2>0$ mit $\underset{\vartheta \to 0+}{\lim }\beta (\vartheta )=+\mathrm{\infty }$.

Wir ermitteln

$\alpha (\vartheta )\beta (\vartheta )=\frac{3a{c}_1(a,M,b{d}^2)}{2(1-\vartheta {)}^2\sqrt{-\log \vartheta }}+\frac{9ab{d}^2}{16(1-\vartheta {)}^2}\to 0,\vartheta \to 0+.$

Für $t:=\varphi (w_0)$ erhalten wir die Ungleichung

(21) $\alpha (\vartheta )t^2-t+\beta (\vartheta )\ge 0$ für alle $\vartheta \in (0,1)$.

Äquivalent hierzu ist

(22) ${(t-\frac{1}{2\alpha (\vartheta )})}^2\ge \frac{1-4\alpha (\vartheta )\beta (\vartheta )}{4\alpha (\vartheta {)}^2}$ für alle $\vartheta \in (0,1)$.

Es existiert nun ein ${\vartheta }_0={\vartheta }_0(a,M,b{d}^2)\in (0,1)$ mit

(23) $0<4\alpha (\vartheta )\beta (\vartheta )\le \frac{3}{4}$ für alle $\vartheta \in (0,{\vartheta }_0]$,

woraus

(24) $\sqrt{1-4\alpha (\vartheta )\beta (\vartheta )}\ge \frac{1}{2}$ für alle $\vartheta \in (0,{\vartheta }_0]$

folgt. Setzen wir

${\chi }^{\pm }(\vartheta ):=\frac{1\pm \sqrt{1-4\alpha (\vartheta )\beta (\vartheta )}}{2\alpha (\vartheta )},\vartheta \in (0,{\vartheta }_0],$

so liefert (22) für jedes $\vartheta \in (0,{\vartheta }_0]$ die Alternative

(25) $t\le {\chi }^{-}(\vartheta )$ oder $t\ge {\chi }^{+}(\vartheta )$.

Da die Funktionen ${\chi }^{-}(\vartheta )<{\chi }^{+}(\vartheta ),\vartheta \in (0,{\vartheta }_0]$ stetig von $\vartheta$ auf $(0,{\vartheta }_0]$ abhängen und $\underset{\vartheta \to 0+}{\lim }{\chi }^{+}(\vartheta )=+\mathrm{\infty }$ erfüllt ist, folgt

$t\le {\chi }^{-}(\vartheta )$ für alle $\vartheta \in (0,{\vartheta }_0]$.

Wir erhalten

(26) $t\le {\chi }^{-}({\vartheta }_0)={\chi }^{-}({\vartheta }_0(a,M,b{d}^2))=:\frac{1}{2}C(a,M,b{d}^2)$

und somit

$\underset{w\in \mathrm{\Omega }}{\sup }\delta (w)|\mathrm{\nabla }𝔵(w)|=2\underset{w\in \mathrm{\Omega }}{\sup }\delta (w)|𝔶(w)|=2\underset{w\in \mathrm{\Omega }}{\sup }\varphi (w)=2\varphi (w_0)=2t\le C(a,M,b{d}^2).$

Dies ist die gesuchte Abschätzung (14) im Falle $𝔵\in C^1(\bar{\mathrm{\Omega }},{ℝ}^n)$.

4. Es sei nun $𝔵\in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^0(\bar{\mathrm{\Omega }})$. Dann wenden wir die Abschätzung (14) zunächst auf die Menge

${\mathrm{\Omega }}_{\epsilon }:=\{w\in \mathrm{\Omega }:\mathrm{dist}\{w,\partial \mathrm{\Omega }\}>\epsilon \}$ für $0<\epsilon <{\epsilon }_0$

an und erhalten

(27) $(\delta (w)-\epsilon )|\mathrm{\nabla }𝔵(w)|\le C(a,M,b{d}^2)$ für alle $w\in {\mathrm{\Omega }}_{\epsilon }$

mit $0<\epsilon <{\epsilon }_0$. Für $\epsilon \to 0+$ folgt dann

$\delta (w)|\mathrm{\nabla }𝔵(w)|\le C(a,M,b{d}^2)$ für alle $w\in \mathrm{\Omega }$.

q.e.d.

Satz 2 (Innere $C^{1+\alpha }$-Abschätzung

Sei eine Lösung $𝔵=𝔵(u,v)$ mit $aM<1$ im beschränkten Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^2$ gegeben. Für beliebiges $\epsilon >0$ betrachten wir die kompakte Menge

$K_{\epsilon }:=\{w\in \mathrm{\Omega }:\mathrm{dist}\{w,\partial \mathrm{\Omega }\}\ge \epsilon \}$

und $\alpha \in (0,1)$ sei beliebig gewählt. Dann gibt es eine Konstante $C=C(a,M,b,d,\epsilon ,\alpha )\in (0,+\mathrm{\infty })$, so dass gilt

(28) $\Vert 𝔵{\Vert }_{C^{1+\alpha }(K_{\epsilon })}:=\underset{w\in K_{\epsilon }}{\sup }|𝔵(w)|+\underset{w\in K_{\epsilon }}{\sup }|\mathrm{\nabla }𝔵(w)|+\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{w_1,w_2\in K_{\epsilon }}{w_1\ne w_2}}{\sup }\frac{|\mathrm{\nabla }𝔵(w_1)-\mathrm{\nabla }𝔵(w_2)|}{|w_1-w_2{|}^{\alpha }}\le C.$

Beweis

Zunächst haben wir die Abschätzung

$\underset{w\in K_{\epsilon }}{\sup }|𝔵(w)|\le M$

und Satz 1 liefert die Gradientenabschätzung

(29) $|\mathrm{\nabla }𝔵(w)|\le \frac{2C(a,M,b{d}^2)}{\epsilon }$ für alle $w\in K_{\frac{\epsilon }{2}}$.

Nach Kapitel IV, §5 haben wir für alle $w_0\in K_{\epsilon }$ die Darstellung

(30) ${𝔵}_w(w_{*})=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial B_{\frac{\epsilon }{2}}(w_0)}{\int }\frac{{𝔵}_w(w)}{w-w_{*}}dw-\frac{1}{\pi }\underset{B_{\frac{\epsilon }{2}}(w_0)}{\int }\frac{{𝔵}_{w\bar{w}}(w)}{w-w_{*}}dudv,w_{*}\in B_{\frac{\epsilon }{2}}(w_0).$

Wegen (29) genügt das erste Parameterintegral einer Lipschitzbedingung in $B_{\frac{\epsilon }{4}}(w_0)$ mit einer von $a,M,b{d}^2,\epsilon$ abhängigen Lipschitzkonstante. Weiter ist wegen (29)

$\underset{w\in K_{\frac{\epsilon }{2}}}{\sup }|{𝔵}_{w\bar{w}}(w)|\le C_1(a,M,b,d,\epsilon )<+\mathrm{\infty }$

richtig. Nach der Hadamardschen Abschätzung (vgl. Kapitel IV, §4, Satz 7) erfüllt dann das zweite Parameterintegral in $B_{\frac{\epsilon }{4}}(w_0)$ eine Hölderbedingung abhängig von $a,M,b,d,\epsilon ,\alpha$. Wir erhalten somit aus (30) die Ungleichung

(31) $|{𝔵}_w(w_1)-{𝔵}_w(w_2)|\le C_2(a,M,b,d,\epsilon ,\alpha )|w_1-w_2{|}^{\alpha }$ für alle $w_1,w_2\in K_{\frac{3}{4}\epsilon }\subset \mathrm{\Omega }$.

Insgesamt folgt die Abschätzung (28).

q.e.d.