Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/0

Angenommen $0$ besitzt eine Primfaktordarstellung:

$0=\prod _{r=1}^k{p_r}^{s_r}\text{weil }\mathbb{Z}\text{ Integrationsbereich}\Rightarrow \mathrm{\exists }i\in \{1,...,k\}:p_i=0$

Aber $0$ ist per Def. keine Primzahl, also existiert keine solche Darstellung.