Kurs:Lineare Algebra I/Anwendungen des Gauß'schen Algorithmus (zur Wiederholung)

Vorbemerkung: Elementare Zeilenoperationen entsprechen einer Multiplikation mit einer regulären Matrix C von links, die sich auch durch die gleichen Zeilenoperatioen bestimmen lässt:

$(A|I_m)\Rightarrow ...\Rightarrow (CA|C)$

und analog für Spaltenoperationen:

$\left(\begin{array}{c}A\\ I_m\end{array}\right)\Rightarrow ...\Rightarrow \left(\begin{array}{c}AC\\ C\end{array}\right)$

Es gelten die folgenden Bezeichnungen: Sei $V$ ein n-dimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis $B=\{b_1,...,b_n\}$.

Für eine Menge von Vektoren $v_1,...,v_k\in V$ gelte $v_j=a_{1j}{b}_1+...+a_{nj}{b}_n$, d.h. $(v_j{)}_B=\left(\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ ⋮\\ a_{nj}\end{array}\right)$. Der wichtigste Fall ist $V=K^n$ und $B=I$ die kanonische Basis. $A=(a_{ij})\in Mat(n,k;K)$ sei die Matrix aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren $v_1,...,v_k$.

Basisbestimmung

Gegeben: $v_1,...,v_k\in V$ .

Gesucht: Basis von $Lin(v_1,...,v_k)\subset V$ .

Verfahren: Bringe $A^t$ auf Zeilenstufenform Ã$t^{}$. Die vom Nullvektor verschiedenen Spalten von à bilden die Koordinaten einer Basis.

Basisauswahl

Gegeben: $v_1,...,v_k\in V$ .

Gesucht: Maximale linear unabhängige Teilmenge.

Verfahren: Bringe A auf Zeilenstufenfom Ã. Diejenigen Vektoren $v_j$ , deren Index j einer Stufenspalte in à entspricht, bilden eine gesuchte Teilmenge.

Basisergänzung

Gegeben: $v_1,...,v_k\subset V$ linear unabhängig, sowie eine Basis B von V.

Gesucht: Vektoren $v_{k+1},...,v_n$, so dass $\{v_1,...,v_n\}$ eine Basis von V.

Verfahren: Bringe (A|B) auf Zeilenstufenfom Ã. Diejenigen $b_j$ der Basis B, deren Index j die Eigenschaft hat, dass die (k + j)-te Spalte von à eine Stufenspalte ist, bilden eine Basisergänzung.

Rang und Basis des Bildes einer linearen Abbildung

Gegeben: Sei $A=M(f)$ eine Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung $f:V\to W$.

Gesucht: $rg(f):=dim(Im(f))$ und eine Basis vom $Im(f)=f(V)$.

Verfahren: Bringe A in Spaltenstufenform Ã, dann ist $rg(f)$ die Anzahl der vom Nullvektor verschiedenen Zeilen von à und die Spalten von A, deren Index Stufenindex von à ist, bilden eine Basis von $Im(f)$.

Lösungsbasis eines homogenen Systems

Gegeben: $Ax=0$

Gesucht: Basis vom Unterraum $\{x|Ax=0\}$.

Verfahren: Überführe $A^t$ in eine Zeilenstufenform A' .

$(A^t|I_n)\Rightarrow ...\Rightarrow (A^{\prime }|C)=\left(\begin{array}{ccc}A{\text{'}}_1& |& C_1\\ 0& |& C_2\end{array}\right)$,

dann sind die Zeilen von $C_2$ eine Lösungsbasis.

Basis des Kerns einer linearen Abbildung

Gegeben: siehe (4.)

Gesucht: Basis von $Ker(f)=f^{-1}(0)$.

Verfahren: Bestimme eine Lösungsbasis von $Ax=0$. Diese sind die Koordinaten einer Basis von $Ker(f)$.

Inverse einer quadratischen Matrix

Gegeben: $A\in Mat(n,n;K)$.

Gesucht: $A^{-1}$, falls A invertierbar.

Verfahren: Bringe $(A|{𝔼}_n)$ auf reduzierte Zeilenstufenfom. Falls A invertierbar ist, hat die reduzierte Zeilenstufenform die Gestalt $({𝔼}_n|A^{-1})$.

Gleichungen eines Unterraumes aus den Erzeugenden

Gegeben: $U=Lin(v_1,...,v_k)$.

Gesucht: Matrix $C\in Mat(p,n)$ mit der Eigenschaft, dass $U=\{x|C\cdot (x{)}_B=0\}$; hierbei ist $p=n-dim(U)$.

Verfahren 1: Bestimme Basislösungen von $A^{t}x=0$. Die Basislösungen sind die Zeilen einer gesuchten Matrix C.

Verfahren 2: Bringe $(A|{𝔼}_n)$ auf Zeilenstufenform à $\in Mat(n,k+n)$. Sei l, $l\le k$, die Anzahl der Stufen unter den ersten k Spalten von Ã, dann ist die rechte untere Teilmatrix von à des Formates $(n-l,n)$ eine gesuchte Matrix C.

Basis des Durchschnitts zweier Unterräume aus deren Erzeugenden

Gegeben: Erzeugende für zwei Unterräume $U_1$ und $U_2$ von $V$ .

Gesucht: Basis von $U_1\cap U_2$.

Verfahren 1: Bestimme Matrizen $C_1\in Mat(p_1,n)$ und $C_2\in Mat(p_2,n)$ zu $U_1$ bzw. $U_2$ nach (4.). Dann liefert die Matrix $(C_1^t|C_2^t{)}^t\in Mat(p1+p2,n)$ ein Gleichungssystem für $U_1\cap U_2$. Dessen Basislösungen sind die Koordinaten von einer gesuchten Basis, d.h. ihre Koeffizienten bzgl. ihrer Darstellung in B.

Verfahren 2: Bilde die Matrizen $A_1\in Mat(n,k_1)$ bzw. $A_2\in Mat(n,k_2)$ aus den Erzeugenden von $U_1$ bzw. $U_2$. Bestimme die Matrix $C\in Mat(k_1+k_2,r)$ der Basislösungen von $\mathscr{H}(A,0)$, $A:=(A_1|A_2)$. Sei $C_1\in Mat(k_1,r)$ die Teilmatrix von C der ersten $k_1$ Zeilen, dann sind die Spalten von $A_1{C}_1\in Mat(n,r)$ die Koordinaten einer Basis von $U_1\cap U_2$.

Basis der Summe zweier Unterräume

Gegeben: siehe (8.).

Gesucht: Basis von $U_1+U_2$.

Verfahren: Bestimme aus der Vereinigung der Erzeugenden nach (1.) oder (2.) eine Basis.