Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/7+i

Primfaktorzerlegung von $7+i$ in $\mathbb{Z}[i]$:

$N(7+i)=(7+i)(7-i)=50=2\cdot 5^2=2^1\cdot (2+i{)}^2(2-i{)}^2$

$2+i$ und $2-i$ sind prim, weil $N(2+i)=N(2-i)=5$ prim in $\mathbb{Z}$

Überpüfe als nächstes, durch welchen Faktor sich $7+i$ teilen lässt:

$\frac{7+i}{(2+i{)}^2}=\frac{7+i}{3+4i}=\frac{(7+i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{25-25i}{25}=1-i=-i(1+i)$

$\Rightarrow 7+i=-i(1+i)\cdot (2+i{)}^2$

Wobei $1+i$ und $2+i$ prim sind und $-i\in \mathbb{Z}[i{]}^{\times }$.