Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt/Beweis/Gleichungslinks

Es sei $s_i\in S_{+}$ durch die Bedingung

$ik={ϵ}_i{s}_{i}modp$

festgelegt. Wir betrachten alle Vielfachen $jk$, $j\in S=(\mathbb{Z}/(p){)}^{\times }$. Die Menge all dieser Vielfachen ist selbst ganz $S$, da ja $k$ eine Einheit und daher die Multiplikation mit $k$ eine Bijektion ist. Es ist $(-i)k=-ik=-{ϵ}_i{s}_i$ für $i\in S_{+}=\{1,\dots ,t\}$. Daher ist $S_{+}=\{1,\dots ,t\}=\{s_1,\dots ,s_t\}$. Deshalb gilt $t!=\prod _{i=1}^t{s}_i$ und somit

$t!k^t$ = $(\prod _{i=1}^{t}i)(\prod _{i=1}^{t}k)$ = $\prod _{i=1}^{t}ik$ = $\prod _{i=1}^t{ϵ}_i{s}_i$ = $(\prod _{i=1}^t{ϵ}_i)(\prod _{i=1}^t{s}_i)$ = $(\prod _{i=1}^t{ϵ}_i)t!modp$.

Durch kürzen mit $t!$ (das ist eine Einheit) ergibt sich $k^t=\prod _{i=1}^t{ϵ}_{i}modp$, und das Eulersche Kriterium, nämlich $k^t=k^{\frac{p-1}{2}}=\left(\frac{k}{p}\right)modp$, liefert das Ergebnis.