Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§1 Das Daniellsche Integral mit Beispielen

Definition 1

Seien $X$ eine beliebige Menge und $M=M(X)$ ein Raum von Funktionen $f:X\to ℝ$ mit folgenden Eigenschaften:

– $M$ ist ein linearer Raum, d. h.

(1) für alle $f,g\in M$ und alle $\alpha ,\beta \in ℝ$ gilt $\alpha f+\beta g\in M$.

– $M$ ist abgeschlossen hinsichtlich der Betragsbildung, d. h.

(2) für alle $f\in M$ gilt $|f|\in M$.

Weiter sei $I:M\to ℝ$ ein Funktional auf $M$, welches die folgenden Bedingungen erfüllt:

– $I$ ist linear, d. h.

(3) für alle $f,g\in M$ und alle $\alpha ,\beta \in ℝ$ gilt $I(\alpha f+\beta g)=\alpha I(f)+\beta I(g)$.

– $I$ ist nicht negativ, d. h.

(4) für alle $f\in M$ mit $f\ge 0$ gilt $I(f)\ge 0$.

Dabei bedeutet $f\ge 0$, dass $f(x)\ge 0$ für alle $x\in X$ richtig ist.

– $I$ ist stetig bezüglich monotoner Konvergenz in $M$, d. h.

(5) für jede Folge $\{f_n{\}}_{n=1,2,\dots }\subset M$ mit $f_n\downarrow 0$ gilt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }I(f_n)=I(0)=0$.

Dabei bedeutet $f_n\downarrow 0$, dass für alle $x\in X$ die Folge $\{f_n(x){\}}_{n=1,2,\dots }\subset ℝ$ schwach monoton fallend ist und dass $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=0$ gilt.

Dann heißt $I$ ein auf $M$ erklärtes Daniellsches Integral.

Satz 1 (Dini)

Auf der kompakten Menge $K\subset {ℝ}^n$ seien die stetigen Funktionen $f_1,f_2,\dots ,f\in C^0(K,ℝ)$ gegeben. Es gelte $f_l\uparrow f$, d. h. für alle $x\in K$ ist die Folge $\{f_l(x)\}\subset ℝ$ schwach monoton steigend und es gilt

$\underset{l\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_l(x)=f(x).$

Dann konvergiert die Folge $\{f_l{\}}_{l=1,2,\dots }$ gleichmäßig auf $K$ gegen $f$.

Beweis

Sei $\{g_l{\}}_{l=1,2,\dots }\subset C^0(K,ℝ)$ eine Folge mit $g_l\downarrow 0$. Zu zeigen ist, dass

$\underset{x\in K}{\sup }|g_l(x)|\to 0$

richtig ist. Wäre diese Aussage falsch, dann gäbe es Indizes $\{l_i\}$ mit $l_i<l_{i+1}$ und Punkte ${\xi }_i\in K$, so dass

$g_{l_i}({\xi }_i)\ge \epsilon >0$ für alle $i\in \mathbb{N}$

mit einem festen $\epsilon >0$ gilt. Nach dem Weierstraßschen Häufungsstellensatz können wir o. B. d. A. annehmen, dass ${\xi }_i\to \xi$ für $i\to \mathrm{\infty }$ mit $\xi \in K$ richtig ist. Zu festem $l_{*}$ wählen wir nun ein $i_{*}=i(l_{*})\in \mathbb{N}$, so dass $l_i\ge l_{*}$ für alle $i\ge i_{*}$ gilt. Die Monotonieeigenschaft der Funktionenfolge $\{g_l\}$ liefert dann

$g_{l_{*}}({\xi }_i)\ge g_{l_i}({\xi }_i)\ge \epsilon$ für alle $i\ge i_{*}$.

Da $g_{l_{*}}$ nach Voraussetzung stetig ist, folgt

$g_{l_{*}}(\xi )=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_{l_{*}}({\xi }_i)\ge \epsilon$ für alle $l_{*}\in \mathbb{N}$.

Somit ist $\{g_l(\xi )\}$ keine Nullfolge, im Widerspruch zur Voraussetzung.

q.e.d.