Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§5 Polarkoordinaten und Überlagerungsflächen

Satz 1 (Polarkoordinaten)

Jede komplexe Zahl $w=u+iv\in ℂ\setminus \{0\}$ lässt sich durch

(1) $w=r{e}^{i\phi }=r(\cos \phi +i\sin \phi )\wedge r\in (0,+\mathrm{\infty })\wedge \phi \in (-\pi ,\pi ]$

eindeutig darstellen.

Beweis

1. Wir zeigen zunächst die Existenz einer solchen Darstellung: Die komplexe Zahl liege im 1. Quadranten der Gaußebene:

$w=u+iv,u\ge 0\wedge v\ge 0$. Wir setzen dann: $r:=|w|=\sqrt{u^2+v^2}>0,\xi :=\frac{u}{|w|},\eta :=\frac{v}{|w|}$.

Dann ist $w=|w|(\frac{u}{|w|}+i\frac{v}{|w|})=r(\xi +i\eta )$ mit $\xi \ge 0$ sowie $\eta \ge 0$ und ${\xi }^2+{\eta }^2=\frac{u^2+v^2}{|w{|}^2}=1$, woraus $\eta \in [0,1]=[\sin 0,\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)]$ folgt. Nach Satz 1 aus §2 existiert genau ein $\phi \in [0,\frac{\pi }{2}]$ mit $\sin \phi =\eta$. Weiter gilt $\cos \phi =\sqrt{1-{\sin }^2\phi }=\sqrt{1-{\eta }^2}=\xi$. Damit erhalten wir die geforderte Darstellung

(2) $w=r(\xi +i\eta )=r(\cos \phi +i\sin \phi )=r{e}^{i\phi }$ mit $r>0$ und $0\le \phi \le \frac{\pi }{2}$.

2. Nun wollen wir (1) für alle $w\in ℂ\setminus \{0\}$ gewinnen. In Polarkoordinaten $w=r\cdot e^{i\phi }$ wird die Spiegelung am Nullpunkt durch

$-w=-r{e}^{i\phi }=e^{i\pi }\cdot r{e}^{i\phi }=r{e}^{i(\phi +\pi )}$

und die Spiegelung an der reellen Achse durch

$\bar{w}=\overline{r(\cos \phi +i\sin \phi )}=r(\cos \phi -i\sin \phi )=r[\cos (-\phi )+i\sin (-\phi )]=r{e}^{-i\phi }$

beschrieben. Für eine beliebige komplexe Zahl $w\in ℂ\setminus \{0\}$ wenden wir eine Spiegelung am Nullpunkt oder eine Spiegelung an der reellen Achse an und wir können sie so in den 1. Quadranten überführen. Die Rücktransformation liefert $w=r{e}^{i\phi }$ mit $r>0$ und $\phi \in ℝ$ für alle $w\in ℂ\setminus \{0\}$. Wir bestimmen noch ein $k\in \mathbb{Z}$, so dass $-\pi <\phi +2k\pi \le \pi$ gilt und setzen $\psi :=\phi +2k\pi$. Wegen $e^{2k\pi i}=1$ ist dann die Darstellung $w=r{e}^{i\psi }$ mit $r>0$ und $-\pi <\psi \le \pi$ für alle $w\in ℂ\setminus \{0\}$ gefunden.
3. Wir weisen jetzt die Eindeutigkeit der Darstellung für $w\ne 0$ nach. Angenommen es gäbe die beiden Darstellungen $w=r{e}^{i\phi }(r>0,-\pi <\phi \le \pi )$ und $w=\rho e^{i\omega }(\rho >0,-\pi <\omega \le \pi )$. Für den Betrag ermitteln wir $r=|w|=\rho >0$ und dann folgt $e^{i\phi }=e^{i\omega }$ bzw. $e^{i(\phi -\omega )}=1$. Wegen $|\phi -\omega |<2\pi$ liefert Hilfssatz 4 aus §2 die Identität $\phi =\omega$.

q.e.d.

Wir wollen jetzt eine Fläche $𝕌\subset {ℝ}^3$ so konstruieren, dass man ihren Punkten in eindeutiger Weise universelle Polarkoordinaten

$0<R<+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }<\mathrm{\Phi }<+\mathrm{\infty }$

zuordnen kann. Hierzu betrachten wir die Punktmenge

$𝕌:=\{𝐰=(w,k)\in {ℝ}^3:w\in ℂ\setminus \{0\},k\in \mathbb{Z}\}$.

Sie besteht aus den Blättern

${𝕌}_k:=\{𝐰=(r\cdot \exp (i\phi ),k)\in 𝕌:-\pi <\phi \le +\pi ,0<r<+\mathrm{\infty }\}$

mit dem Schlitz

${𝕊}_k:=\{𝐰=(-r,k)-i$