Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§2 Die trigonometrischen Funktionen

Definition 1

Für alle $z\in ℂ$ erklären wir die Cosinusfunktion

(1) $\cos z:=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})$,

sowie die Sinusfunktion

(2) $\sin z:=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})$.

Hilfssatz 1

Für alle $x\in (0,2]$ gilt $\sin x>0$.

Beweis

Für alle $x\in ℝ$ mit $0<x\le 2$ ist die Abschätzung

$\sin x=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{(2m+1)!}{x}^{2m+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+\dots -\dots$

$=x(1-\frac{x^2}{6})+\frac{x^5}{5!}(1-\frac{x^2}{42})+\frac{x^9}{9!}(1-\frac{x^2}{110})+\dots >0$

richtig. Wegen $(1-\frac{x^2}{6})>0,(1-\frac{x^2}{42})>0$ usw. für $x\in (0,2]$ sind nämlich alle alle Summanden positiv.

q.e.d.

Hilfssatz 2

Es gilt $\cos 2<-\frac{1}{3}<0$.

Beweis

Wir ermitteln

$\cos x=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{(2m)!}{x}^{2m}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+\frac{x^{12}}{12!}-\dots +\dots$

$=(1-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24})-\frac{x^6}{6!}(1-\frac{x^2}{56})-\frac{x^{10}}{10!}(1-\frac{x^2}{132})-\dots >0$

An der Stelle $x=2$ folgt wegen $(1-2+\frac{2}{3})=-\frac{1}{3},(1-\frac{1}{14})>0,(1-\frac{1}{33})>0$ usw. die Behauptung $\cos 2<-\frac{1}{3}$.

q.e.d.

Hilfssatz 3

Die Gleichung $\cos x=0$ besitzt für $x\in (0,2)$ genau eine Lösung.

Beweis

Zuerst weisen wir die Existenz einer Lösung $\xi \in (0,2)$ nach. Es ist $\cos 0=1>0$ erfüllt und gemäß Hilfssatz 2 gilt $\cos 2<-\frac{1}{3}<0$. Nach dem Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß aus §1 in Kapitel II existiert ein $\xi \in (0,2)$ mit $\cos \xi =0$. Wir zeigen jetzt die Eindeutigkeit der Lösung. Gemäß Hilfssatz 2 gilt

$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x<0$, für alle $0<x<2$

Somit ist die Cosinusfunktion streng monoton fallend im Intervall $[0,2]$, wie der Mittelwertsatz der Differentialrechnung lehrt. Damit ist $\xi$ die einzige Nullstelle von $f\left(x\right)=\cos x$ im Intervall $(0,2)$.

Definition 2

Für die gemäß Hilfssatz 3 existierende kleinste positive Nullstelle $\xi \in (0,2)$ der Cosinusfunktion $f(x)=\cos x,x>0$ setzen wir

$\frac{\pi }{2}:=\xi$.

Satz 1

Die Funktion $f:[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\to ℝ$ vermöge $x\mapsto f(x)=\sin x$ ist im Intervall $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$ streng monoton steigend und wir haben $\sin (-\frac{\pi }{2})=-1$ und $\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$.

Beweis

Mit der Definition 2 ergibt sich

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x>0$ für alle $x\in [0,\frac{\pi }{2})$.

Da die Cosinusfunktion gerade ist, folgt auch für $-\frac{\pi }{2}<x\le 0$ die Ungleichung $\cos x>0$. Also gilt

$\frac{d}{dx}\sin x>0$ für alle $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$

und somit ist $f$ im Intervall $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$ streng monoton wachsend. Formel (12) liefert

${\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}\right)=1-{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$

und zusammen mit Hilfssatz 1 folgt $\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=+1$ sowie

$\sin \left(\frac{-\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=-1$.

q.e.d.

Bemerkungen

Für die Exponentialfunktion gilt

(15) $\exp \left(\frac{i\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+i\cdot \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=0+i\cdot 1=i$

und somit folgt

(16) $\exp \left(\frac{ik\pi }{2}\right)=i^k$ für alle $k\in \mathbb{Z}$.

Satz 2

Die Funktionen (1) und (2) sind holomorph und es gilt

(17) $\frac{d}{dz}\cos z=-\sin z$ und $\frac{d}{dz}\sin z=\cos z$ für alle $z\in ℂ$.

Sie sind darstellbar durch die konvergenten Potenzreihen

(18) $\cos z=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{(2m)!}\cdot z^{2m},z\in ℂ$

und

(19) $\sin z=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{(2m+1)!}\cdot z^{2m+1},z\in ℂ$.

Sie sind miteinander verknüpft durch die Eulersche Formel (3) und es gilt die Identität

(20) ${\cos }^{2}z+{\sin }^{2}z=1,z\in ℂ$.

Schließlich geben wir die Gesamtheit der Stammfunktionen an

(21) $\int \cos zdz=\sin z+c_1$ und $\int \sin zdz=-\cos z+c_2,z\in ℂ$ mit $c_1,c_2\in ℂ$.

Beweis

1. Für alle $z\in ℂ$ gilt

(22) $\frac{d}{dz}\cos z=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}i(e^{iz}-e^{-iz})=\frac{i^2}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})=-\sin z$.

Analog zeigt man $\frac{d}{dz}\sin z=\cos z$.

2. Da die komplexe Exponentialfunktion eine konvergente Potenzreihe in $ℂ$ darstellt, müssen nach Definition 1 auch die Sinus- und Cosinusfunktion dort durch eine konvergente Potenzreihe gegeben sein. Deren Koeffizienten bestimmen wir mit den Überlegungen in §6 von Kapitel II als Taylor-Koeffizienten ihrer Einschränkung auf die reelle Achse $ℝ$. Eben diese reellen Taylor-Reihen kennen wir schon aus (10) bzw. (11). Also stellen die Reihen (18) und (19), welche nach Satz 14 aus Kapitel I in $ℂ$ absolut konvergieren, die entsprechenden trigonometrischen Funktionen dar.

3. Nach Formel (12) gilt die Identität (20) bereits für alle reellen Argumente. Zumal die angegebene Funktion aus (20) in eine konvergente Potenzreihe in $ℂ$ entwickelbar ist, liefert der nachfolgende Satz – spezialisiert auf einfache Reihen – die angegebene Identität.

4. Die Stammfunktionen verifizieren wir sofort mit den obigen Differentiationsregeln.

q.e.d.

Satz 3 (Identitätssatz für Doppelreihen)

Es sei in $ℂ\times ℂ$ die absolut konvergente Doppelreihe

(23) $f(z_1,z_2):=\sum _{k_1,k_2=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{k_1{k}_2}{z}_1^{k_1}{z}_2^{k_2}$ für $z_1=x_1+i{y}_1,z_2=x_2+i{y}_2\in ℂ$

mit den Koeffizienten $a_{k_1{k}_2}\in ℂ$ für $k_1,k_2=0,1,2,\dots$ gegeben. Wenn auf der reellen Ebene $f(x_1,x_2)=0$ verschwindet, so folgt die Identität $f(z_1,z_2)\equiv 0$ für alle $(z_1,z_2)\in ℂ\times ℂ$. Stimmen also zwei durch absolut konvergente Doppelreihen dargestellte Funktionen auf der reellen Ebene $ℝ\times \{0\}\times ℝ\times \{0\}$ überein, so ist dieses auch auf der komplexen Ebene $ℂ\times ℂ$ der Fall.

Beweis

Wie in §6 von Kapitel II differenzieren wir die Doppelreihe (23) $l_1\in {\mathbb{N}}_0$ mal reel nach $x_1$ sowie $l_2\in {\mathbb{N}}_0$ mal reel nach $x_2$ und erhalten

(24) $0=\sum _{k_1\ge l_1,k_2\ge l_2}{l}_1!\cdot l_2!\cdot a_{k_1{k}_2}\cdot x_1^{k_1-l_1}\cdot x_2^{k_2-l_2}$.

Setzen wir dann die Stelle $x_1=0=x_2$ ein, so folgt

(25) $0=l_1!\cdot l_2!\cdot a_{l_1{l}_2}$ bzw. $a_{l_1{l}_2}=0$ für alle Indices $l_1,l_2\in {\mathbb{N}}_0$.

Der Potenzreihendarstellung (23) entnehmen wir schließlich die Behauptung.

q.e.d.

Satz 4

Für alle $z_1,z_2\in ℂ$ gelten die Additionstheoreme:

(26) $\cos (z_1+z_2)=\cos z_1\cdot \cos z_2-\sin z_1\cdot \sin z_2$ und

(27) $\sin (z_1+z_2)=\sin z_1\cdot \cos z_2-\cos z_1\cdot \sin z_2$.

Des Weiteren gelten für alle $z\in ℂ$ folgende Duplikationsformeln:

(28) ${\cos }^{2}z-{\sin }^{2}z=\cos \left(2z\right)$

(29) $2\cos z\cdot \sin z=\sin (2z)$.

Beweis von (26) und (27)

Wegen Satz 3 reicht es aus, die Additionstheoreme nur für reelle Argumente nachzuweisen – zumal die darin erscheinenden Funktionen in absolut konvergente Doppelreihen entwickelbar sind. Mit der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion berechnen wir für alle $x_1,x_2\in ℝ$:

(30) $\cos (x_1+x_2)+i\sin (x_1+x_2)=\exp (i(x_1+x_2))=\exp (i{x}_1)\cdot \exp (i{x}_2)$

$=(\cos x_1+i\sin x_1)\cdot (\cos x_2+i\sin x_2)$

$=(\cos x_1\cdot \cos x_2-\sin x_1\cdot \sin x_2)+i(\sin x_1\cdot \cos x_2+\cos x_1\cdot \sin x_2)$.

Der Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert die o. a. Additionstheoreme.

Beweis von (28) und (29)

Wir setzen in (26) $z_1=z_2=z$ ein und erhalten

$\cos (2z)=\cos (z+z)={\cos }^{2}z-{\sin }^{2}z$.

Analog folgt aus (27) die Duplikationsformel (29).

q.e.d.

Bemerkungen

Sehr praktisch zum Integrieren sind die Identitäten

(31) $1+\cos \left(2z\right)=2{\cos }^{2}z$ und $1-\cos (2z)=2{\sin }^{2}z,z\in ℂ$,

welche man leicht nachweist.

Satz 5 (Phasenverschiebung)

Für alle $z\in ℂ$ gelten

(32) $\cos (\frac{\pi }{2}-z)=\sin z$ und $\sin (\frac{\pi }{2}-z)=\cos z$.

Beweis

Mit dem Additionstheorem (27) erhalten wir

$\sin (\frac{\pi }{2}-z)=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)\cdot \cos (-z)+\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)\sin (-z)=\cos z$.

Setzen wir in diese Identität $z:=\frac{\pi }{2}-w$ mit $w\in ℂ$, so folgt

$\cos (\frac{\pi }{2}-w)=\sin [\frac{\pi }{2}-(\frac{\pi }{2}-w)]=\sin w$.

q.e.d.

Satz 6

Die Funktion $g:[0,\pi ]\to ℝ$ vermöge $x\mapsto g(x)=\cos x$ ist im Intervall $0\le x\le \pi$ streng monoton fallend und es gilt $\cos 0=1$ und $\cos \pi =-1$.

Beweis

Nach Satz 5 ist die Identität

$\cos x=\sin (\frac{\pi }{2}-x)$ mit $x\in [0,\pi ]$

gültig. Damit können wir alle Aussagen dem obigen Satz 1 entnehmen.

q.e.d.

Hilfssatz 4

Alle Lösungen von der Gleichung $\exp z=1$ mit $z\in ℂ$ sind in der Form $z=2k\pi i$ mit $k\in \mathbb{Z}$ darstellbar.

Beweis

Der Formel (16) entnehmen wir, dass die angegebenen komplexen Zahlen die Gleichung lösen. Sei nun umgekehrt $z=x+iy$ mit $x,y\in ℝ$ eine Lösung der Gleichung

$1=e^z=e^{x+iy}=e^x{e}^{iy}=e^x(\cos y+i\cdot \sin y)$,

so folgt $1=e^x\left|e^{iy}\right|=e^x$ und damit $x=0$. Wir ermitteln

$1=\stackrel{1}{\overbrace{e^x}}{e}^{iy}=e^{iy}=e^{i(y-2k\pi }\stackrel{t:=y-2k\pi }{=}{e}^{it}=\cos t+i\stackrel{0}{\overbrace{\sin t}}=\cos t$

und wählen $k\in \mathbb{Z}$ so, dass $|t|\le \pi$ erfüllt ist. Nach Satz 1 folgt aus der Bedingung $\sin t=0$ dann $t=0$ und wir finden $y=2k\pi$ bzw. $z=2k\pi i$, wie es oben behauptet wurde.

q.e.d.

Satz 7 (Periodizität der Exponentialfunktion)

Die komplexe Exponentialfunktion hat die Periode $2\pi i$. Die Gleichung $\exp w=\exp z$ mit $w,z\in ℂ$ ist genau dann erfüllt, falls $w-z=2k\pi i$ mit geeignetem $k\in \mathbb{Z}$ gültig ist.

Beweis

Seien $w,z\in ℂ$ mit $e^w=e^z$, so ist äquivalent $e^{w-z}=1$ erfüllt. Gemäß Hilfssatz 4 bedeutet dieses $w-z=2k\pi i$ mit geeignetem $k\in \mathbb{Z}$.

q.e.d.

Satz 8

Die Komplexen trigonometrischen Funktionen $\cos z$ und $\sin z$ haben die Periode $2\pi$. Alle komplexen Nullstellen von $\cos z$ sind durch $(k+\frac{1}{2})\pi$ und von $\sin z$ durch $k\pi$ mit $k\in \mathbb{Z}$ gegeben.

Beweis

Für alle $z\in ℂ$ und $k\in \mathbb{Z}$ gilt nach Hilfssatz 4 für die Cosinusfunktion

(33) $\cos (z+2k\pi )=\frac{1}{2}(e^{i(z+2k\pi )}+e^{-i(z+2k\pi )})=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})=\cos z$.

Wir berechnen jetzt alle Nullstellen der Cosinusfunktion. Für alle $z\in ℂ$ gilt

(34) $0=\cos z=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})\iff 0=e^{2iz}+1$

$\iff e^{2iz}=-1=e^{i\pi }$

$\iff e^{(2z-\pi )i}=1\iff (2z-\pi )i=2k\pi i\wedge k\in \mathbb{Z}$

$\iff z=\frac{\pi }{2}(2k+1)\wedge k\in \mathbb{Z}$.

Die angegebenen Eigenschaften der Sinusfunktion ergeben sich aus der Phasenverschiebung gegenüber der Cosinusfunktion.

q.e.d.

Definition 3

Für alle $z\in \{w\in ℂ:w\ne (k+\frac{1}{2})\pi \wedge k\in \mathbb{Z}\}$ erklären wir die Tangensfunktion

(35) $\tan z:=\frac{\sin z}{\cos z}$

und für alle $z\in \{w\in ℂ:w\ne k\pi \wedge k\in \mathbb{Z}\}$ erklären wir die Cotangensfunktion

(36) $\cot z:=\frac{\cos z}{\sin z}$.

Satz 9

Die Funktionen aus Definition 3 sind holomorph in ihren Definitionsbereichen und es gilt

(37) $\frac{d}{dz}\tan z=\frac{1}{{\cos }^{2}z}=1+{\tan }^{2}z$ für $z\in ℂ$ und $z\ne (k+\frac{1}{2})\pi (k\in \mathbb{Z})$,

(38) $\frac{d}{dz}\cot z=-\frac{1}{{\sin }^{2}z}=-(1+{\cot }^{2}z)$ für $z\in ℂ$ und $z\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$.

Beweis

Die komplexen trigonometrischen Funktionen (35) und (36) sind holomorph, da sie als Quotient holomorpher Funktionen definiert sind. Für alle $z\in ℂ$ und $z\ne (2k+1)\frac{\pi }{2}$ mit $k\in \mathbb{Z}$ gilt

$\frac{d}{dz}\tan z=\frac{d}{dz}\left(\frac{\sin z}{\cos z}\right)=\frac{{\cos }^{2}z-\sin z(-\sin z)}{{\cos }^{2}z}=\frac{1}{{\cos }^{2}z}=1+{\tan }^{2}z$.

Für alle $z\in ℂ$ und $z\ne (2k+1)\frac{\pi }{2}$ mit $k\in \mathbb{Z}$ berechnen wir

$\frac{d}{dz}\cot z=\frac{d}{dz}\left(\frac{\cos z}{\sin z}\right)=\frac{(-\sin z)\sin z-{\cos }^{2}z}{{\cos }^{2}z}=\frac{-1}{{\sin }^{2}z}=-(1+{\cot }^{2}z)$.

Satz 10 (Additionstheorem für $\tan$ und $\cot$)

Für alle $z_1,z_2,z_1+z_2\in \{w\in ℂ:w\ne (k+\frac{1}{2})\pi \wedge k\in \mathbb{Z}\}$ gilt

(39) $\tan (z_1+z_2):=\frac{\tan z_1+\tan z_2}{1-\tan z_1\tan z_2}$.

Für alle $z_1,z_2,z_1+z_2\in \{w\in ℂ:w\ne k\pi \wedge k\in \mathbb{Z}\}$ gilt

(40) $\cot (z_1+z_2):=\frac{-1+\cot z_1\cot z_2}{\cot z_1+\cot z_2}$.

Beweis

Für alle $z_1,z_2,z_1+z_2\in \{w\in ℂ:w\ne (k+\frac{1}{2})\pi \wedge k\in \mathbb{Z}\}$ gilt

(41) $\tan (z_1+z_2)=\frac{\sin (z_1+z_2)}{\cos (z_1+z_2)}=\frac{\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2}{\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2}$

$=\frac{\frac{\sin z_1}{\cos z_1}+\frac{\sin z_2}{\cos z_2}}{1-\frac{\sin z_1}{\cos z_1}\cdot \frac{\sin z_2}{\cos z_2}}=\frac{\tan z_1+\tan z_2}{1-\tan z_1\tan z_2}$.

Analog beweisen wir (40).

q.e.d.

Satz 11

Für alle $z\in ℂ$ mit $z\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$ haben wir

(42) $\frac{1}{\tan z}=\cot z=\tan (\frac{\pi }{2}-z)$.

Beweis

Mit Hilfe von Satz 5 berechnen wir

$\frac{1}{\tan z}=\cot z=\frac{\cos z}{\sin z}=\frac{\sin (\frac{\pi }{2}-z)}{\cos (\frac{\pi }{2}-z)}=\tan (\frac{\pi }{2}-z)$.

q.e.d.

Wir wollen schließlich die reelle Tangens- und Cotangensfunktion untersuchen.

Satz 12

Die Funktion $f:(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\to ℝ$ vermöge $x\mapsto f(x)=\tan x$ ist im Intervall $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$ streng monoton steigend. Diese Funktion ist ungerade, erfüllt $\tan 0=0$ und besitzt folgendes asymptotische Verhalten:

(43) $\underset{x\to -\frac{\pi }{2},x>-\frac{\pi }{2}}{\lim }\tan x=-\mathrm{\infty }$ und $\underset{x\to \frac{\pi }{2},x<\frac{\pi }{2}}{\lim }\tan x=+\mathrm{\infty }$.

Beweis

Wegen (37) gilt

$f^{\prime }(y)=\frac{1}{{\cos }^{2}y}>0$ sowie $\tan (-y)=-\tan (y),y\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.

Somit ist diese Funktion im Definitionsbereich streng monoton steigend und ungerade mit der Eigenschaft

$\tan 0=\frac{\sin 0}{\cos 0}=0$.

Wir ermitteln nun ihr asymptotisches Verhalten

$\underset{x\to \frac{\pi }{2},x<\frac{\pi }{2}}{\lim }\tan x=\underset{x\to \frac{\pi }{2},x<\frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{\sin x}{\cos x}=+\mathrm{\infty }$.

q.e.d.

Satz 13

Die Funktion $g:(0,\pi )\to ℝ$ vermöge $x\mapsto g(x)=\cot x$ ist im Intervall $0<x<\pi$ streng monoton fallend und es gilt

$\underset{x\to 0,x>0}{\lim }\cot x=+\mathrm{\infty },\cot \left(\frac{\pi }{2}\right)=0,\underset{x\to \pi ,x<\pi }{\lim }\cot x=-\mathrm{\infty }$.

Beweis

Wir beachten $g(x)=\cot x=\tan (\frac{\pi }{2}-x)$ für alle $0<x<\pi$ und Satz 12 liefert die angegebenen Eigenschaften.

q.e.d.

Satz 14

Die Gesamtheit der reellen Stammfunktionen ist gegeben durch

(44) $\int \cot xdx=\int \frac{{\sin }^{\prime }x}{\sin x}dx=\int (\ln \circ \sin {)}^{\prime }xdx=\ln (\sin x)+c_2,x\in (0,+\pi )$

und

(45) $\int \tan xdx=-\int \frac{{\cos }^{\prime }x}{\cos x}dx=-\ln (\cos x)+c_1,x\in (-\frac{\pi }{2},+\frac{\pi }{2})$

mit den reellen Integrationskonstanten $c_1,c_2\in ℝ$.