Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§1 Komplexe Exponentialfunktion und natürliche Logarithmusfunktion

Definition 1

Für $z\in ℂ$ definieren wir

(1) $\exp z:=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}$

und nennen $\exp z:ℂ\to ℂ$ die komplexe Exponentialfunktion.

Satz 1

Die Exponentialfunktion ist in $ℂ$ holomorph und es gilt die Identität

$\frac{d}{dz}\exp z=\exp z,z\in ℂ$.

Beweis

In Bsp. 2 aus §6 von Kapitel I haben wir die Konvergenz der Reihe (1) nachgewiesen. Nach Satz 15 aus Kapitel II, §3 ist die Funktion $f(x)=\exp z,z\in ℂ$ holomorph und die gliedweise Differentiation liefert

$\frac{d}{dz}\exp z=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k{z}^{k-1}}{k!}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{k-1}}{(k-1)!}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}=\exp z,z\in ℂ$.

q.e.d.

Satz 2 (Funktionalgleichung der Exponentialfunktion)

Es gilt für alle $z_1,z_2\in ℂ$ die Funktionalgleichung

(2) $\exp (z_1+z_2)=(\exp z_1)\cdot (\exp z_2)$.

Beweis

Da die Exponentialreihe in $ℂ$ nach Satz 14 aus §6 in Kapitel I absolut konvergiert, können wir mit dem Multiplikationssatz für Reihen (vgl. Satz 3 aus §7 in Kapitel I) für alle $z_1,z_2\in ℂ$ wie folgt multiplizieren:

(3) $\exp z_1\cdot \exp z_2=\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z_1^k}{k!}\right)\cdot \left(\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z_2^l}{l!}\right)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{l=0}^k\frac{z_1^l\cdot z_2^{k-l}}{l!\cdot (k-l)!}\right)$

$=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}(\sum _{l=0}^k\left(\begin{array}{c}k\\ l\end{array}\right)z_1^l\cdot z_2^{k-l})=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z_1+z_2{)}^k}{k!}=\exp (z_1+z_2)$.

Hierbei haben wir den Binomialsatz aus §1 in Kapitel I verwendet.

q.e.d.

Satz 3

In jeder kompakten Kreisscheibe $\overline{K_R}:=\{z\in ℂ:|z|\le R\}$ mit dem festen Radius $R\in (0,\mathrm{\infty })$ konvergiert die Funktionenfolge

$f_n(z):={(1+\frac{z}{n})}^n,z\in ℂ,n=1,2,\dots$

gleichmäßig gegen die Funktion $f(z)=\exp z,z\in ℂ$.

Beweis

Nach dem Binomialsatz gilt für festes $n\in \mathbb{N}$ und $z\in ℂ$ die Identität

$f_n(z):={(1+\frac{z}{n})}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot {\left(\frac{z}{n}\right)}^k=1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_k(z,n)$ mit ${\phi }_k(z,n):=\{\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot \frac{1}{n^k}\cdot z^k& \text{falls }n\ge k\in \mathbb{N}\\ 0& \text{falls }n<k\in \mathbb{N}\end{array}$ mit ${\phi }_0(z,n)=1$.

Für $k=1,2,\dots ,n$ erhalten wir

${\phi }_k(z,n)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot {\left(\frac{z}{n}\right)}^k=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot (n-k+1)}{k!\cdot n^k}\cdot z^k$

$=1\cdot (1-\frac{1}{n})\cdot (1-\frac{2}{n})\cdot \dots \cdot (1-\frac{k-1}{n})\cdot \frac{z^k}{k!}$.

und damit

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\phi }_k(z,n)=\frac{z^k}{k!}$.

Weiter gilt

$|{\phi }_k(z,n)|\le \frac{R^k}{k!}$ für alle $z\in \overline{K_R}$ und alle $n\in {\mathbb{N}}_0$.

Die Zahlenreihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{R^k}{k!}=\exp R<+\mathrm{\infty }$

stellt also eine konvergente Majorante für die Funktionenreihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_k(z,n)$ dar. Nach dem Weierstraßschen Majorantentest aus Kapitel II, §2 konvergiert die Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_k(z,n)$

gleichmäßig in $\overline{K_R}$ gegen die Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}=\exp z$.

Somit folgt die gleichmäßige Konvergenz

(4) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{z}{n})}^n=\exp z,z\in ℂ$ mit $|z|\le R$.

Definition 2

Wir definieren die Eulersche Zahl $e$ durch die Gleichung

(5) $e:=\exp 1=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$.

Satz 4

Die Gesamtheit der komplexen Stammfunktionen für die Exponentialfunktion wird gegeben durch

$\int \exp zdz=\exp z+c$, mit einer Konstante $c\in ℂ$.

Satz 5

Die Funktion $\exp :ℝ\to ℝ$, vermöge $ℝ\ni x\mapsto \exp z$ als Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die reelle Achse definiert, nennen wir die reelle Exponentialfunktion. Diese stellt eine positive, streng monoton wachsende, konvexe Funktion mit dem folgenden asymptotischen Verhalten dar:

(6) $\exp 0=1,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\exp x=+\mathrm{\infty }$ und $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\exp x=0$.

Beweis

1. Da die Exponentialreihe reelle Koeffizienten besitzt, folgt $\exp :ℝ\to ℝ$ für die Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die reelle Achse. Genauer gilt die Abschätzung

(7) $\exp x=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\dots \ge 1+x\ge 1>0$ für alle $x\in [0,+\mathrm{\infty })$.

Wir beachten $\exp 0=1$ und ermitteln

$\exp x=\frac{1}{\exp (-x)}>0$ für alle $x\in (-\mathrm{\infty },0]$.

2. Mit Hilfe von Satz 1 differenzieren wir auch unsere reelle Funktion

$\frac{d}{dx}\exp x=\exp x$ für alle $x\in ℝ$.

Also ist die reelle Exponentialfunktion nach dem Mittelwertsatz streng monoton wachsend. Weiter liefert die Ungleichung

$\frac{d^2}{d{x}^2}\exp x=\exp x,x\in ℝ$

die Konvexität der Funktion.

3. Mit Hilfe von (7) ersehen wir

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\exp x\ge \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(1+x)=+\mathrm{\infty }$

Schließlich berechnen wir

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\exp x=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{\exp (-x)}=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{\exp (y)}=0$

Satz 6

Für alle rationalen Exponenten $x:=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$ mit $p\in \mathbb{Z}$ und $q\in \mathbb{N}$ gilt

(8) $\exp \left(\frac{p}{q}\right)=\exp x=e^x={\left(\sqrt[q]{e}\right)}^p$.

Beweis

Für ein festes $n\in \mathbb{N}$ berechnen wir mit der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion

$e=\exp 1=\exp \left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}\right)=\prod _{k=1}^n\exp \left(\frac{1}{n}\right)$ und folglich $(*)\exp \left(\frac{1}{n}\right)=\sqrt[n]{e}$.

Für $p=0$ und somit $x=0$ erhalten wir $\exp 0=e^0={\left(\sqrt[q]{e}\right)}^0=1$. Für $p>0$ berechnet man

$\exp x=\exp \left(\frac{p}{q}\right)=\exp \left(\sum _{k=1}^p\frac{1}{q}\right)=\prod _{k=1}^p\exp \left(\frac{1}{q}\right)\stackrel{(*)}{=}{\left(\sqrt[q]{e}\right)}^p=e^{\frac{p}{q}}=e^x$.

Im Fall $p<0$ erhalten wir aus dem vorhergehenden:

$\exp x=\exp \left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{\exp \left(\frac{-p}{q}\right)}=\frac{1}{e^{\left(\frac{-p}{q}\right)}}=e^{\left(\frac{p}{q}\right)}=e^x$.

Hilfssatz 1

Für beliebige $n\in \mathbb{N}$ gilt

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{t^n}{\exp t}=0$.

Beweis

Für beliebige $n\in \mathbb{N}$ gilt

$\exp t=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^k}{k!}\ge \frac{t^{n+1}}{(n+1)!}$ bzw. $0<\frac{t^n}{\exp t}\le \frac{(n+1)!}{t}$ für alle $t>0$.

Hieraus folgt wegen

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{t^n}{\exp t}\le \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(n+1)!}{t}=0$

sofort die Behauptung.

Hilfssatz 2

Für alle $k\in {\mathbb{N}}_0$ gibt es ein Polynom $G_k$ vom Grad $\mathrm{deg}{G}_k\le 2k$, so dass folgende Darstellung gilt:

${\mathrm{\Phi }}^{(k)}(x)=G_k\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \exp (-\frac{1}{x})$ für alle $x>0$.

Beweis durch vollständige Induktion über $k$

Für den Induktionsanfang $k=0$ haben wir

${\mathrm{\Phi }}^{(0)}(x)=\mathrm{\Phi }(x)=\exp (-\frac{1}{x}),x>0$

mit dem Polynom $G_0\left(\frac{1}{x}\right)\equiv 1$ vom Grad $\mathrm{deg}{G}_0=0$. Die obige Darstellung sei nun für ein $k\in {\mathbb{N}}_0$ bereits gültig. Dann berechnen wir mit der Kettenregel

(11) ${\mathrm{\Phi }}^{(k+1)}(x)=\frac{d}{dx}{\mathrm{\Phi }}^{(k)}(x)=\frac{d}{dx}[G_k\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \exp (-\frac{1}{x})]$

$=\exp (-\frac{1}{x})\cdot \frac{d}{dx}{G}_k\left(\frac{1}{x}\right)+G_k\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \exp (-\frac{1}{x})\cdot \frac{1}{x^2}$

$=\exp (-\frac{1}{x})[{\left(\frac{1}{x}\right)}^2\cdot G_k\left(\frac{1}{x}\right)-{\left(\frac{1}{x}\right)}^2\cdot {G_k}^{\prime }\left(\frac{1}{x}\right)]$

$=G_{k+1}\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \exp (-\frac{1}{x})$.

Für den Grad des entstehenden Polynoms $G_{k+1}$ ermitteln wir

$\mathrm{deg}{G}_{k+1}\le 2+\mathrm{deg}{G}_k\le 2+2k=2(k+1)$

und damit haben wir die Behauptung vollständig gezeigt.

q.e.d.

Satz 7 (Glättungsfunktion)

Es sei $-\mathrm{\infty }<a<b<+\mathrm{\infty }$. Dann existiert eine Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit $f\in C^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$ und $f\left(x\right)=0$ für alle $x\in ℝ\setminus (a,b)$ und $f\left(x\right)>0$ für alle $x\in (a,b)$.

Beweis

Wir wählen die Funktion

$f(x):=\mathrm{\Phi }(x-a)\cdot \mathrm{\Phi }(b-x)$ für $x\in ℝ$,

welche das Gewünschte leistet.

Definition 3

Die natürliche Logarithmusfunktion $\ln :I\to ℝ$ definieren wir auf dem Intervall $I:=(0,+\mathrm{\infty })$

(12) $x=\ln u\iff u=\exp x$ mit $u\in I$ und $x\in ℝ$

als Umkehrfunktion von $\exp :ℝ\to I$.

Satz 8 (Natürliche Logarithmusfunktion)

Die Funktion $\ln :I\to ℝ$ ist stetig differenzierbar in $I$ mit der Ableitung

(13) $\frac{d}{du}\ln u={\ln }^{\prime }u=\frac{1}{u},u\in I$.

Sie ist in $I$ streng monoton steigend und besitzt die asymptotischen Eigenschaften

(14) $\underset{u\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\ln u=-\mathrm{\infty },\ln 1=0,\underset{u\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\ln u=+\mathrm{\infty }$.

Schließlich genügt sie der Funktionalgleichung

(15) $\ln u_1+\ln u_2=\ln (u_1\cdot u_2)$ für alle $u_1,u_2\in I$.

Beweis

1. Nach entsprechenden Sätzen aus §1 und §3 in Kapitel II ist die Funktion $\ln :I\to ℝ$ stetig bzw. differenzierbar und ihre Ableitung ermitteln wir wie folgt:

(16) ${\ln }^{\prime }u=\frac{1}{{\exp }^{\prime }x}{|}_{x=\ln u}=\frac{1}{\exp \circ \ln u}=\frac{1}{u},u\in I$.

Also ist die Ableitungsfunktion stetig auf $I$ und positiv, woraus sich die strikte Monotonie von $\ln :I\to ℝ$ ergibt.

2. Wegen $\exp 0=1$ folgt zunächst $\ln 1=0$. Sei nun $x_n:=\exp (u_n),n=1,2,\dots$ eine Folge in $I$ mit der Eigenschaft $x_n\to 0(n\to \mathrm{\infty })$. Dann erhalten wir $u_n=\ln (x_n)\to -\mathrm{\infty }(n\to \mathrm{\infty })$. Damit haben wir die erste asymptotische Eigenschaft in (14) bewiesen – und die zweite folgt genauso.

3. Die Funktionalgleichung (15) für die Logarithmusfunktion überführen wir äquivalent in die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion:

(17) $\ln u_1+\ln u_2=\ln (u_1\cdot u_2)\iff$

$x_1+x_2=\ln (\exp (x_1)\cdot \exp (x_2))\iff$

$\exp (x_1+x_2)=\exp (x_1)\cdot \exp (x_2)$

für alle $u_1=\exp (x_1),u_2=\exp (x_2)\in I$ mit $x_1,x_2\in ℝ$.

q.e.d.

Satz 9

Für festes $u_0\in ℝ$ bestimmen wir in $ℝ\setminus \{u_0\}$ die Gesamtheit der Stammfunktionen

(18) $\int \frac{1}{u-u_0}du=\ln |u-u_0|+c,u\in ℝ\setminus \{u_0\}$

mit der reellen Integrationskonstante $c\in ℝ$

Beweis

Falls $u>u_0$ richtig ist, berechnen wir

(19) $\frac{d}{du}\ln |u-u_0|=\frac{d}{du}\ln (u-u_0)=\frac{1}{u-u_0}$ für $u\in ℝ,u>u_0$

Falls $u<u_0$ richtig ist, ermitteln wir

(20) $\frac{d}{du}\ln |u-u_0|=\frac{d}{du}\ln -(u-u_0)=\frac{-1}{-(u-u_0)}=\frac{1}{u-u_0}$ für $u\in ℝ,u<u_0$

Bemerkung

Die reellen Stammfunktionen bestimmt man mittels partieller Integration wie folgt:

(21) $\int \ln udu=\int (1\cdot \ln u)du=u\cdot \ln u-\int (u\cdot \frac{1}{u})du$

$=u\cdot \ln u-\int 1du=u\cdot \ln u-u+c,u\in I$

mit der Integrationskonstante $c\in ℝ$.