Kurs:Analysis III/Kapitel VI: Lineare partielle Differentialgleichungen im R^n

§1 Das Maximumprinzip für elliptische Differentialgleichungen

Definition 1

Sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ mit $n\in \mathbb{N}$ ein Gebiet, in dem die stetigen Koeffizientenfunktionen $a_{ij}(x),b_i(x),c(x):\mathrm{\Omega }\to ℝ\in C^0(\mathrm{\Omega })$ für $i,j=1,\dots ,n$ erklärt sind. Weiter sei die Matrix $(a_{ij}(x){)}_{i,j=1,\dots ,n}$ für alle $x\in \mathrm{\Omega }$ symmetrisch. Den linearen, partiellen Differentialoperator zweiter Ordnung $ℒ:C^2(\mathrm{\Omega })\to C^0(\mathrm{\Omega })$ erklärt durch

(1) $ℒu(x):=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(x)\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}u(x)+\sum _{i=1}^n{b}_i(x)\frac{\partial }{\partial x_i}u(x)+c(x)u(x),x\in \mathrm{\Omega }$

nennen wir elliptisch bzw. degeneriert elliptisch, falls

$\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(x){\xi }_i{\xi }_j>0$ bzw. $\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(x){\xi }_i{\xi }_j\ge 0$

für alle $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in {ℝ}^n\setminus \{0\}$ und alle $x\in \mathrm{\Omega }$ erfüllt ist. Gibt es Elliptizitätskonstanten $0<m\le M<+\mathrm{\infty }$, so dass

$m|\xi {|}^2\le \sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(x){\xi }_i{\xi }_j\le M|\xi {|}^2$

für alle $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in {ℝ}^n$ und alle $x\in \mathrm{\Omega }$ richtig ist, so heißt $ℒ$ gleichmäßig elliptisch. Im Falle $c(x)\equiv 0,x\in \mathrm{\Omega }$ bezeichnen wir den reduzierten Differentialoperator mit $ℳu(x):=ℒu(x),x\in \mathrm{\Omega }$.

Satz 1 (Eindeutigkeit und Stabilität)

I. $ℒ$ sei ein degeneriert elliptischer Differentialoperator auf dem beschränkten Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ mit der Koeffizientenfunktion $c(x)\le 0,x\in \mathrm{\Omega }$.

II. Es gebe Konstanten $0<m\le M<+\mathrm{\infty }$, so dass

(2) $m\le a_{11}(x)\le M,|b_1(x)|\le M,|c(x)|\le M$ für alle $x\in \mathrm{\Omega },\mathrm{\Omega }\subset B_M:=\{x\in {ℝ}^n:|x|<M\}$

erfüllt ist.

III. Schließlich sei $u=u(x)\in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^0(\bar{\mathrm{\Omega }})$ eine Lösung des Dirichletproblems

(3) $ℒu(x)=f(x)$ in $\mathrm{\Omega },u(x)=g(x)$ auf $\partial \mathrm{\Omega }$

mit Funktionen $f=f(x)\in C^0(\mathrm{\Omega })\cap L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ und $g=g(x)\in C^0(\partial \mathrm{\Omega })$

Behauptung: Dann gibt es eine Konstante $\gamma =\gamma (m,M)\in [0,+\mathrm{\infty })$, so dass gilt

(4) $|u(x)|\le \underset{y\in \partial \mathrm{\Omega }}{\max }|g(y)|+\gamma (m,M)\underset{y\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|f(y)|,x\in \bar{\mathrm{\Omega }}.$

Beweis

1. Wir betrachten die Hilfsfunktion $v(x):=e^{\beta x_1},x\in \bar{\mathrm{\Omega }}$ mit zunächst noch beliebigem $\beta >0$. Wir berechnen

$ℒv(x)=a_{11}(x){\beta }^2{e}^{\beta x_1}+b_1(x)\beta e^{\beta x_1}+c(x)e^{\beta x_1}$

$\ge e^{\beta x_1}(m{\beta }^2-M\beta -M)\ge e^{-\beta (m,M)M},x\in \mathrm{\Omega },$

wobei wir $\beta =\beta (m,M)$ so groß gewählt haben, dass $m{\beta }^2-M\beta -M\ge 1$ erfüllt ist.

2. Mit noch zu fixierendem $\varrho >0$ erklären wir die Hilfsfunktion

$w(x):=\pm u(x)+\varrho (v(x)-e^{\beta M})-\underset{y\in \partial \mathrm{\Omega }}{\max }|g(y)|,x\in \bar{\mathrm{\Omega }}.$

Wegen $c(x)\le 0$ in $\mathrm{\Omega }$ können wir abschätzen

$ℒw(x):=\pm ℒu(x)+\varrho ℒv(x)-c(x)(\varrho e^{\beta M}+\underset{y\in \partial \mathrm{\Omega }}{\max }|g(y)|)$

$\ge \pm f(x)+\varrho e^{-\beta M}\ge -\underset{y\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|f(y)|+\varrho e^{-\beta M},x\in \mathrm{\Omega }.$

Wählen wir nun $\varrho =e^{\beta (m,M)M}(\underset{y\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|f(y)|+\epsilon )$ mit festem $\epsilon >0$, so folgt

(5) $ℒw(x)\ge \epsilon >0$ für alle $x\in \mathrm{\Omega }$.

3. Für $x\in \partial \mathrm{\Omega }$ berechnen wir

$w(x)=\pm u(x)+\varrho (v(x)-e^{\beta M})-\underset{y\in \partial \mathrm{\Omega }}{\max }|g(y)|\le \pm g(x)-\underset{y\in \partial \mathrm{\Omega }}{\max }|g(y)|\le 0.$

Nun gilt $w(x)\le 0$ sogar für alle $x\in \bar{\mathrm{\Omega }}$. Wäre dieses nämlich nicht der Fall, so existiert ein $z\in \mathrm{\Omega }$ mit $w(x)\le w(z)$ für alle $x\in \mathrm{\Omega }$. Dann gilt

$ℒw(z)=ℳw(z)+c(z)w(z)\le 0$

im Widerspruch zu (5). Also folgt

$\pm u(x)\le \underset{y\in \partial \mathrm{\Omega }}{\max }|g(y)|+\varrho e^{\beta M}=\underset{y\in \partial \mathrm{\Omega }}{\max }|g(y)|+e^{2\beta M}(\underset{y\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|f(y)|+\epsilon )$

für alle $x\in \bar{\mathrm{\Omega }}$ und alle $\epsilon >0$. Nach Grenzübergang $\epsilon \downarrow 0$ ergibt sich schließlich

$|u(x)|\le \underset{y\in \partial \mathrm{\Omega }}{\max }|g(y)|+\gamma (m,M)\underset{y\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|f(y)|,x\in \bar{\mathrm{\Omega }}$

mit $\gamma (m,M):=e^{2\beta (m,M)M}$.

q.e.d.

Satz 2 (Das Hopfsche Maximumprinzip)

I. $ℳ=ℳu,u\in C^2(\mathrm{\Omega })$ bezeichne einen reduzierten elliptischen Differentialoperator auf dem Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n,n\in \mathbb{N}$.

II. Für $u=u(x)\in C^2(\mathrm{\Omega })$ sei die Differentialgleichung

$ℳu(x)\ge 0,x\in \mathrm{\Omega }$

erfüllt und $u$ nehme in einem Punkt $z\in \mathrm{\Omega }$ ihr Maximum an, d. h.

$u(z)\ge u(x)$ für alle $x\in \mathrm{\Omega }$.

Behauptung: Dann folgt $u(x)\equiv u(z)$ für alle $x\in \mathrm{\Omega }$.

Beweis

Wir betrachten die nicht leere, in $\mathrm{\Omega }$ abgeschlossene Menge

$\mathrm{\Theta }:=\{x\in \mathrm{\Omega }:u(x)=\underset{y\in \mathrm{\Omega }}{\sup }u(y)=:s\}\ne \mathrm{\varnothing }$

und zeigen, dass diese Menge offen ist. Da $\mathrm{\Omega }$ ein Gebiet ist, folgt durch Fortsetzung die Identität $\mathrm{\Theta }=\mathrm{\Omega }$ und somit

$u(x)\equiv s=u(z)$ für alle $x\in \mathrm{\Omega }$.

Sei also $\xi \in \mathrm{\Theta }$ beliebig gewählt. Dann betrachten wir für beliebiges $\eta \in \mathrm{\Omega }$ mit

$|\eta -\xi |<\frac{1}{2}\mathrm{dist}(\xi ,{ℝ}^n\setminus \mathrm{\Omega })$

die Kugel $G:=B_{\varrho }(\eta )$ vom Radius $\varrho :=|\eta -\xi |$ um den Punkt $\eta$. Offenbar gilt $G\subset \subset \mathrm{\Omega }$ und $\xi \in \partial G$. Wir können also Elliptizitätskonstanten $0<m\le M<+\mathrm{\infty }$ so angeben, dass $ℳu,u\in C^2(G)$ gleichmäßig elliptisch ist. Wäre nun $u(\eta )<s=u(\xi )$ erfüllt, so gilt die Ungleichung

$\frac{\partial u}{\partial \nu }(\xi )=\mathrm{\nabla }u(\xi )\cdot \nu >0$

im Widerspruch zu $\mathrm{\nabla }u(\xi )=0$. Somit folgt $u(\eta )=s$. Da dies für beliebige $\eta \in \mathrm{\Omega }$ mit $|\eta -\xi |<\frac{1}{2}\mathrm{dist}(\xi ,{ℝ}^n\setminus \mathrm{\Omega })$ gilt, erhalten wir $B_r(\xi )\subset \mathrm{\Theta }$ mit einem $0<r<\frac{1}{2}\mathrm{dist}(\xi ,{ℝ}^n\setminus \mathrm{\Omega })$. Also ist $\mathrm{\Theta }$ offen.

q.e.d.

Satz 3 (Scharfes Maximumprinzip)

I. Sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ ein Gebiet und $z\in \partial \mathrm{\Omega }$ ein Randpunkt von $\mathrm{\Omega }$, für den folgendes gilt: Es gibt eine Kugel $B_{\varrho }(z)$ und eine Funktion $\phi =\phi (x)\in C^2(B_{\varrho }(z))$ mit $\mathrm{\nabla }\phi (z)\ne 0$ und $\phi (z)=0$, so dass

$\mathrm{\Omega }\cap B_{\varrho }(z)=\{x\in B_{\varrho }(z):\phi (x)<0\}$

erfüllt ist.

II. Die Koeffizientenfunktionen $a_{ij}(x),b_i(x)\in C^0(\bar{\mathrm{\Omega }}),i,j=1,\dots ,n$ seien so gegeben, dass der reduzierte partielle Differentialoperator

$ℳu(x)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(x)\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}u(x)+\sum _{i=1}^n{b}_i(x)\frac{\partial }{\partial x_i}u(x),x\in \mathrm{\Omega }$

gleichmäßig elliptisch auf $\mathrm{\Omega }$ ist.

III. Die Funktion $u=u(x)\in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^0(\bar{\mathrm{\Omega }})$ genüge der Differentialgleichung

$ℳu(x)\ge 0$ für alle $x\in \mathrm{\Omega }$.

IV. Schließlich nehme $u$ in $z$ ihr Maximum an, d. h.

$u(x)\le u(z)$ für alle $x\in \mathrm{\Omega }$

und für ihre dort existierende Ableitung in Richtung der äußeren Normale $\nu$ an $\partial \mathrm{\Omega }$ gelte

$\frac{\partial u}{\partial \nu }(x)=0.$

Behauptung: Dann folgt $u(x)\equiv u(z)$ für alle $x\in \bar{\mathrm{\Omega }}$.

Beweis

Wegen Voraussetzung I kann man eine Kugel $G=B_r(\xi )$ mit einem $\xi \in \mathrm{\Omega }$ und $r>0$ so bestimmen, dass

$G\subset \mathrm{\Omega },\bar{G}\cap \partial \mathrm{\Omega }=\{z\},\nu (z)=|z-\xi {|}^{-1}(z-\xi )$

richtig ist. Wäre nun $u(\xi )<u(z)$ erfüllt, so würde nach dem Hopfschen Randpunktlemma $\frac{\partial u}{\partial \nu }(x)>0$ folgen, im Widerspruch zu Voraussetzung IV. Also nimmt $u$ ihr Maximum im inneren Punkt $\xi \in \mathrm{\Omega }$ an und Satz 2 liefert $u(x)\equiv u(z)$ für alle $x\in \mathrm{\Omega }$.

Definition 2

Der lineare elliptische Differentialoperator $ℒ$ heißt stabil, falls es eine Funktion $v(x):\mathrm{\Omega }\to (0,+\mathrm{\infty })\in C^2(\mathrm{\Omega })$ mit

$ℒv(x)\le 0$ für alle $x\in \mathrm{\Omega }$

gibt.

§2 Quasilineare elliptische Differentialgleichungen

Satz 1 (Eindeutige Lösbarkeit des gemischten Randwertproblems)

I. Es sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^2$ ein beschränktes Gebiet. Der Rand $\partial \mathrm{\Omega }$ enthalte eine - eventuell leere - Teilmenge $\mathrm{\Gamma }⫋\partial \mathrm{\Omega }$ mit den folgenden Eigenschaften:

a) Die Menge $\partial \mathrm{\Omega }\setminus \mathrm{\Gamma }$ ist abgeschlossen.

b) Für alle $\xi \in \mathrm{\Gamma }$ gibt es ein $\varrho =\varrho (\xi )\in (0,+\mathrm{\infty })$ und eine Funktion $\phi =\phi (x)\in C^2(B_{\varrho }(\xi ))$ mit $\phi (\xi )=0$ und $\mathrm{\nabla }\phi (\xi )\ne 0$, so dass gilt

$\mathrm{\Omega }\cap B_{\varrho }(\xi )=\{y\in B_{\varrho }(\xi ):\phi (y)<0\}.$

II. Die stetigen Funktionen $f=f(x):\partial \mathrm{\Omega }\setminus \mathrm{\Gamma }\to ℝ$ und $g=g(x):\mathrm{\Gamma }\to ℝ$ seien vorgelegt.

III. Die beiden Funktionen $u=u(x):\bar{\mathrm{\Omega }}\to ℝ$ und $v=v(x):\bar{\mathrm{\Omega }}\to ℝ$ der Regularitätsklasse $C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^0(\bar{\mathrm{\Omega }})\cap C^1(\mathrm{\Omega }\cup \mathrm{\Gamma })$ seien Lösungen des gemischten, quasi linearen, elliptischen Randwertproblems

(1) $\sum _{i,j=1}^n{A}^{ij}(x,\mathrm{\nabla }u(x))\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}u(x)+B(x,u(x),\mathrm{\nabla }u(x))=0,x\in \mathrm{\Omega },$

(2) $f(x)=u(x),x\in \partial \mathrm{\Omega }\setminus \mathrm{\Gamma },$

(3) $\frac{\partial }{\partial \nu }u(x)=g(x),x\in \mathrm{\Gamma }.$

Dabei bezeichnet $\nu =\nu (x):\mathrm{\Gamma }\to S^{n-1}$ die äußere Normale auf $\mathrm{\Gamma }$ an $\mathrm{\Omega }$.

IV. Schließlich gelte

$B_z(x,z,p)\le 0$ für alle $(x,z,p)\in \mathrm{\Omega }\times {ℝ}^{n+1}$.

Behauptung: Dann folgt $u(x)\equiv v(x)$ für alle $x\in \bar{\mathrm{\Omega }}$.

Beweis

Die Funktion

$w(x):=u(x)-v(x)\in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^0(\bar{\mathrm{\Omega }})\cap C^1(\mathrm{\Omega }\cup \mathrm{\Gamma })$

genügt der linearen, elliptischen Differentialgleichung

(4) $\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(x)\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}w(x)+\sum _{i=1}^n{b}_i(x)\frac{\partial }{\partial x_i}w(x)+c(x)w(x)=0,x\in \mathrm{\Omega },$

die in einer Umgebung von $\mathrm{\Gamma }$ gleichmäßig elliptisch ist. Weiter erfüllt $w$ die homogenen Randbedingungen

$w(x)=0,x\in \partial \mathrm{\Omega }\setminus \mathrm{\Gamma }$ und $\frac{\partial }{\partial \nu }w(x)=0,x\in \mathrm{\Gamma }$.

Wegen Voraussetzung IV gilt für den Koeffizienten

$c(x):=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_z(x,v(x)+tw(x),\mathrm{\nabla }v(x))dt\le 0$ für alle $x\in \mathrm{\Omega }$.

Nach Satz 2 und Satz 3 aus §1 kann $w(x)$ weder in $\mathrm{\Omega }$ noch auf $\mathrm{\Gamma }$ ihr globales Maximum und globales Minimum annehmen. Somit folgt $w(x)\equiv 0$ bzw.

$u(x)\equiv v(x)$ in $\mathrm{\Omega }$.

q.e.d.

§3 Die Wärmeleitungsgleichung

Satz 1 (Fourier-Plancherelsches Integraltheorem)

Der lineare Operator

$\tilde{g}(x):={𝐅}^{-1}(g){|}_x:=(2\pi {)}^{-\frac{n}{2}}\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{i\xi \cdot x}g(\xi )d\xi ,g\in C_0^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$

kann stetig fortgesetzt werden auf den Hilbertraum

$\mathscr{H}:=L^2({ℝ}^n):=\{\phi :{ℝ}^n\to ℂ:\phi istLebesgue\text{-}messbarundesgilt\underset{{ℝ}^n}{\int }|\phi (\xi ){|}^{2}d\xi <+\mathrm{\infty }\}$

mit dem inneren Produkt

$(\phi ,\psi ):=\underset{{ℝ}^n}{\int }\phi (\xi )\bar{\psi }(\xi )d\xi ,\phi ,\psi \in \mathscr{H}.$

Die Abbildung ${𝐅}^{-1}:\mathscr{H}\to \mathscr{H}$ besitzt die Umkehrabbildung

$\tilde{f}(\xi ):=𝐅(f){|}_{\xi }:=(2\pi {)}^{-\frac{n}{2}}\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{-i\xi \cdot x}f(x)dx,f\in C_0^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n),$

die wiederum stetig auf $\mathscr{H}$ fortgesetzt werden kann. Weiter sind $𝐅$ und ${𝐅}^{-1}$ isometrische Operatoren auf $\mathscr{H}$, d. h.

$(𝐅\phi ,𝐅\psi )=(\phi ,\psi )=({𝐅}^{-1}\phi ,{𝐅}^{-1}\psi )$ für alle $\phi ,\psi \in \mathscr{H}$

und es gilt

$(𝐅\phi ,\psi )=(\phi ,{𝐅}^{-1}\psi )$ für alle $\phi ,\psi \in \mathscr{H}$.

Beweis

Dieser Satz wird später bewiesen.

Definition 1

Wir nennen den Operator $𝐅:\mathscr{H}\to \mathscr{H}$ die Fouriertransformation und ${𝐅}^{-1}$ die inverse Fouriertransformation.

Definition 2

Die Funktion

$K(x,y,t):=(4\pi t{)}^{-\frac{n}{2}}\exp \left\{\frac{|x-y{|}^2}{4t}\right\},x\in {ℝ}^n,y\in {ℝ}^n,t\in {ℝ}_{+}$

nennen wir die Kernfunktion der Wärmeleitungsgleichung.

Satz 2 (Parabolisches Maximum-Minimum-Prinzip)

Sei $u=u(x,y)\in C^2({\mathrm{\Omega }}_T)\cap C^0({\mathrm{\Omega }}_T\cup \mathrm{\Delta }{\mathrm{\Omega }}_T)$ eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung

${\mathrm{\Delta }}_{x}u(x,t)-\frac{\partial }{\partial t}u(x,t)=0,(x,t)\in {\mathrm{\Omega }}_T$

Dann folgt

$\underset{(\xi ,\tau )\in \mathrm{\Delta }{\mathrm{\Omega }}_T}{\min }u(\xi ,\tau )=:m\le u(x,t)\le M:=\underset{(\xi ,\tau )\in \mathrm{\Delta }{\mathrm{\Omega }}_T}{\max }u(\xi ,\tau ),(x,t)\in {\mathrm{\Omega }}_T.$

Beweis

Durch eine Anwendung auf die Hilfsfunktionen

$u(x,t)-M$ und $m-u(x,t),(x,t)\in {\mathrm{\Omega }}_T\cup \mathrm{\Delta }{\mathrm{\Omega }}_T$

erhält man sofort die Behauptung.

q.e.d.

Satz 3 (Eindeutigkeitssatz für die Wärmeleitungsgleichung)

Gegeben sei die beschränkte, stetige Funktion $f=f(x):{ℝ}^n\to ℝ\in C^0({ℝ}^n)$. Dann gibt es genau eine beschränkte Lösung $u$ des Anfangswertproblems für die Wärmeleitungsgleichung zu dieser Funktion $f$, d. h.

(1) $u=u(x,t)\in C^2({ℝ}^n\times {ℝ}_{+},ℝ)\cap C^0({ℝ}^n\times [0,+\mathrm{\infty }),ℝ),$

(1) ${\mathrm{\Delta }}_{x}u(x,t)-\frac{\partial }{\partial t}u(x,t)=0$ in ${ℝ}^n\times {ℝ}_{+}$,

(1) $u(x,0)=f(x),x\in {ℝ}^n,$

(1) $\underset{(x,t)\in {ℝ}^n\times {ℝ}_{+}}{\sup }|u(x,t)|<+\mathrm{\infty }.$

Beweis

Seien $u=u(x,t)$ und $v=v(x,t)$ zwei Lösungen von (1), so setzen wir

$M:=\underset{{ℝ}^n\times {ℝ}_{+}}{\sup }|u(x,t)|+\underset{{ℝ}^n\times {ℝ}_{+}}{\sup }|v(x,t)|\in [0,+\mathrm{\infty }).$

Für die Funktion

$w(x,t)=u(x,t)-v(x,t)\in C^2({ℝ}^n\times {ℝ}_{+},ℝ)\cap C^0({ℝ}^n\times [0,+\mathrm{\infty }),ℝ)$

gilt dann

(2) ${\mathrm{\Delta }}_{x}u(x,t)-\frac{\partial }{\partial t}u(x,t)=0$ in ${ℝ}^n\times {ℝ}_{+}$,

(2) $u(x,0)=f(x),x\in {ℝ}^n,$

(2) $|w(x,t)|\le M$ für alle $(x,t)\in {ℝ}^n\times [0,+\mathrm{\infty })$.

Wir wählen nun Zahlen $T\in {ℝ}_{+}$ sowie $R\in {ℝ}_{+}$ und erklären zu der Kugel $B_R:=\{x\in {ℝ}^n:|x|<R\}$ den parabolischen Zylinder

$B_{R,T}:=\{(x,t)\in {ℝ}^n\times {ℝ}_{+}:x\in B_R,t\in (0,T]\}$

mit dem parabolischen Rand

$\mathrm{\Delta }{B}_{R,T}=\{(x,t)\in \overline{B_R}\times [0,T]:x\in \partial B_R\text{ oder }t=0\}.$

Auf $B_{R,T}$ betrachten wir sowohl die Lösung $w(x,t)$ des Problems (2) als auch die Funktion

(3) $W(x,t):=\frac{2nM}{R^2}(\frac{|x{|}^2}{2n}+t).$

Die Funktion $W$ genügt der Differentialgleichung

$({\mathrm{\Delta }}_x-\frac{\partial }{\partial t})W(x,t)=\frac{2nM}{R^2}(1-1)=0,(x,t)\in B_{R,T}$

und auf dem parabolischen Rand gilt

$|w(x,t)|\le W(x,t),(x,t)\in \mathrm{\Delta }{B}_{R,T}.$

Anwendung des parabolischen Maximum-Minimum-Prinzips liefert nun

(4) $|w(x,t)|\le W(x,t)=\frac{2nM}{R^2}(\frac{|x{|}^2}{2n}+t),(x,t)\in B_{R,T}.$

Lassen wir nun $R\to +\mathrm{\infty }$ in Formel (4) streben, so folgt

$w(x,t)=0,x\in {ℝ}^n,t\in (0,T]$

mit beliebigem $T\in {ℝ}_{+}$. Somit haben wir $w(x,t)\equiv 0$ bzw. $u(x,t)\equiv v(x,t)$ in ${ℝ}^n\times {ℝ}_{+}$.

q.e.d.

§4 Charakteristische Flächen

Definition 1

Sei $\phi =\phi (y_1,\dots ,y_{n+1}):\mathrm{\Omega }\to ℝ\in C^2(\mathrm{\Omega })$ eine nicht konstante Funktion, für welche die Menge

$ℱ:=\{y\in \mathrm{\Omega }:\phi (y)=0\}$

nicht leer ist. Wir nennen $ℱ$ eine charakteristische Fläche für die Differentialgleichung

(1) $ℒu(y):=\sum _{j,k=1}^{n+1}{a}_{jk}(y)\frac{{\partial }^2}{\partial x_j\partial x_k}u(y)+\sum _{j=1}^{n+1}{b}_j(y)\frac{\partial }{\partial x_j}u(y)+c(y)u(y)=h(y),$

falls die zugehörige quadratische Form

(2) $Q[\phi ](y):=\sum _{j,k=1}^{n+1}{a}_{jk}(y)\frac{\partial \phi }{\partial y_j}(y)\frac{\partial \phi }{\partial y_k}(y),y\in \mathrm{\Omega }$

die Bedingung

$Q[\phi ](y)=0$ für alle $y\in ℱ$

erfüllt. Andererseits heißt $ℱ$ nicht charakteristische Fläche, wenn gilt

$Q[\phi ](y)\ne 0$ für alle $y\in ℱ$.

Im Falle $n=1$ sprechen wir von charakteristischen bzw. nicht charakteristischen Kurven.

Definition 2

Zu dem Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ und Zahlen $-\mathrm{\infty }\le t_1<t_2\le +\mathrm{\infty }$ betrachten wir die Dose

${\mathrm{\Omega }}_{t_1,t_2}:=\{(x,t)\in {ℝ}^n\times ℝ:x\in \mathrm{\Omega },t\in (t_1,t_2)\}.$

Wir erklären den d'Alembert-Operator $◻:C^2({\mathrm{\Omega }}_{t_1,t_2})\to C^0({\mathrm{\Omega }}_{t_1,t_2})$ durch

(3) $◻u(x_1,\dots ,x_n,t):=\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}u(x_1,\dots ,x_n,t)-c^2{\mathrm{\Delta }}_{x}u(x_1,\dots ,x_n,t)$

für $(x_1,\dots ,x_n,t)\in \mathrm{\Omega }\times (t_1,t_2)$. Dabei ist $c>0$ eine feste positive Konstante (welche im physikalischen Kontext die Lichtgeschwindigkeit darstellt).

Satz 1 (Energieabschätzung für die Wellengleichung)

Der Punkt $(\xi ,\tau )=({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n,\tau )\in {ℝ}^n\times {ℝ}_{+}$ mit dem zugehörigen Kegel

$K=K(\xi ,\tau ):=\{(x,t)\in {ℝ}^n\times {ℝ}_{+}:t\in (0,\tau ),|x-\xi |<c(\tau -t)\}$

sei gegeben. Weiter sei $u=u(x,t)\in C^2(K)\cap C^1(\bar{K})$ eine Lösung der homogenen Wellengleichung

(4) $◻u(x,t)+q(x,t)\frac{\partial }{\partial t}u(x,t)=0$ in $K$.

Hierbei ist $q=q(x,t)\in C^0(K,[0,+\mathrm{\infty }))$ ein nicht negatives, stetiges Potenzial auf $K$.

Dann gilt für alle $s\in (0,\tau )$ die Energieungleichung

(5) $\underset{x:|x-\xi |<c(\tau -s)}{\int }\{c^2|{\mathrm{\Delta }}_{x}u(x,s){|}^2+{|\frac{\partial }{\partial t}u(x,s)|}^2\}dx\le \underset{x:|x-\xi |<c\tau }{\int }\{c^2|{\mathrm{\Delta }}_{x}u(x,0){|}^2+{|\frac{\partial }{\partial t}u(x,0)|}^2\}dx.$

Beweis

1. Mit Hilfe der Transformation $(x,t)\mapsto (c(x+\xi ),t)$ ziehen wir uns auf den Fall $\xi =0,c=1$ zurück. Die Koeffizientenmatrix des d'Alembert-Operators hat dann die Form

(6) $(a_{jk}{)}_{j,k=1,\dots ,n+1}=\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& \dots & 0\\ 0& \ddots & & ⋮\\ ⋮& & -1& 0\\ 0& \dots & 0& +1\end{array}\right).$

Für $s\in (0,\tau )$ betrachten wir die Dose

$D=D(s):=\{(x,t)\in {ℝ}^n\times {ℝ}_{+}:t\in (0,\tau )|x|<\tau -t,t\in (0,s)\},$

dessen Rand $\partial D={ℱ}_0\cup {ℱ}_s\cup ℱ$ aus den drei Hyperflächen ${ℱ}_0,{ℱ}_s$ und $ℱ$ besteht. Dabei ist $ℱ=\partial D\cap \partial K(0,\tau )$ eine charakteristische Fläche für die Differentialgleichung (4) mit der äußeren Normale

$\nu =\nu (x,t)=({\nu }_1(x,t),\dots ,{\nu }_n(x,t),{\nu }_{n+1}(x,t))=(\tilde{\nu }(x,t),{\nu }_{n+1}(x,t))$

$=(\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{x}{|x|},\frac{1}{\sqrt{2}}),(x,t)\in ℱ.$

Für die Flächen

${ℱ}_0:=\{(x,t)\in \partial D\setminus \partial K(0,\tau ):t=0\}$

bzw.

${ℱ}_s:=\{(x,t)\in \partial D\setminus \partial K(0,\tau ):t=s\}$

erhalten wir die äußere Normale

$\nu =\nu (x,0)=(0,\dots ,0,-1),(x,0)\in {ℱ}_0,$

$\nu =\nu (x,s)=(0,\dots ,0,+1),(x,s)\in {ℱ}_s.$

2. Wir multiplizieren nun (4) mit $2u_t(x,t)$ und berechnen

(7) $0=2u_t(u_{tt}-{\mathrm{\Delta }}_{x}u(x,t))+2q(x,t)(u_t(x,t){)}^2$

$=\frac{\partial }{\partial t}[(u_t{)}^2]-2{\mathrm{div}}_x(u_t{\mathrm{\nabla }}_{x}u)+2{\mathrm{\nabla }}_x{u}_t\cdot {\mathrm{\nabla }}_{x}u+2q(u_t{)}^2$

$=\frac{\partial }{\partial t}[|{\mathrm{\nabla }}_{x}u(x,t){|}^2+{|\frac{\partial }{\partial t}u(x,t)|}^2]+{\mathrm{div}}_x(-2u_t{\mathrm{\nabla }}_{x}u)+2q(u_t{)}^2$

für $(x,t)\in D$. Integrieren wir (7) mit Hilfe des Gaußschen Satzes über die Dose $D=D(s)$, so erhalten wir

$0=2\underset{D}{\int }q(x,t)(u_t(x,t){)}^{2}dxdt+\underset{{ℱ}_s}{\int }\{|{\mathrm{\nabla }}_{x}u(x,s){|}^2+{|\frac{\partial }{\partial t}u(x,s)|}^2\}dx$

$-\underset{{ℱ}_0}{\int }\{|{\mathrm{\nabla }}_{x}u(x,0){|}^2+{|\frac{\partial }{\partial t}u(x,0)|}^2\}dx$

$+\underset{ℱ}{\int }\{-2u_t{\mathrm{\nabla }}_{x}u\cdot \tilde{\nu }+\frac{1}{\sqrt{2}}(|{\mathrm{\nabla }}_{x}u{|}^2+|u_t{|}^2\left)\right\}d\sigma (x,t)$

$\ge \underset{{ℱ}_s}{\int }\{|{\mathrm{\nabla }}_{x}u(x,s){|}^2+|u_t(x,s){|}^2\}dx-\underset{{ℱ}_0}{\int }\{|{\mathrm{\nabla }}_{x}u(x,0){|}^2+|u_t(x,0){|}^2\}dx.$

Es ist nämlich $q(u_t{)}^2$ nicht negativ und es gilt

$|2u_t{\mathrm{\nabla }}_{x}u\cdot \tilde{\nu }|\le 2|u_t||{\mathrm{\nabla }}_{x}u||\tilde{\nu }|=\frac{2}{\sqrt{2}}|u_t||{\mathrm{\nabla }}_{x}u|\le \frac{1}{\sqrt{2}}(|{\mathrm{\nabla }}_{x}u{|}^2+|u_t{|}^2)$

auf $ℱ$. Es folgt also

$\underset{{ℱ}_s}{\int }\{|{\mathrm{\nabla }}_{x}u(x,s){|}^2{|\frac{\partial }{\partial t}u(x,s)|}^2\}dx\le \underset{{ℱ}_0}{\int }\{|{\mathrm{\nabla }}_{x}u(x,0){|}^2{|\frac{\partial }{\partial t}u(x,0)|}^2\}dx.$

q.e.d.

Satz 2 (Eindeutigkeit des Cauchyschen Anfangswertproblems für die Wellengleichung)

Die Voraussetzungen von Satz 1 seien erfüllt und $u=u(x,t)$ genüge zusätzlich den homogenen Cauchyschen Anfangsbedingungen

(8) $u(x,0)=0=u_t(x,0)$ für alle $x\in {ℝ}^n$ mit $|x-\xi |<c\tau$.

Dann folgt $u(x,t)\equiv 0$ auf $K=K(\xi ,\tau )$.

Beweis

Aus den Anfangsbedingungen (8) lesen wir ab

$c^2|{\mathrm{\nabla }}_{x}u(x,0){|}^2+{|\frac{\partial }{\partial t}u(x,0)|}^2=0,|x-\xi |<c\tau$

und die Energieabschätzung aus Satz 1 liefert

$\underset{x:|x-\xi |<c(\tau -s)}{\int }\{c^2|{\mathrm{\Delta }}_{x}u(x,s){|}^2+{|\frac{\partial }{\partial t}u(x,s)|}^2\}dx=0$ für alle $s\in (0,\tau )$.

Somit folgt ${\mathrm{\nabla }}_{x}u(x,t)\equiv 0\equiv u_t(x,t)$ auf $K$ und daher $u(x,t)\equiv \mathrm{const}$. Wiederum aus (8) erhalten wir schließlich

$u(x,t)\equiv 0$ in $K$.

q.e.d.

§5 Die Wellengleichung im ${ℝ}^n$ für $n=1,3,2$

Satz 1 (d'Alembert)

Zu vorgegebenen Funktionen $f=f(x)\in C^2(ℝ)$ und $g=g(x)\in C^1(ℝ)$ stellt die Funktion

(1) $u(x,t)=\frac{1}{2}\{f(x+ct)+f(x-ct)\}+\frac{1}{2c}\underset{x-ct}{\overset{x+ct}{\int }}g(\xi )d\xi ,(x,t)\in {ℝ}^2$

die eindeutig bestimmte Lösung des Cauchyschen Anfangswertproblems für die eindimensionale Wellengleichung $𝒫(f,g,1)$ dar.

Definition 1

Sei $f=f(x)\in C^2({ℝ}^n)$ gegeben. Wir nennen die Funktion

(2) $v=v(x,r)=M(x,r;f):=\frac{1}{{\omega }_n}\underset{|\xi |=1}{\int }f(x+r\xi )d\sigma (\xi ),(x,r)\in {ℝ}^n\times ℝ$

den sphärischen Integralmittelwert von $f$ über die Sphäre

$\partial B_{|r|}(x):=\{y\in {ℝ}^n:|y-x|=|r|\}.$

Satz 2 (F. John)

Zu vorgegebenem $f=f(x)\in C^k({ℝ}^n)$ mit $k\ge 2$ gehört die Funktion $v=v(x,r)=M(x,r;f):{ℝ}^n\times ℝ\to ℝ$ der Regularitätsklasse $C^k({ℝ}^n\times ℝ)$ an und es gelten die folgenden Aussagen:

a) $v(x,0)=f(x)$ für alle $x\in {ℝ}^n$.

b) $v(x,-r)=v(x,r)$ für alle $x\in {ℝ}^n,r\in ℝ$.

c) $\frac{\partial }{\partial r}v(x,0)=0$ für alle $x\in {ℝ}^n$.

d) $\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}v(x,r)+\frac{n-1}{r}\frac{\partial }{\partial r}v(x,r)-{\mathrm{\Delta }}_{x}v(x,r)=0$ im ${ℝ}^n\times (ℝ\setminus \{0\})$.

Beweis

a) Aus (2) ersehen wir $v\in C^k({ℝ}^n\times ℝ)$ und

$v(x,0)=\frac{1}{{\omega }_n}\underset{|\xi |=1}{\int }f(x)d\sigma (\xi )=f(x)$ für alle $x\in {ℝ}^n$.

b) und c) Ebenfalls aus (2) lesen wir sofort ab $v(x,-r)=v(x,r)$ und Differentiation liefert $-v_r(x,0)=v_r(x,0)$ für alle $x\in {ℝ}^n$.

d) Wir führen auf der Sphäre $S^{n-1}(x):=\{y\in {ℝ}^n:|y-x|=1\}$ Polarkoordinaten ein:

$y=x+r\xi ,\xi \in S^{n-1},r>0.$

Nach Kapitel I, §8 wird der Laplaceoperator in diesen Koordinaten zu

$\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{n-1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2}\mathrm{\Lambda },$

wobei $\mathrm{\Lambda }$ den Laplace- Beltrami-Operator auf der Sphäre $S^{n-1}$ bezeichnet. In Kapitel I, §8 haben wir die Symmetrie von $\mathrm{\Lambda }$ auf $S^{n-1}$nachgewiesen. Wir erhalten damit für alle $x\in {ℝ}^n$ und $r>0$ die Gleichung

${\mathrm{\Delta }}_{x}v(x,r)=\frac{1}{{\omega }_n}\underset{|\xi |=1}{\int }{\mathrm{\Delta }}_{x}f(x+r\xi )d\sigma (\xi )$

$=\frac{1}{{\omega }_n}\underset{|\xi |=1}{\int }\{\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{n-1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2}\mathrm{\Lambda }\}f(x+r\xi )d\sigma (\xi )$

$=\{\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{n-1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\}v(x,r)+\frac{1}{r^2{\omega }_n}\underset{|\xi |=1}{\int }1\cdot \mathrm{\Lambda }f(x+r\xi )d\sigma (\xi )$

$=\{\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{n-1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\}v(x,r)+\frac{1}{r^2{\omega }_n}\underset{|\xi |=1}{\int }(\mathrm{\Lambda }1)\cdot f(x+r\xi )d\sigma (\xi )=\{\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{n-1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\}v(x,r),$

denn $\mathrm{\Lambda }1=0$. Also ist die Darbouxsche Differentialgleichung für alle $x\in {ℝ}^n$ und $r>0$ erfüllt. Da diese invariant unter der Spiegelung $r\mapsto -r$ ist, bleibt sie gültig für alle $x\in {ℝ}^n$ und $r<0$.

q.e.d.

Satz 3 (Kirchhoff)

Es seien Funktionen $f=f(x)\in C^3({ℝ}^3)$ und $g=g(x)\in C^2({ℝ}^3)$ vorgegeben. Dann wird das Cauchysche Anfangswertproblem $𝒫(f,g,3)$ für die dreidimensionale Wellengleichung eindeutig gelöst durch die Funktion

(3) $u(x,t)=\frac{\partial }{\partial t}\{tM(x,ct;f)\}+tM(x,ct;g)=\frac{1}{4\pi c^2{t}^2}\underset{|y-x|=ct}{\iint }\{tg(y)+f(y)+\mathrm{\nabla }f(y)\cdot (y-x)\}d\sigma (y)$

für $(x,t)\in {ℝ}^3\times {ℝ}_{+}$.

Beweis

1. Gemäß Satz 2 für den Fall $n=3$ erfüllt die Funktion $v(x,r)=M(x,r;g),(x,r)\in {ℝ}^3\times (ℝ\setminus \{0\})$ die Darbouxsche Differentialgleichung

$0=v_{rr}(x,r)+\frac{2}{r}{v}_r(x,r)-{\mathrm{\Delta }}_{x}v(x,r)=\frac{1}{r}\{rv(x,r){\}}_{rr}-{\mathrm{\Delta }}_{x}v(x,r).$

Multiplikation mit $r$ liefert

$0=\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}\{rv(x,r)\}-{\mathrm{\Delta }}_x\{rv(x,r)\},(x,r)\in {ℝ}^3\times ℝ.$

Wir betrachten nun die Funktion

$\psi (x,t):=\frac{1}{c}\{ctv(x,ct)\}=tv(x,ct)=\frac{t}{4\pi }\underset{|\xi |=1}{\iint }g(x+ct\xi )d\sigma (\xi )$

mit $(x,t)\in {ℝ}^3\times ℝ$. Diese genügt der Wellengleichung

(4) $◻\psi (x,t)=\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\psi (x,t)-c^2{\mathrm{\Delta }}_x\psi (x,t)=0$ im ${ℝ}^3\times ℝ$

und erfüllt die Anfangsbedingungen

(5) $\psi (x,0)=0,\frac{\partial }{\partial t}\psi (x,0)=v(x,0)=g(x)$ für alle $x\in {ℝ}^3$.

2. Wie in Teil 1 des Beweises sieht man, dass die Funktion

$\chi (x,t):=tM(x,ct;f)=\frac{t}{4\pi }\underset{|\xi |=1}{\iint }f(x+ct\xi )d\sigma (\xi ),(x,t)\in {ℝ}^3\times ℝ$

der Wellengleichung $◻\chi (x,t)=0$ im ${ℝ}^3\times ℝ$ genügt. Ferner gilt $\chi \in C^3({ℝ}^3\times ℝ)$. Wir betrachten nun die Funktion

$\phi (x,t):=\frac{\partial }{\partial t}\chi (x,t)=\frac{\partial }{\partial t}\{tM(x,ct;f)\}=M(x,ct;f)+t\frac{\partial }{\partial t}M(x,ct;f)$

$=\frac{1}{4\pi }\underset{|\xi |=1}{\iint }f(x+ct\xi )d\sigma (\xi )+\frac{1}{4\pi }\frac{\partial }{\partial t}\{\underset{|\xi |=1}{\iint }f(x+ct\xi )d\sigma (\xi )\}$

$=\frac{1}{4\pi }\underset{|\xi |=1}{\iint }\{f(x+ct\xi )+ct\mathrm{\nabla }f(x+ct\xi )\cdot \xi \}d\sigma (\xi ).$

Auch $\phi$ erfüllt die Wellengleichung und wir haben die Anfangsbedingungen

$\phi (x,0)=M(x,0;f)=f(x),$

$\frac{\partial }{\partial t}\phi (x,0)=\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\chi (x,0)=c^2{\mathrm{\Delta }}_x\chi (x,0)=c^2\{t{\mathrm{\Delta }}_{x}M(x,ct;f){\}}_{t=0}=0$

für alle $x\in {ℝ}^3$.

3. Mit

$u(x,t):=\phi (x,t)+\psi (x,t)=\frac{\partial }{\partial t}\{tM(x,ct;f)\}+tM(x,ct;g)$

$=\frac{1}{4\pi }\underset{|\xi |=1}{\iint }\{f(x+ct\xi )+ct\mathrm{\nabla }f(x+ct\xi )\cdot \xi +tg(x+ct\xi )\}d\sigma (\xi ).$

für $(x,t)\in {ℝ}^3\times ℝ$ erhalten wir eine Lösung der Wellengleichung und wegen (5) und obigen Anfangsbedingungen genügt $u$ den Anfangsbedingungen

$u(x,0)=f(x),\frac{\partial }{\partial t}u(x,0)=g(x),x\in {ℝ}^3.$

Verwenden wir nun die Substitution $y=x+ct\xi ,d\sigma (y)=c^2{t}^{2}d\sigma (\xi )$, so folgt für alle $(x,t)\in {ℝ}^3\times {ℝ}_{+}$ die Identität

$u(x,t)=\frac{1}{4\pi c^2{t}^2}\underset{|y-x|=ct}{\iint }\{tg(y)+f(y)+\mathrm{\nabla }f(y)\cdot (y-x)\}d\sigma (y).$

q.e.d.