Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen

§1 Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung

Definition 1

Auf der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ sei die Funktion $f=f(z):\mathrm{\Omega }\to ℂ$ erklärt und $z_0\in \mathrm{\Omega }$ sei ein beliebiger Punkt. Dann heißt $f$ komplex differenzierbar im Punkt $z_0$, wenn der Grenzwert

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{z\to z_0}{z\ne z_0}}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=:f^{\prime }(z_0)$

existiert. Wir nennen $f^{\prime }(z_0)$ die komplexe Ableitung der Funktion $f$ an der Stelle $z_0$. Falls $f^{\prime }(z)$ für alle $z\in \mathrm{\Omega }$ existiert und die Funktion $f^{\prime }:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ stetig ist, nennen wir $f$ holomorph in $\mathrm{\Omega }$.

§2 Holomorphe Funktionen im ${ℂ}^n$

Satz 1 (Cauchy, Riemann)

Seien $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und $f\in C^1(\mathrm{\Omega },ℂ)$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) $f$ ist in $\mathrm{\Omega }$ holomorph;

(b) Realteil und Imaginärteil von $f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$ erfüllen das Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungssystem

(1) $\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial v(x,y)}{\partial y},\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}=-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}$ in $\mathrm{\Omega }$;

(c) Für jede geschlossene Kurve $X\in 𝒞(\mathrm{\Omega },P,P)$ mit $P\in \mathrm{\Omega }$ gilt

$\underset{X}{\int }f(z)dz=0;$

(d) es gibt eine holomorphe Funktion $F:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ mit

$F^{\prime }(z)=f(z),z\in \mathrm{\Omega },$

also eine Stammfunktion $F$ von $f$.

Beweis

1. Die Äquivalenz $(a)\iff (b)$ wurde bereits gezeigt.

2. Wir zeigen $(b)\iff (c)$. Offenbar ist

$\underset{X}{\int }f(z)dz=0$ für alle $X\in 𝒞(\mathrm{\Omega })$

genau dann erfüllt, wenn gilt

$\underset{X}{\int }{\omega }_1=0,\underset{X}{\int }{\omega }_2=0$ für alle $X\in 𝒞(\mathrm{\Omega })$.

Dies ist wiederum äquivalent zu

$d{\omega }_1=0,d{\omega }_2=0$ in $\mathrm{\Omega }$

bzw. zu (1).

3. Wir beweisen nun $(c)\Rightarrow (d)$. Es ist dann $(c)$ äquivalent zur Existenz von Funktionen $U,V\in C^1(\mathrm{\Omega },ℝ)$ mit den Eigenschaften

$dU(x,y)={\omega }_1(x,y),dV(x,y)={\omega }_2(x,y)$ in $\mathrm{\Omega }$

bzw.

(2) $\begin{array}{c}{U}_x(x,y)=u(x,y),U_y(x,y)=-v(x,y),\\ V_x(x,y)=v(x,y),V_y(x,y)=u(x,y).\end{array}$

Die Gleichungen (2) sind nun äquivalent zu

(3) $\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x}(U(x,y)+iV(x,y))=u(x,y)+iv(x,y)=f(x,y),\\ \frac{1}{i}\frac{\partial }{\partial y}(U(x,y)+iV(x,y))=u(x,y)+iv(x,y)=f(x,y).\end{array}$

Wir erhalten also mit $F=U+iV$ eine holomorphe Funktion in $\mathrm{\Omega }$ mit

$F^{\prime }(z)=\frac{\partial }{\partial x}F(x,y)=f(z),z\in \mathrm{\Omega }.$

4. Schließlich zeigen wir noch $(d)\Rightarrow (c)$. Sei $X\in 𝒞(\mathrm{\Omega })$, dann gilt

$\underset{X}{\int }f(z)dz=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(X(t))X^{\prime }(t)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{d}{dt}F(X(t))dt$

$=F(X(b))-F(X(a))=0$

wegen $X(a)=X(b)$.

q.e.d.

Satz 2 (Monodromiesatz)

Seien $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ ein Gebiet und $P,Q\in \mathrm{\Omega }$ zwei beliebige Punkte. Weiter seien $X,Y\in 𝒞(\mathrm{\Omega },P,Q)$ zwei zueinander homotope Kurven mit festem Anfangspunkt $P\in \mathrm{\Omega }$ und Endpunkt $Q\in \mathrm{\Omega }$. Ist nun $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ holomorph, dann gilt

$\underset{X}{\int }f(z)dz=\underset{Y}{\int }f(z)dz.$

Satz 3 (Cauchy, Weierstraß)

Seien $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ ein Gebiet, $z_0\in \mathrm{\Omega }$ sowie $r>0$ so gegeben, dass die offene Kreisscheibe

$K=K_r(z_0):=\{z\in ℂ:|z-z_0|<r\}$

die Inklusion $K\subset \subset \mathrm{\Omega }$ erfüllt. Weiter sei $f\in C^1(\mathrm{\Omega },ℂ)$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) $f(z)$ ist in $K$ holomorph;

(b) es gilt die Cauchysche Integralformel

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial K}{\oint }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta$

für alle $z\in K$ mit $\zeta =\xi +i\eta$, wobei das Integral über die positiv orientierte Kreislinie zu verstehen ist;

(c) es gilt

$f(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-z_0{)}^k,z\in K$

mit den Koeffizienten

$a_k:=\frac{1}{k!}{f}^{(k)}(z_0),k=0,1,2,\dots .$

Beweis

1. Wir zeigen die Richtung $(a)\Rightarrow (b)$. Die Funktion

$g(\zeta ):=\frac{f(\zeta )}{\zeta -z},\zeta \in K\setminus \{z\}$

ist in ihrem Definitionsbereich holomorph. Weiter sind für alle hinreichend kleinen $\epsilon >0$ die Kurven

$X(t):=z+\epsilon e^{it},0\le t\le 2\pi$

und

$Y(t):=z_0+r{e}^{i\phi },0\le \phi \le 2\pi$

in $\bar{K}\setminus \{z\}$ zueinander homotop. Somit folgt

$\underset{\partial K}{\oint }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta =\underset{Y}{\int }g(\zeta )d\zeta =\underset{X}{\int }g(\zeta )d\zeta =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{f(z+\epsilon e^{it})}{\epsilon e^{it}}i\epsilon e^{it}dt$

$=i\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(z+\epsilon e^{it})dt.$

Für $\epsilon \to 0+$ erhalten wir somit

$\underset{\partial K}{\oint }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta =2\pi if(z)$

und

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial K}{\oint }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta$ für alle $z\in K$.

2. Wir zeigen $(b)\Rightarrow (c)$. Für alle $z\in K,\zeta \in \partial K$ gilt

$\frac{1}{\zeta -z}=\frac{1}{(\zeta -z_0)-(z-z_0)}=\frac{1}{\zeta -z_0}\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{\zeta -z_0}}.$

Nun ist

$\left|\frac{z-z_0}{\zeta -z_0}\right|<1,$

so dass wir den Bruch in die gleichmäßig konvergente geometrische Reihe

$\frac{1}{\zeta -z_0}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{z-z_0}{\zeta -z_0}\right)}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(\zeta -z_0{)}^{k+1}}(z-z_0{)}^k$

entwickeln können. Daraus folgt

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial K}{\oint }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta =\frac{1}{2\pi i}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\underset{\partial K}{\oint }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z_0{)}^{k+1}}d\zeta \right)(z-z_0{)}^k$

$=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-z_0{)}^k$

mit den Koeffizienten

$a_k:=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial K}{\oint }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z_0{)}^{k+1}}d\zeta =\frac{1}{k!}{f}^{(k)}(z_0),k=0,1,2,\dots .$

3. Die Richtung $(c)\Rightarrow (a)$ wurde bereits gezeigt.

q.e.d.

Satz 4 (Identitätssatz für holomorphe Funktionen)

Auf dem Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ seien die beiden holomorphen Funktionen $f,g:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ gegeben. Weiter sei $\{z_k{\}}_{k=1,2,\dots }$ eine konvergente Folge mit

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_k=z_0\in \mathrm{\Omega }.$

Schließlich sei

$f(z_k)=g(z_k),k=1,2,\dots$

erfüllt. Dann folgt

$f(z)\equiv g(z)$ in $\mathrm{\Omega }$.

Beweis

Wir nehmen an, dass die holomorphe Funktion $h(z):=f(z)-g(z)$ nicht identisch verschwindet. Im Punkt $z_0\in \mathrm{\Omega }$ entwickeln wir $h=h(z)$ in eine Potenzreihe

$h(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z-z_0{)}^k,z\in K_{\varrho }(z_0),\varrho :=\mathrm{dist}(z_0,\partial \mathrm{\Omega }).$

Wegen $h(z_0)=0$ gibt es ein $n\in \mathbb{N}$ mit $a_n\ne 0$, so dass

$h(z)=a_n(z-z_0{)}^n\{1+\alpha (z)\}$ mit $\underset{z\to z_0}{\lim }\alpha (z)=0$

gilt. Für hinreichend kleines $\varrho >0$ erhalten wir

$|h(z)|\ge |a_n||z-z_0{|}^n(1-\frac{1}{2})=\frac{|a_n|}{2}|z-z_0{|}^n,z\in K_{\varrho }(z_0).$

Somit folgt

$h(z)\ne 0$ für alle $z\in K_{\varrho }(z_0)\setminus \{z_0\}$

im Widerspruch zu

$h(z_k)=f(z_k)-g(z_k)=0,k=1,2,3,\dots .$

q.e.d.

Definition 1

Eine im Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset {ℂ}^n,n\in \mathbb{N}$ erklärte Funktion

$w=f(z)=f(z_1,\dots ,z_n):\mathrm{\Omega }\to ℂ,(z_1,\dots ,z_n)\in \mathrm{\Omega }$

nennen wir holomorph, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

(a) es ist $f\in C^0(\mathrm{\Omega },ℂ)$;

(b) für jedes feste $(z_1,\dots ,z_n)\in \mathrm{\Omega }$ und $k\in \{1,\dots ,n\}$ ist die Funktion

$\mathrm{\Phi }(t):=f(z_1,\dots ,z_{k-1},t,z_{k+1},\dots ,z_n),t\in K_{{\epsilon }_k}(z_k)$

mit

$K_{{\epsilon }_k}(z_k):=\{t\in ℂ:|t-z_k|<{\epsilon }_k\}$

bei hinreichend kleinem ${\epsilon }_k={\epsilon }_k(z)>0$ holomorph.

Satz 5 (Cauchysche Integralformel im ${ℂ}^n$)

Im Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset {ℂ}^n$ sei die Funktion $f=f(z_1,\dots ,z_n):\mathrm{\Omega }\to ℂ$ holomorph. Mit $z^0=(z_1^0,\dots ,z_n^0)\in \mathrm{\Omega }$ und $R_1,\dots ,R_n>0$ sei auch der Polyzylinder

$P:=\{z=(z_1,\dots ,z_n):|z_k-z_k^0|<R_k,k=1,\dots ,n\}$

kompakt in $\mathrm{\Omega }$ enthalten, d. h. es gilt $\bar{P}\subset \mathrm{\Omega }$. Für alle $z=(z_1,\dots ,z_n)\in P$ gilt dann die Integraldarstellung

$f(z_1,\dots ,z_n)=\frac{1}{(2\pi i{)}^n}\underset{|{\zeta }_1-z_1^0|=R_1}{\oint }\dots \underset{|{\zeta }_n-z_n^0|=R_n}{\oint }\frac{f({\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n)}{({\zeta }_1-z_1)\cdot \dots \cdot ({\zeta }_n-z_n)}d{\zeta }_1\dots d{\zeta }_n$

$=\frac{1}{(2\pi i{)}^n}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\dots \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{f(z_1^0+R_1{e}^{i{t}_1},\dots ,z_n^0+R_n{e}^{i{t}_n})}{(z_1^0+R_1{e}^{i{t}_1}-z_1)\cdot \dots \cdot (z_n^0+R_n{e}^{i{t}_n}-z_n)}\cdot (i{R}_1{e}^{i{t}_1})\cdot \dots \cdot (i{R}_n{e}^{i{t}_n})d{t}_1\dots d{t}_n.$

Beweis

Die Funktion $f=f(z)$ ist holomorph bezüglich der Veränderlichen $z_1,\dots ,z_n$. Wir berechnen also

$f(z_1,\dots ,z_n)=\frac{1}{2\pi i}\underset{|{\zeta }_1-z_1^0|=R_1}{\oint }\frac{f({\zeta }_1,z_2,\dots ,z_n)}{{\zeta }_1-z_1}d{\zeta }_1$

$=\frac{1}{(2\pi i{)}^2}\underset{|{\zeta }_1-z_1^0|=R_1}{\oint }\frac{d{\zeta }_1}{{\zeta }_1-z_1}\underset{|{\zeta }_2-z_2^0|=R_2}{\oint }\frac{f({\zeta }_1,{\zeta }_2,z_3,\dots ,z_n)}{{\zeta }_2-z_2}d{\zeta }_2$

$⋮$

$=\frac{1}{(2\pi i{)}^n}\underset{|{\zeta }_1-z_1^0|=R_1}{\oint }\dots \underset{|{\zeta }_n-z_n^0|=R_n}{\oint }\frac{f({\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n)}{({\zeta }_1-z_1)\cdot \dots \cdot ({\zeta }_n-z_n)}d{\zeta }_1\dots d{\zeta }_n$

Führen wir Polarkoordinaten ein, so folgt auch die zweite Darstellung.

q.e.d.

Satz 6 (Liouville)

Sei $f(z_1,\dots ,z_n):{ℂ}^n\to ℂ$ holomorph und es gebe eine Konstante $M\in [0,+\mathrm{\infty })$, so dass

$|f(z_1,\dots ,z_n)|\le M$ für alle $(z_1,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n$

gilt. Dann gibt es ein $c\in ℂ$, so dass

$f(z_1,\dots ,z_n)\equiv c$ auf dem ${ℂ}^n$

richtig ist. Also ist jede beschränkte ganze holomorphe Funktion konstant.

Beweis

Man kann $f=f(z)$ auf dem ${ℂ}^n$ um $z_1=\dots =z_n=0$ in die Potenzreihe

$f(z_1,\dots \dots ,z_n)=\sum _{k_1,\dots ,k_n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{k_1\dots k_n}{z}_1^{k_1}\cdot \dots \cdot z_n^{k_n}$

entwickeln. Wählen wir den Polyzylinder

$P:=\{(z_1,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n:|z_j|<R,j=1,\dots ,n\}\subset {ℂ}^n,$

so liefern die Cauchyschen Abschätzungsformeln

$|a_{k_1\dots k_n}|\le \frac{M}{R^{k_1+\dots +k_n}}\to 0$ für $R\to \mathrm{\infty }$

für alle $(k_1,\dots ,k_n)\in {\mathbb{N}}^n$ mit $k_1+\dots +k_n>0$. Somit folgt

$f(z_1,\dots ,z_n)=a_{0\dots 0}=:c\in ℂ$ für alle $(z_1,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n$.

q.e.d.

Satz 7 (Identitätssatz im ${ℂ}^n$)

Im Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset {ℂ}^n$ seien die Funktionen $f(z):\mathrm{\Omega }\to ℂ$ und $g(z):\mathrm{\Omega }\to ℂ$ holomorph. Weiter sei $z^0=(z_1^0,\dots ,z_n^0)\in \mathrm{\Omega }$ ein fester Punkt, an welchem

${\left(\frac{\partial }{\partial {\zeta }_1}\right)}^{k_1}\dots {\left(\frac{\partial }{\partial {\zeta }_n}\right)}^{k_n}f({\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n){|}_{\zeta =z^0}={\left(\frac{\partial }{\partial {\zeta }_1}\right)}^{k_1}\dots {\left(\frac{\partial }{\partial {\zeta }_n}\right)}^{k_n}g({\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n){|}_{\zeta =z^0}$

für $k_1,\dots ,k_n=0,1,2,\dots$ erfüllt ist. Dann folgt

$f(z)\equiv g(z)$ für alle $z\in \mathrm{\Omega }$.

Beweis

Wir betrachten die Funktion

$h(z):=f(z)-g(z),z\in \mathrm{\Omega }$

und die nicht leere Menge

$\mathrm{\Theta }:=\{z\in \mathrm{\Omega }:{\left(\frac{\partial }{\partial {\zeta }_1}\right)}^{k_1}\dots {\left(\frac{\partial }{\partial {\zeta }_n}\right)}^{k_n}h(\zeta ){|}_{\zeta =z}=0,k_1,\dots ,k_n=0,1,2,\dots \}.$

Diese Menge ist offenbar abgeschlossen und auch offen, denn in jedem Punkt $z\in \mathrm{\Theta }$ ist $h=h(z)$ in eine verschwindende Potenzreihe entwickelbar. Verbinden wir nun einen beliebigen Punkt $z^1\in \mathrm{\Omega }$ mit dem Punkt $z^0\in \mathrm{\Theta }$ durch einen Weg $\phi :[0,1]\to \mathrm{\Omega }\in C^0([0,1],\mathrm{\Omega })$ mit $\phi (0)=z^0$ und $\phi (1)=z^1$, so liefert ein Fortsetzungsargument $\phi ([0,1])\subset \mathrm{\Theta }$, denn die Menge $\mathrm{\Theta }$ ist abgeschlossen und offen. Somit folgen $z^1=\phi (1)\in \mathrm{\Theta }$ und damit $\mathrm{\Theta }=\mathrm{\Omega }$. Dieses liefert $h(z)\equiv 0$ in $\mathrm{\Omega }$, also $f(z)\equiv g(z)$ in $\mathrm{\Omega }$.

q.e.d.

Satz 8 (Holomorphe Parameterintegrale)

Voraussetzungen: Seien $\mathrm{\Theta }\subset {ℝ}^m$ und $\mathrm{\Omega }\subset {ℂ}^n$ Gebiete mit $m,n\in \mathbb{N}$. Ferner sei

$f=f(t,z)=f(t_1,\dots ,t_m,z_1,\dots ,z_n):\mathrm{\Theta }\times \mathrm{\Omega }\to ℂ\in C^0(\mathrm{\Theta }\times \mathrm{\Omega },ℂ)$

eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften:

(a) Für jedes feste $t\in \mathrm{\Theta }$ ist

$\mathrm{\Phi }(z):=f(t,z),z\in \mathrm{\Omega }$

holomorph.

(b) Es gibt eine stetige Funktion $F(t):\mathrm{\Theta }\to [0,+\mathrm{\infty })\in C^0(\mathrm{\Theta },ℝ)$ mit

$\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }F(t)dt<+\mathrm{\infty },$

welche die Funktion $f=f(t,z)$ gleichmäßig majorisiert, d. h. es gilt

$|f(t,z)|\le F(t)$ für alle $(t,z)\in \mathrm{\Theta }\times \mathrm{\Omega }.$

Behauptung: Dann ist die Funktion

$\phi (z):=\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }f(t,z)dt,z\in \mathrm{\Omega }$

holomorph in $\mathrm{\Omega }$.

Beweis

1. Sei $Q$ ein abgeschlossener Quader mit $Q\subset \mathrm{\Theta }$, so zeigen wir, dass die Funktion

$\mathrm{\Psi }(z):=\underset{Q}{\int }f(t,z)dt,z\in \mathrm{\Omega }$

holomorph ist. Hierzu zerlegen wir den Quader $Q$ mittels

${𝒵}_k:Q=\bigcup _{l=1}^{N_k}{Q}_l$

in Teilquader, deren Feinheitsmaß $\delta ({𝒵}_k)\to 0$ für $k\to \mathrm{\infty }$ erfüllt. Ist nun $K\subset \mathrm{\Omega }$ eine beliebige kompakte Menge, so gibt es zu jedem $\epsilon >0$ ein $k_0=k_0(\epsilon )\in \mathbb{N}$, so dass für alle $k\ge k_0$ die Abschätzung

$|\mathrm{\Psi }(z)-\sum _{l=1}^{N_k}f(t^{(l)},z)|Q_l||=|\underset{Q}{\int }f(t,z)dt-\sum _{l=1}^{N_k}f(t^{(l)},z)|Q_l||\le \epsilon$

für alle $z\in K$ mit $t^{(l)}\in Q_l$ gilt. Auf einem Kompaktum ist die stetige Funktion $f=f(t,z)$ nämlich gleichmäßig stetig. Die Folge holomorpher Funktionen

${\mathrm{\Psi }}_k(z):=\sum _{l=1}^{N_k}f(t^{(l)},z)|Q_l|,z\in \mathrm{\Omega },k=1,2,3,\dots$

konvergiert auf jedem Kompaktum $K\subset \mathrm{\Omega }$ gleichmäßig gegen die holomorphe Funktion

$\mathrm{\Psi }(z):=\underset{Q}{\int }f(t,z)dt,z\in \mathrm{\Omega }.$

2. Wir schöpfen nun die offene Menge $\mathrm{\Theta }$ durch eine Folge $R_1\subset R_2\subset \dots \subset \mathrm{\Theta }$ aus, wobei jede Menge $R_k$ Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Quader in $\mathrm{\Theta }$ ist. Nach dem ersten Punkt ist für jedes $k\in \mathbb{N}$ die Funktion

${\phi }_k(z):=\underset{R_k}{\int }f(t,z)dt,z\in \mathrm{\Omega }$

holomorph. Weiter gilt bei beliebig vorgegebenem $\epsilon >0$

$\underset{\mathrm{\Theta }\setminus R_k}{\int }F(t)dt\le \epsilon$ für alle $k\ge k(\epsilon )$.

Somit folgt für alle $z\in \mathrm{\Omega }$ die Ungleichung

$|\phi (z)-{\phi }_k(z)|=|\underset{\mathrm{\Theta }\setminus R_k}{\int }f(t,z)dt|\le \underset{\mathrm{\Theta }\setminus R_k}{\int }F(t)dt\le \epsilon$

für $k\ge k(\epsilon )$. Die Folge holomorpher Funktionen ${\phi }_k={\phi }_k(z),k=1,2,3,\dots$ konvergiert also gleichmäßig gegen die holomorphe Funktion

$\phi (z)=\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }f(t,z)dt,z\in \mathrm{\Omega },$

womit alles gezeigt ist.

q.e.d.

§3 Geometrisches Verhalten von holomorphen Funktionen in $ℂ$

Satz 1 (Gebietstreue)

Seien $G\subset ℂ$ ein Gebiet und $w=f(z):G\to ℂ,z\in G$ eine nicht konstante holomorphe Funktion. Dann ist die Bildmenge

$G^{*}:=f(G)=\{w=f(z):z\in G\}$

wieder ein Gebiet in $ℂ$.

Beweis

Man übertrage den Beweis aus Kapitel III, §6, Satz 3 und beachte, dass lokal die Funktion $f=f(z)$ in einem beliebigen Punkt $z_0\in G$ die Entwicklung

$f(z)=f(z_0)+a_n(z-z_0{)}^n+o(|z-z_0{|}^n)$ mit $a_n\in ℂ\setminus \{0\}$

besitzt. Somit erfüllt die Funktion

$g(z):=f(z)-f(z_0),|z-z_0|\le \varrho$

die Bedingungen

$i(g,z_0)=n\ne 0$ und $g(z)\ne 0$

für alle $z\in ℂ$ mit $|z-z_0|=\varrho$; dabei ist $\varrho >0$ hinreichend klein gewählt. Die Argumente im o. a. Beweis liefern dann die Behauptung.

q.e.d.

Satz 2 (Maximumsprinzip)

In einem Gebiet $G\subset ℂ$ sei die nicht konstante holomorphe Funktion $f:G\to ℂ$ gegeben. Dann gilt für alle $z\in G$ die Ungleichung

$|f(z)|<\underset{\zeta \in G}{\sup }|f(\zeta )|=:M.$

Beweis

Falls $M=+\mathrm{\infty }$ gilt, so ist nichts zu zeigen. Es sei also $M<+\mathrm{\infty }$ erfüllt. Sei nun $z\in G$ beliebig gewählt, dann existiert ein $\delta =\delta (z)>0$, so dass für die Kreisscheibe

$B_{\delta }(f(z)):=\{w\in ℂ:|w-f(z)|<\delta \}$

die Inklusion

$B_{\delta }(f(z))\subset G^{*}$

gemäß Satz 1 richtig ist. Somit folgt mit

$M:=\underset{\zeta \in G}{\sup }|f(\zeta )|\ge \underset{w\in B_{\delta }(f(z))}{\sup }|w|=|f(z)|+\delta >|f(z)|$

die Behauptung.

q.e.d.

Definition 1

Auf der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ heißt die Funktion $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ antiholomorph, falls die Funktion

$g(z):=\overline{f(z)},z\in \mathrm{\Omega }$

holomorph in $\mathrm{\Omega }$ ist.

Satz 3 (Schwarzsches Spiegelungsprinzip)

In der oberen Halbebene sei die offene Menge ${\mathrm{\Omega }}^{+}\subset {ℍ}^{+}$ so gegeben, dass

$\mathrm{\Gamma }:=\partial {\mathrm{\Omega }}^{+}\cap ℝ\subset ℝ$

eine nicht leere offene Menge darstellt. Weiter erklären wir die offene Menge

${\mathrm{\Omega }}^{-}:=\{z\in ℂ:\bar{z}\in {\mathrm{\Omega }}^{+}\}\subset {ℍ}^{-}$

und setzen

$\mathrm{\Omega }:={\mathrm{\Omega }}^{+}\dot{\cup }\mathrm{\Gamma }\dot{\cup }{\mathrm{\Omega }}^{-}.$

Schließlich sei die Funktion $f:{\mathrm{\Omega }}^{+}\cup \mathrm{\Gamma }\to ℂ\in C^1({\mathrm{\Omega }}^{+})\cap C^0({\mathrm{\Omega }}^{+}\cup \mathrm{\Gamma })$ holomorph in ${\mathrm{\Omega }}^{+}$ und erfülle $f(\mathrm{\Gamma })\subset ℝ$. Dann ist die Funktion

$F(z):=\{\begin{array}{cc}f(z),& z\in {\mathrm{\Omega }}^{+}\cup \mathrm{\Gamma }\\ \overline{f(\stackrel{‾}{z})},& z\in {\mathrm{\Omega }}^{-}\end{array}$

holomorph in Menge $\mathrm{\Omega }$.

Beweis

1. Offenbar gilt $F\in C^1({\mathrm{\Omega }}^{+}\cup {\mathrm{\Omega }}^{-})$. Für alle $z\in {\mathrm{\Omega }}^{-}$ berechnen wir

$F_{\bar{z}}(z)=\frac{\partial }{\partial \bar{z}}\{\tau \circ f\circ \tau \}(z)=(\tau \circ f{)}_w{|}_{\tau (z)}{\tau }_{\bar{z}}+(\tau \circ f{)}_{\bar{w}}{|}_{\tau (z)}{\bar{\tau }}_{\bar{z}}$

$=(\tau \circ f{)}_w{|}_{\tau (z)}={\tau }_{\zeta }{|}_{f\circ \tau (z)}{f}_w{|}_{\tau (z)}+{\tau }_{\bar{\zeta }}{|}_{f\circ \tau (z)}{\bar{f}}_w{|}_{\tau (z)}=0.$

Also ist $F=F(z)$ holomorph in ${\mathrm{\Omega }}^{+}\cup {\mathrm{\Omega }}^{-}$.

2. Weiter ist $F=F(z)$ stetig in ${\mathrm{\Omega }}^{+}$, also insbesondere auf $\mathrm{\Gamma }$. Seien nun $z_0\in \mathrm{\Gamma }$ beliebig gewählt und $\{z_k{\}}_{k=1,2,\dots }\subset {\mathrm{\Omega }}^{-}$ eine Punktfolge mit der Eigenschaft

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_k=z_0.$

Dann folgt

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(z_k)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\overline{f({\stackrel{‾}{z}}_k)}=\overline{f({\stackrel{‾}{z}}_0)}=\overline{f(z_0)}=f(z_0)=F(z_0),$

wobei wir beachten, dass $f=f(z)$ in ${\mathrm{\Omega }}^{+}\cup \mathrm{\Gamma }$ stetig ist.

3. Wir haben noch die Holomorphie von $F=F(z)$ auf $\mathrm{\Omega }$ zu zeigen. Sei dazu $z_0\in \mathrm{\Gamma }$ ein beliebiger Punkt, so betrachten wir die Halbkreise

$H_{\epsilon }^{\pm }:=\{z\in ℂ:|z-z_0|<\varrho ,\pm \mathrm{Im}z>\epsilon \}\subset {\mathrm{\Omega }}^{\pm }$

mit hinreichend kleinem, festem $\varrho >0$ und $\epsilon \to 0+$. Mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes und der Cauchyschen Integralformel stellen wir folgendes fest: Für jedes $z\in ℂ\setminus ℝ$ mit $|z-z_0|<\varrho$ gibt es ein hinreichend kleines $\epsilon =\epsilon (z)>0$ mit der Eigenschaft

$F(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial H_{\epsilon }^{+}}{\oint }\frac{F(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta +\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial H_{\epsilon }^{-}}{\oint }\frac{F(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta .$

Im Grenzübergang $\epsilon \to 0+$ heben sich die Integrale auf der reellen Achse gegenseitig weg und wir erhalten

$F(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{|\zeta -z_0|=\varrho }{\oint }\frac{F(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta ,|z-z_0|<\varrho .$

Aus dieser Darstellung erhalten wir schließlich die Holomorphie von $F=F(z)$ um den Punkt $z_0\in \mathrm{\Gamma }$.

q.e.d.

Definition 2

Eine Menge $O\subset \overline{ℂ}:=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ nennen wir offen, falls für jeden Punkt $z_0\in O$ eine Kugel $K_{\epsilon }(z_0)$ mit hinreichend kleinem Radius $\epsilon >0$ existiert, so dass

$K_{\epsilon }(z_0)\subset O$

erfüllt ist. Wie üblich ist dabei

$K_{\epsilon }(z_0):=\{z\in ℂ:|z-z_0|<\epsilon \}$

für alle $z\in \overline{ℂ}$ und $\epsilon >0$ gemeint.

Definition 3

Seien $\mathrm{\Omega }\subset \overline{ℂ}$ eine offene Menge und $f:\mathrm{\Omega }\to \overline{ℂ}$ eine Funktion. Dann heißt $f=f(z)$ stetig im Punkt $z_0\in \mathrm{\Omega }$, falls es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta =\delta (\epsilon ,z_0)>0$ gibt, so dass

$f(K_{\delta }(z_0))\subset K_{\epsilon }(f(z_0))$

erfüllt ist. Falls $f=f(z)$ in jedem Punkt $z_0\in \mathrm{\Omega }$ stetig ist, nennen wir die Funktion stetig in $\mathrm{\Omega }$.

§4 Isolierte Singularitäten und der allgemeine Residuensatz

Satz 1 (Allgemeiner Residuensatz)

Voraussetzungen:

I. Sei $G\subset ℂ$ ein beschränktes Gebiet, dessen Randpunkte $\dot{G}$ aus dem Äußeren erreichbar sind, d. h. für alle $z_0\in \dot{G}$ gibt es eine Folge $\{z_k{\}}_{k=1,2,\dots }\subset ℂ\setminus \bar{G}$ mit

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_k=z_0.$

Weiter gebe es $J\in \mathbb{N}$ reguläre $C^1$-Kurven

$X^{(j)}(t):[a_j,b_j]\to ℂ\in C^1([a_j,b_j],ℂ),j=1,\dots ,J$

mit den Eigenschaften

$X^{(j)}((a_j,b_j))\cap X^{(k)}((a_k,b_k))=\mathrm{\varnothing },j,k\in \{1,\dots ,J\},j\ne k$

sowie

$\dot{G}=\bigcup _{j=1}^J{X}^{(j)}([a_j,b_j]).$

Schließlich liege das Gebiet $G$ zur Linken der Kurven, d. h.

$-i{|\frac{d}{dt}{X}^{(j)}(t)|}^{-1}\frac{d}{dt}{X}^{(j)}(t),t\in (a_j,b_j),j=1,\dots ,J$

stellt den äußeren Normalenvektor an das Gebiet $G$ dar. Das Gesamtintegral über diese Kurven bezeichnen wir mit $\underset{\partial G}{\int }\dots .$

II. Seien ferner $N$ singuläre Punkte (bzw. $N=0$, also keine singulären Punkte) ${\zeta }_j\in G,j=1,\dots ,N$ mit $N\in {\mathbb{N}}_0$ gegeben, so erklären wir die Mengen

$G^{\prime }:=G\setminus \{{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_N\}$ sowie ${\bar{G}}^{\prime }:=\bar{G}\setminus \{{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_N\}$.

III. Sei $f=f(z):{\bar{G}}^{\prime }\to ℂ\in C^1(G^{\prime },ℂ)\cap C^0({\bar{G}}^{\prime },ℂ)$ eine Funktion, welche der inhomogenen Cauchy-Riemann-Gleichung

(1) $\frac{\partial }{\partial \bar{z}}f(z)=g(z)$ für alle $z\in G^{\prime }$

genügt.

IV. Schließlich sei

$\underset{G^{\prime }}{\iint }|g(z)|dxdy<+\mathrm{\infty }$

für die rechte Seite der Differentialgleichung (1) erfüllt.

Behauptung: Dann existieren die Limites

(2) $\mathrm{Res}(f,{\zeta }_k):=\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }\{\frac{\epsilon }{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f({\zeta }_k+\epsilon e^{i\phi })e^{i\phi }d\phi \}$

für $k=1,\dots ,N$ und es gilt

(3) $\underset{\partial G}{\int }f(z)dz-2i\underset{G^{\prime }}{\iint }g(z)dxdy=2\pi i\sum _{k=1}^N\mathrm{Res}(f,{\zeta }_k).$

Beweis

Wir wenden den Gaußschen Integralsatz an auf das Gebiet

$G_{\epsilon }:=\{z\in G:|z-{\zeta }_k|>{\epsilon }_k,k=1,\dots ,N\}$

mit $\epsilon =({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_N)$ und ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_N>0$. Mit $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ sowie

$\partial G_{\epsilon }:z(t)=x(t)+iy(t),t\in [a_k,b_k],k=1,\dots ,K=J+N$

erhalten wir

$\underset{\partial G_{\epsilon }}{\int }f(z)dz=\underset{\partial G_{\epsilon }}{\int }(u+iv)(dx+idy)=\underset{\partial G_{\epsilon }}{\int }(udx-vdy)+i\underset{\partial G_{\epsilon }}{\int }(vdx+udy)$

$=\sum _{k=1}^K\underset{a_k}{\overset{b_k}{\int }}(u{x}^{\prime }-v{y}^{\prime })dt+i\sum _{k=1}^K\underset{a_k}{\overset{b_k}{\int }}(v{x}^{\prime }-u{y}^{\prime })dt.$

Für die äußere Normale an das Gebiet $G_{\epsilon }$ gilt nun

$\xi (z(t))=-i\{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2{\}}^{-\frac{1}{2}}\{x^{\prime }(t)+i{y}^{\prime }(t)\}$

$=\{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2{\}}^{-\frac{1}{2}}(y^{\prime }(t)-x^{\prime }(t))$

mit $t\in (a_k,b_k)$ für $k=1,\dots ,K$. Somit folgt mit dem Gaußschen Integralsatz

$\underset{\partial G_{\epsilon }}{\int }f(z)dz=\sum _{k=1}^K\underset{a_k}{\overset{b_k}{\int }}\{(-v,-u)\cdot \xi \}{|}_{z(t)}d\sigma (t)+i\sum _{k=1}^K\underset{a_k}{\overset{b_k}{\int }}\{(u,-v)\cdot \xi \}{|}_{z(t)}d\sigma (t)$

$\underset{\partial G_{\epsilon }}{\iint }(-v_x-u_y+i{u}_x-i{v}_y)dxdy$

mit dem Linienelement

$d\sigma (t)=\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt.$

Beachten wir nun

$2i{f}_{\bar{z}}=i(f_x+i{f}_y)=-f_y+i{f}_x=-u_y-i{v}_y+i{u}_x-v_x,$

so folgt

(4) $\underset{\partial G}{\int }f(z)dz-2i\underset{G_{\epsilon }}{\iint }{f}_{\bar{z}}(z)dxdy=\sum _{k=1}^N\underset{|z-{\zeta }_k|={\epsilon }_k}{\oint }f(z)dz.$

Hierbei wird auf der rechten Seite über die positive orientierten Kreislinien integriert. Da wir nun auf der linken Seite in (4) für jedes $k\in \{1,\dots ,N\}$ den Grenzübergang ${\epsilon }_k\to 0+$ durchführen können, so existiert der Grenzwert auf der rechten Seite, d. h. es gilt

$\underset{{\epsilon }_k\to 0+}{\lim }\underset{|z-{\zeta }_k|={\epsilon }_k}{\oint }f(z)dz\in ℂ.$

Insbesondere berechnen wir

$\underset{{\epsilon }_k\to 0+}{\lim }\underset{|z-{\zeta }_k|={\epsilon }_k}{\oint }f(z)dz=\underset{{\epsilon }_k\to 0+}{\lim }\{{\epsilon }_k\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f({\zeta }_k+\epsilon e^{i\phi })e^{i\phi }d\phi \}$

$=2\pi i\underset{{\epsilon }_k\to 0+}{\lim }\{\frac{{\epsilon }_k}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f({\zeta }_k+{\epsilon }_k{e}^{i\phi })e^{i\phi }d\phi \}=2\pi i\mathrm{Res}(f,{\zeta }_k)$

für $k=1,\dots ,N$. Beim Grenzübergang $\epsilon \to 0$ in (4) erhalten wir

$\underset{G}{\int }f(z)dz-2i\underset{G^{\prime }}{\iint }g(z)dxdy=2\pi i\sum _{k=1}^N\mathrm{Res}(f,{\zeta }_k)$

und damit die Behauptung.

q.e.d.

Definition 1

Wir nennen $\mathrm{Res}(f,{\zeta }_k)$ aus (2) das Residuum von $f$ an der Stelle ${\zeta }_k$.

Definition 2

Wir bezeichnen Gebiete $G\subset ℂ$, die der Voraussetzung I. von Satz 1 genügen, als Normalgebiete.

Satz 2 (Integraldarstellung)

Seien die Voraussetzungen I. bis IV. von Satz 1 erfüllt. Zusätzlich genüge die Funktion $f=f(z)$ der Bedingung

(5) $\underset{z\in G^{\prime }}{\sup }|f(z)|<+\mathrm{\infty }.$

Dann gilt die Integraldarstellung

(6) $f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta -\frac{1}{\pi }\underset{G^{″}}{\int }\frac{g(\zeta )}{\zeta -z}d\xi d\eta ,z\in G^{\prime },$

wobei wir $G^{″}:=G^{\prime }\setminus \{z\}$ und $\zeta =\xi +i\eta$ benutzen.

Beweis

Für ein festes $z\in G^{\prime }$ wenden wir Satz 1 auf die Funktion

$h(\zeta ):=\frac{f(\zeta )}{\zeta -z},\zeta \in G^{″}$

an. Dann berechnen wir

$\underset{\partial G}{\int }h(\zeta )d\zeta -2i\underset{G^{″}}{\iint }{h}_{\bar{\zeta }}(\zeta )d\xi d\eta =2\pi i\sum _{k=1}^N\mathrm{Res}(h,{\zeta }_k)+2\pi i\mathrm{Res}(h,z)=2\pi if(z).$

Also folgt

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta -\frac{1}{\pi }\underset{G^{″}}{\int }\frac{g(\zeta )}{\zeta -z}d\xi d\eta ,z\in G^{\prime },$

was der Behauptung entspricht.

q.e.d.

Satz 3 (Riemannscher Hebbarkeitssatz)

In der punktierten Kreisscheibe

$\mathrm{\Omega }:=\{z\in ℂ:0<|z-z_0|\le r\}$

mit $z_0\in ℂ$ und $r\in (0,+\mathrm{\infty })$ sei die Funktion $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ holomorph und beschränkt, d. h. es gilt

$\underset{z\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|f(z)|<+\mathrm{\infty }.$

Dann ist $f=f(z)$ holomorph auf die Kreisscheibe

$\hat{\mathrm{\Omega }}:=\{z\in ℂ:|z-z_0|\le r\}$

fortsetzbar.

Beweis

Wir wenden Satz 2 auf die Menge $\mathrm{\Omega }$ und die Funktion $f=f(z)$ an und entnehmen der Integraldarstellung

(7) $f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{|\zeta -z_0|=r}{\oint }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta ,z\in \mathrm{\Omega }$

bereits die Behauptung.

q.e.d.

Satz 4 (Laurent)

In der punktierten Kreisscheibe

$\mathrm{\Omega }:=\{z\in ℂ:0<|z-z_0|\le r\}$ mit $z_0\in ℂ$ und $r\in (0,+\mathrm{\infty })$

sei die Funktion $f=f(z)$ holomorph. Dann gilt die Darstellung

(8) $f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$ für alle $z\in \mathrm{\Omega }$

mit den Koeffizienten

$a_n:=\frac{1}{2\pi i}\underset{|\zeta -z_0|=\varrho }{\oint }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z_0{)}^{n+1}}d\zeta$ für $n\in \mathbb{Z}$,

wobei $\varrho \in (0,r)$ beliebig gewählt ist. Die Konvergenz dieser Laurentreihe mit dem Hauptteil

$g(z)=\sum _{n=-1}^{-\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n,z\in \mathrm{\Omega }$

und dem Nebenteil

$g(z)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n,z\in \mathrm{\Omega }$

ist gleichmäßig in jedem Kompaktum in $\mathrm{\Omega }$. Schließlich gilt

(9) $\mathrm{Res}(f,z_0)=a_{-1}.$

Beweis

Ohne Einschränkung können wir $z_0=0$ wählen. Ist nun $z\in \mathrm{\Omega }$, so wählen wir $0<\epsilon <|z|<\delta <r$ und wenden den Satz 2 auf das Gebiet

$G:=\{z\in ℂ:\epsilon <|z|<\delta \}$

an. Dann folgt

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{|\zeta |=\delta }{\oint }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta -\frac{1}{2\pi i}\underset{|\zeta |=\epsilon }{\oint }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta$ für alle $z\in G$.

Wie üblich erhalten wir durch Entwicklung die Potenzreihe

$\frac{1}{2\pi i}\underset{|\zeta |=\delta }{\oint }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ für $|z|<\delta$,

also den Nebenteil der Laurentreihe. Wir entwickeln nun für alle $|\zeta |=\epsilon$ und $|z|>\epsilon$ den Ausdruck

$-\frac{1}{\zeta -z}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{\zeta }{z}}=\frac{1}{z}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\zeta }^n}{z^n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\zeta }^n{z}^{-n-1},$

wobei die Konvergenz der Reihe in jedem Kompaktum gleichmäßig ist. Für alle $|z|>\epsilon$ ist demnach

$-\frac{1}{2\pi i}\underset{|\zeta |=\epsilon }{\oint }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-\frac{1}{2\pi i}\underset{|\zeta |=\epsilon }{\oint }\frac{f(\zeta )}{{\zeta }^{-n}}d\zeta )z^{-n-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{-n-1}{z}^{-n-1}$

$=\sum _{n=-1}^{-\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$

erfüllt, falls $|z|>\epsilon$ gilt. Dieses liefert den Hauptteil der Laurentreihe. Insgesamt ist die gleichmäßige Konvergenz von

$f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ für $\epsilon <|z|<\delta$

gezeigt, wobei $0<\epsilon <\delta <r$ beliebig gewählt werden kann.

q.e.d.

Definition 3

Die holomorphe Funktion $f=f(z)$ sei gemäß Satz 4 in der Umgebung von $z_0\in ℂ$ durch ihre Laurentreihe (8) dargestellt.

1. Falls es für jede Zahl $N\in \mathbb{Z}$ einen Koeffizienten $a_n\ne 0$ mit $n\le N$ gibt, so sagen wir, im Punkt $z_0$ besitzt die Funktion $f$ eine wesentliche Singularität.
2. Gibt es nun eine Zahl $N\in \mathbb{Z}$ mit $N<0$, so dass $a_n=0$ für alle $n<N$ sowie $a_N\ne 0$ erfüllt sind, so sagen wir, $f$ hat im Punkt $z_0$ einen Pol der Ordnung $(-N)\in \mathbb{N}$.
3. Ist schließlich $a_n=0$ für alle $n\in \mathbb{Z}$ mit $n<0$ richtig, sagen wir, $f$ besitzt im Punkt $z_0$ eine hebbare Singularität.

Satz 5 (Casorati, Weierstraß)

Seien die Voraussetzungen und Bezeichnungen von Satz 4 gültig und zusätzlich sei die Funktion $f:\bar{\mathrm{\Omega }}\to \overline{ℂ}$ stetig. Dann besitzt $f=f(z)$ im Punkt $z_0$ keine wesentliche Singularität. Sie hat in diesem Punkt einen Pol genau dann, wenn $f(z_0)=\mathrm{\infty }$ richtig ist und sie besitzt in $z_0$ eine hebbare Singularität genau dann, falls $f(z_0)\in ℂ$ gilt.

Beweis

Da die Funktion $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ stetig in den Punkt $z_0$ fortsetzbar ist, gibt es eine Konstante $c\in ℂ$ und ein $\epsilon >0$, so dass

$f(z)\ne c$ für alle $z\in K_{\epsilon }(z_0)$

gilt. Wir gehen nun über zur holomorphen Funktion

$g(z):=\frac{1}{f(z)-c},z\in K_{\epsilon }(z_0)\setminus \{z_0\}.$

Wegen

$\underset{0<|z-z_0|<\epsilon }{\sup }|g(z)|<+\mathrm{\infty }$

kann $g=g(z)$ holomorph in den Punkt $z_0$ nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz fortgesetzt werden. Somit gibt es eine holomorphe Funktion $h=h(z),z\in K_{\epsilon }(z_0)$ mit $h(z_0)\ne 0$ sowie ein $n\in {\mathbb{N}}_0$, so dass

$\frac{1}{f(z)-c}=g(z)=(z-z_0{)}^{n}h(z),z\in K_{\epsilon }(z_0)\setminus \{z_0\}$

richtig ist. Dann erhalten wir

$f(z)=c+(z-z_0{)}^{-n}h(z{)}^{-1}=\sum _{k=-n}^{+\mathrm{\infty }}{b}_k(z-z_0{)}^k=(z-z_0{)}^N\psi (z)$

für alle $z\in K_{\epsilon }(z_0)\setminus \{z_0\}$. Hierbei ist $N\in \mathbb{Z}$ und $\psi =\psi (z),z\in K_{\epsilon }(z_0)$ ist eine holomorphe Funktion mit $\psi (z_0)\ne 0$. Nun besitzt $f=f(z)$ in $z_0$ einen Pol genau dann, wenn

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{z\to z_0}{z\ne z_0}}{\lim }|f(z)|=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{z\to z_0}{z\ne z_0}}{\lim }\{|z-z_0{|}^N|\psi (z)|\}=|\psi (z_0)|\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{z\to z_0}{z\ne z_0}}{\lim }|z-z_0{|}^N=+\mathrm{\infty }$

gilt, also

$f(z_0)=\mathrm{\infty }.$

Ebenso hat die Funktion im Punkt $z_0$ eine hebbare Singularität genau dann, wenn

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{z\to z_0}{z\ne z_0}}{\lim }|f(z)|=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{z\to z_0}{z\ne z_0}}{\lim }\{|z-z_0{|}^N|\psi (z)|\}=|\psi (z_0)|\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{z\to z_0}{z\ne z_0}}{\lim }|z-z_0{|}^N<+\mathrm{\infty }$

bzw.

$f(z_0)\in ℂ$

richtig ist. Daraus folgt die Behauptung.

q.e.d.

Definition 4

Wir nennen die ganze Zahl $n\in \mathbb{Z}$ aus der Darstellung

$f(z)=(z-z_0)\phi (z),z\in \mathrm{\Omega }:=\{z\in ℂ:0<|z-z_0|<r\}$

mit der holomorphen Funktion $\phi :\mathrm{\Omega }\cup \{z_0\}\to ℂ$ die Ordnung der Nullstelle $z_0$.

Satz 6 (Prinzip vom Argument)

Seien die Voraussetzungen I. und II. aus Satz 1 erfüllt. Die Funktion $f=f(z):{\bar{G}}^{\prime }\to ℂ\setminus \{0\}$ sei holomorph in ${\bar{G}}^{\prime }$ und fortsetzbar in die singulären Punkte als stetige Funktion $f:\bar{G}\to \overline{ℂ}$. Mit $n_k=n_k({\zeta }_k)\in \mathbb{Z},k=1,\dots ,N$ bezeichnen wir die Ordnung der Nullstellen von den singulären Punkten ${\zeta }_k,k=1,\dots ,N$. Dann gilt die Indexsummenformel

(10) $\sum _{k=1}^N{n}_k=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }\frac{1}{f(\zeta )}\{f_{\xi }(\zeta )d\xi +f_{\eta }(\zeta )d\eta \}.$

Beweis

Wir wenden den Residuensatz an auf die holomorphe Funktion

$F(z):=\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)},z\in {\bar{G}}^{\prime }.$

Wir haben die Entwicklungen

(11) $f(z)=(z-{\zeta }_k{)}^{n_k}{\phi }_k(z),z\in G\setminus \{{\zeta }_k\},z\to {\zeta }_k$

mit den holomorphen Funktionen ${\phi }_k={\phi }_k(z)$, die ${\phi }_k({\zeta }_k)\ne 0$ erfüllen. Es folgt

$F(z)=\frac{n_k(z-{\zeta }_k{)}^{n_k-1}{\phi }_k(z)+(z-{\zeta }_k{)}^{n_k}{{\phi }_k}^{\prime }(z)}{(z-{\zeta }_k{)}^{n_k}{\phi }_k(z)}=\frac{n_k}{z-{\zeta }_k}+\frac{{{\phi }_k}^{\prime }(z)}{{\phi }_k(z)}$

für $z\in G\setminus \{{\zeta }_k\},z\to {\zeta }_k$ und somit

(12) $\mathrm{Res}(F,{\zeta }_k)=n_k,k=1,\dots ,N.$

Der Residuensatz liefert nun

$\sum _{k=1}^N{n}_k=\sum _{k=1}^N\mathrm{Res}(F,{\zeta }_k)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }F(\zeta )d\zeta$

$=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }\frac{f^{\prime }(\zeta )}{f(\zeta )}d\zeta =\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }\frac{f_{\xi }d\xi +i{f}_{\xi }d\eta }{f}=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }\frac{f_{\xi }d\xi +f_{\eta }d\eta }{f},$

woraus die Behauptung folgt.

q.e.d.

Definition 5

Sei $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ eine beschränkte, offene Menge und die beschränkte, stetige Funktion

$g\in L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega },ℂ)\cap C^0(\mathrm{\Omega },ℂ)$

sei vorgelegt. Dann nennen wir

(13) $T_{\mathrm{\Omega }}[g](z):=-\frac{1}{\pi }\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }\frac{g(\zeta )}{\zeta -z}d\xi d\eta ,z\in \mathrm{\Omega }$

den Cauchyschen Integraloperator; dabei ist wie üblich $\zeta =\xi +i\eta$ gesetzt.

Satz 7 (Hadamardsche Abschätzung)

Seien $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ eine beschränkte, offene Menge und $g\in C^0(\mathrm{\Omega },ℂ)$ eine Funktion mit der Eigenschaft

$\Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\underset{\zeta \in \mathrm{\Omega }}{\sup }|g(\zeta )|<+\mathrm{\infty }.$

Dann gibt es eine Konstante $\gamma \in (0,+\mathrm{\infty })$, so dass die Funktion

$\psi (z):=T_{\mathrm{\Omega }}[g](z),z\in ℂ$

die Ungleichung

(14) $|\psi (z_1)-\psi (z{i}_2)|\le 2\gamma \Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}|z_1-z_2|\log \frac{\vartheta (z_1)}{|z_1-z_2|}$

für alle $z_1,z_2\in ℂ$ mit $|z_1-z_2|\le \frac{1}{2}\vartheta (z_1)$ erfüllt. Hierbei haben wir

$\vartheta (z_1):=\underset{z\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|z-z_1|$

gesetzt.

Beweis

Seien $z_1,z_2\in ℂ$ mit $z_1\ne z_2$, so folgt

(15) $\psi (z_1)-\psi (z_2)=\frac{1}{\pi }\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }(\frac{g(\zeta )}{\zeta -z_2}-\frac{g(\zeta )}{\zeta -z_1})d\xi d\eta =\frac{1}{\pi }\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }\frac{z_2-z_1}{(\zeta -z_1)(\zeta -z_2)}g(\zeta )d\xi d\eta .$

Mit Hilfe der Transformation

$\zeta =z_1+z(z_2-z_1),z\in ℂ$

mit $0\mapsto z_1$ bzw. $1\mapsto z_2$, welche die Funktionaldeterminante $|z_2-z_1{|}^2$ besitzt, schätzen wir nun wie folgt ab:

$|\psi (z_1)-\psi (z{i}_2)|\le \frac{1}{\pi }|z_2-z_1|\Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }\frac{1}{|\zeta -z_1||\zeta -z_2|}d\xi d\eta$

$\le \frac{1}{\pi }|z_2-z_1|\Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\underset{\zeta :|\zeta -z_1|\le \vartheta (z_1)}{\iint }\frac{1}{|\zeta -z_1||\zeta -z_2|}d\xi d\eta$

$=\frac{1}{\pi }|z_2-z_1|\Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\underset{z:|z|\le \frac{\vartheta (z_1)}{|z_2-z_1|}}{\iint }\frac{1}{|z(z_2-z_1)||(z-1)(z_2-z_1)|}|z_2-z_1{|}^{2}dxdy$

$=\frac{1}{\pi }|z_2-z_1|\Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\underset{z:|z|\le \frac{\vartheta (z_1)}{|z_2-z_1|}}{\iint }\frac{1}{|z||z-1|}dxdy.$

Es existiert nun eine Konstante $\gamma \in (0,+\mathrm{\infty })$, so dass

(17) $\underset{|z|\le R}{\iint }\frac{1}{|z||z-1|}dxdy\le \gamma \underset{1\le |z|\le R}{\iint }\frac{1}{|z{|}^2}dxdy$ für alle $R\in [2,+\mathrm{\infty })$

richtig ist. Für die Punkte $z_1,z_2\in ℂ$ mit $0<|z_1-z_2|\le \frac{1}{2}\vartheta (z_1)$ folgt

$2\le \frac{\vartheta (z_1)}{|z_1-z_2|}$

und somit erhalten wir mit

$|\psi (z_1)-\psi (z{i}_2)|\le \frac{\gamma }{\pi }|z_2-z_1|\Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\underset{1\le |z|\le \frac{\vartheta (z_1)}{|z_2-z_1|}}{\iint }\frac{1}{|z{|}^2}dxdy$

$\frac{\gamma }{\pi }\Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}|z_2-z_1|2\pi \underset{1}{\overset{\frac{\vartheta (z_1)}{|z_2-z_1|}}{\iint }}\frac{1}{r^2}rdr=2\gamma \Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}|z_1-z_2|\log \frac{\vartheta (z_1)}{|z_1-z_2|}$

die Behauptung.

q.e.d.

Definition 6

Auf einer Menge $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ betrachten wir eine Funktion $f:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^m$ mit $m,n\in \mathbb{N}$. Weiter sei $\omega :[0,+\mathrm{\infty })\to [0,+\mathrm{\infty })$ eine stetige Funktion mit $\omega (0)=0$, welche das Stetigkeitsmodul angibt. Dann heißt $f$ Dini-stetig, falls

(18) $|f(x)-f(y)|\le \omega (|x-y|)$ für alle $x,y\in \mathrm{\Omega }$

gilt. Im Spezialfall

$\omega (t)=Lt,t\in [0,+\mathrm{\infty })$

heißt Lipschitz-stetig mit der Lipschitzkonstanten $L\in [0,+\mathrm{\infty })$. Haben wir

$\omega (t)=H{t}^{\alpha },t\in [0,+\mathrm{\infty }),$

so nennen wir $f$ Hölder-stetig mit der Hölderkonstanten $H\in [0,+\mathrm{\infty })$ und dem Hölderexponenten $\alpha \in (0,1)$.

Satz 8 (Allgemeiner Hebbarkeitssatz)

Seien die Voraussetzungen I. bis IV. von Satz 1 erfüllt. Weiter genüge die Funktion $f=f(z)$ der Bedingung

$\underset{z\in G^{\prime }}{\sup }|f(z)|<+\mathrm{\infty }$

und die rechte Seite $g=g(z)$ der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung (1) erfülle

$\underset{z\in G^{\prime }}{\sup }|g(z)|<+\mathrm{\infty }$

Dann ist die Funktion $f=f(z)$ Hölder-stetig in die singulären Punkte ${\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_N\in G$ fortsetzbar zu beliebigem Hölderexponenten $\alpha \in (0,1)$.

Beweis

Man verwende Satz 2 und Satz 7.

q.e.d.

§5 Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung

Definition 1

In der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ sei die stetige Funktion $\mathrm{\Phi }:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ gegeben. Zu einem festen Punkt $z_0\in \mathrm{\Omega }$ betrachten wir Normalgebiete $G_k,k=1,2,\dots$ vom topologischen Typ der Kreisscheibe mit dem Flächeninhalt $|G_k|$ und der Länge ihrer Randkurven $|\partial G_k|$, welche die Inklusion

(1) $z_0\in G\subset \mathrm{\Omega },k\in \mathbb{N}$

und die Bedingung

(2) $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\partial G_k|=0$

erfüllen. Wenn für alle diese Folgen von Gebieten $\{G_k{\}}_{k=1,2,\dots }$ der Grenzwert

(3) $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2i|G_k|}\underset{\partial G_k}{\int }\mathrm{\Phi }(z)dz=:\frac{d}{d\bar{z}}\mathrm{\Phi }(z_0)$

existiert, so nennen wir $\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(z)$ an der Stelle $z_0$ (schwach) im Sinne von Pompeiu differenzierbar.

Definition 2

Für die offene Menge $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ erklären wir die Vakuasche Funktionenklasse

$C_{\bar{z}}(\mathrm{\Omega }):=\{\mathrm{\Phi }\in C^0(\mathrm{\Omega },ℂ):\mathrm{\forall }z\in \mathrm{\Omega }\mathrm{\exists }\frac{d}{d\bar{z}}\mathrm{\Phi }(z)=:g(z)mitg\in C^0(\mathrm{\Omega },ℂ)\}.$

Satz 1 (Pompeiu, Vekua)

Seien $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ eine offene Menge und $g\in C^0(\mathrm{\Omega },ℂ)$ eine stetige Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a) $f=f(z)$ gehört der Vekuaschen Funktionenklasse $C_{\bar{z}}(\mathrm{\Omega })$ an und genügt der Differentialgleichung

(4) $\frac{d}{d\bar{z}}f(z)=g(z),z\in \mathrm{\Omega }$

im Pompeiuschen Sinne;

(b) $f=f(z)$ gehört zur Klasse $C^0(\mathrm{\Omega },ℂ)$ und für jedes Normalgebiet $G\subset \subset ℂ$ gilt die Integraldarstellung

(5) $f(z)=\frac{1}{2\pi i}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta -\frac{1}{\pi }\frac{g(\zeta )}{\zeta -z}d\xi d\eta ,z\in G.$

Beweis

Wir zeigen die Richtung $(a)\Rightarrow (b)$. Sei $f\in C_{\bar{z}}(\mathrm{\Omega })$ mit

$\frac{d}{d\bar{z}}f(z)=g(z),z\in \mathrm{\Omega }.$

Dann gibt es eine Folge von Funktionen $f_k(z)\in C^1(\mathrm{\Omega },ℂ),k=1,2,\dots$ mit

$\{\begin{array}{cc}{f}_k(z)\to f(z),& z\in \mathrm{\Theta }\\ f_{k_{\bar{z}}}\to \frac{d}{d\bar{z}}f(z),& z\in \mathrm{\Theta }\end{array}$ gleichmäßig für $k\to \mathrm{\infty }$

in jeder kompakten Menge $\mathrm{\Theta }\subset \mathrm{\Omega }$. Für jedes Normalgebiet $G\subset \subset \mathrm{\Omega }$ gilt wegen Satz 2 aus §4 die Identität

$f_k(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }\frac{f_k(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta -\frac{1}{\pi }\underset{G}{\int }\frac{\frac{\partial }{\partial \zeta }{f}_k(\zeta )}{\zeta -z}d\xi d\eta ,z\in G,k\in \mathbb{N}.$

Für $k\to \mathrm{\infty }$ erhalten wir also die Integraldarstellung (5).

Wir zeigen die Richtung $(b)\Rightarrow (a)$. Das Kurvenintegral in (5) stellt eine analytische Funktion in $G$ dar, während $T_G[g]$ in $G$ stetig und im Pompeiuschen Sinne schwach nach $\bar{z}$ differenzierbar ist. Somit folgt

$\frac{d}{d\bar{z}}f(z)=g(z),z\in \mathrm{\Omega }.$

q.e.d.

Definition 3

Eine Funktion $g:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ nennen wir auf der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ Hölder-stetig, falls es zu jeder kompakten Menge $\mathrm{\Theta }\subset \mathrm{\Omega }$ eine Konstante $H=H(\mathrm{\Theta })\in [0,+\mathrm{\infty })$ und einen Exponenten $\alpha =\alpha (\mathrm{\Theta })\in (0,1]$ so gibt, dass

(6) $|g(z_1)-g(z_2)|\le H(\mathrm{\Theta })|z_1-z_2{|}^{\alpha (\mathrm{\Theta })}$ für alle $z_1,z_2\in \mathrm{\Theta }$

erfüllt ist.

Definition 4

Seien $G\subset ℂ$ ein Normalgebiet, $z\in G$ ein fester Punkt und $f:\bar{G}\setminus \{z\}\to ℂ\in C^0(\bar{G}\setminus \{z\})$ eine stetige Funktion. Für alle $0\le \epsilon <\mathrm{dist}\{z,ℂ\setminus G\}$ betrachten wir die Gebiete

$G_{\epsilon }(z):=\{\zeta \in G:|\zeta -z|>\epsilon \}.$

Wir nennen

(7) $\underset{G_0(z)}{\iint }f(\zeta )d\xi d\eta :=\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }\underset{G_{\epsilon }(z)}{\iint }f(\zeta )d\xi d\eta$

den Cauchyschen Hauptwert des Integrals

$\underset{G_0(z)}{\iint }f(\zeta )d\xi d\eta ,$

falls der Grenzwert in (7) existiert.

Definition 5

Wir nennen ${\mathrm{\Pi }}_G$ den Vekuaschen Integraloperator.

Satz 2 (Regularitätssatz)

Seien $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ eine offene Menge, in der eine Funktion $g\in C^k(\mathrm{\Omega },ℂ)$ mit $k\in {\mathbb{N}}_0$ gegeben ist. Weiter gehörten die Funktion $f=f(z)$ zur Vekuaschen Funktionenklasse $C_{\bar{z}}(\mathrm{\Omega })$ und genüge der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung

(8) $\frac{d}{d\bar{z}}f(z)=g(z),z\in \mathrm{\Omega }$

im Pompeiuschen Sinne. Dann gehört $f$ zur Regularitätsklasse $C^k(\mathrm{\Omega },ℂ)$ und ihre Ableitungen der Ordnung $k$ sind Dini-stetig mit dem in §4, Satz 7 angegebenen Stetigkeitsmodul. Falls zusätzlich alle $k$-ten Ableitungen der rechten Seite $g=g(z)$ Hölder-stetige Funktionen in $\mathrm{\Omega }$ sind, folgt $f\in C^{k+1}(\mathrm{\Omega },ℂ)$.

Beweis

1. Nach Satz 1 ist die Differentialgleichung (8) äquivalent zur Integralgleichung

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta +T_G[g](z),z\in G$

in beliebigen Normalgebieten $G\subset \subset \mathrm{\Omega }$. Der erste Summand auf der rechten Seite stellt eine holomorphe Funktion in $G$ dar und folglich wird die Regularität von $f=f(z)$ durch die Regularität der Funktion

$\mathrm{\Psi }(z):=T_G[g](z),z\in G$

bestimmt. Für $k=0$ entnehmen wir Satz 7 aus §4, dass die Funktion $\mathrm{\Psi }=\mathrm{\Psi }(z)$ und somit $f=f(z)$ in $G$ Dini-stetig mit dem dort angegebenen Stetigkeitsmodul sind. Falls zusätzlich die rechte Seite $g=g(z)$ Hölder-stetig in $\mathrm{\Omega }$ ist, gilt

(9) $\mathrm{\Psi }\in C^1(G);{\mathrm{\Psi }}_{\bar{z}}(z)=g(z),{\mathrm{\Psi }}_z(z)={\mathrm{\Pi }}_G[g](z),z\in G.$

2. Für $k=1$ folgt $g\in C^1(\mathrm{\Omega })$ und wir erhalten aus (9), dass ${\mathrm{\Psi }}_{\bar{z}}\in C^1(\mathrm{\Omega })$ richtig ist. Weiter gilt

(10) ${\mathrm{\Psi }}_z(z)={\mathrm{\Pi }}_G[g](z)=T_G\left[\frac{\partial }{\partial \zeta }g\right](z)-\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }\frac{g(\zeta )}{\zeta -z}d\bar{\zeta },z\in G\subset \subset \mathrm{\Omega }.$

Hier ist der zweite Summand auf der rechten Seite wieder holomorph in $G$, während

$\mathrm{\Phi }(z):=T_G\left[\frac{\partial }{\partial \zeta }g\right](z),z\in G$

Dini-stetig ist. Falls nun zusätzlich $g_z$ und $g_{\bar{z}}$ bzw. $g_x$ und $g_y$ Hölder-stetig in $\mathrm{\Omega }$ sind, so erhalten wir aus (10), dass ${\mathrm{\Psi }}_z\in C^1(\mathrm{\Omega })$ sowie

(11) ${\mathrm{\Psi }}_{zz}=\frac{\partial }{\partial z}\{T_G\left[\frac{\partial }{\partial \zeta }g\right](z)-\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }\frac{g(\zeta )}{\zeta -z}d\bar{\zeta }\}={\mathrm{\Pi }}_G\left[\frac{\partial }{\partial \zeta }g\right](z)-\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }\frac{g(\zeta )}{(\zeta -z{)}^2}d\bar{\zeta }$

für alle $z\in G$ richtig sind. Weiter gelten

(12) ${\mathrm{\Psi }}_{z\bar{z}}(z)=g_z(z)={\mathrm{\Psi }}_{\bar{z}z}(z)$ in $G$,

als auch

(13) ${\mathrm{\Psi }}_{\overline{zz}}(z)=g_{\bar{z}}(z)$ in $G$.

Somit folgt $\mathrm{\Psi }\in C^2(\mathrm{\Omega })$ und die Ableitungen berechnen sich nach den oben angegebenen Formeln.

3. Für $k=2,3,\dots$ setzt man den Prozess entsprechend fort. Hierbei verwendet man wesentlich die Formel

${\mathrm{\Pi }}_G\left[\frac{{\partial }^{k-1}}{\partial {\zeta }^{k-1}}g\right](z)=T_G\left[\frac{{\partial }^k}{\partial {\zeta }^k}g\right](z)-\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }\frac{\frac{d^{k-1}}{d{\zeta }^{k-1}}g(\zeta )}{\zeta -z}d\bar{\zeta }$

für alle $z\in G$.

q.e.d.

§6 Pseudoholomorphe Funktionen

Definition 1

Eine Funktion $f=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),(x,y)\in \mathrm{\Omega }$ der Klasse $C^0(\mathrm{\Omega },ℂ)\cap C_{\bar{z}}(\mathrm{\Omega })$ heißt pseudoholomorph in $\mathrm{\Omega }$, falls es ein komplexes Potenzial $a\in ℬ(\mathrm{\Omega })$ so gibt, dass die Differentialgleichung

(1) $\frac{d}{d\bar{z}}f(z)=a(z)f(z),z\in \mathrm{\Omega }$

im Pompeiuschen Sinne erfüllt ist.

Satz 1 (Ähnlichkeitsprinzip von Bers und Vekua)

Auf der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ sei eine pseudoholomorphe Funktion $f=f(z)$ mit zugehörigem Potenzial $a\in ℬ(\mathrm{\Omega })$ und zugehöriger offener Menge $\mathrm{\Theta }\subset \mathrm{\Omega }$ gegeben. Weiter sei

(2) $\mathrm{\Psi }(z):=-\frac{1}{\pi }\underset{\mathrm{\Theta }}{\iint }\frac{a(\zeta )}{\zeta -z}d\xi d\eta ,z\in \mathrm{\Omega }$

die gemäß Satz 7 aus §4 Dini-stetige Funktion. Dann ist die Funktion

$\mathrm{\Phi }(z):=f(z)e^{-\mathrm{\Psi }(z)},z\in \mathrm{\Omega }$

in $\mathrm{\Omega }$ holomorph und es gilt die Vekuasche Darstellungsformel

(3) $f(z)=e^{\mathrm{\Psi }(z)}\mathrm{\Phi }(z),z\in \mathrm{\Omega }.$

Beweis

Sei ${\chi }_n\in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Theta },[0,1]),n=1,2,\dots$ eine Funktionenfolge mit

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\chi }_n(z)=\chi (z):=\{\begin{array}{cc}1,& z\in \mathrm{\Theta }\\ 0,& z\in ℂ\setminus \mathrm{\Theta }\end{array}.$

Wir betrachten dann die Funktionen

(4) ${\mathrm{\Psi }}_n(z):=T_{ℂ}[a{\chi }_n]=-\frac{1}{\pi }\underset{ℂ}{\iint }\frac{a(\zeta ){\chi }_n(\zeta )}{\zeta -z}d\xi d\eta ,z\in ℂ$

für $n=1,2,\dots$ der Klasse $C_{\bar{z}}(ℂ)$, welche

(5) $\frac{d}{d\bar{z}}{\mathrm{\Psi }}_n(z)=a(z){\chi }_n(z),z\in ℂ,n\in \mathbb{N}$

erfüllen. Wir studieren nun die Folge

(6) ${\mathrm{\Phi }}_n(z):=f(z)e^{-{\mathrm{\Psi }}_n(z)},z\in \mathrm{\Omega },n=1,2,\dots$

der Klasse $C_{\bar{z}}(\mathrm{\Omega })$ und berechnen unter Beachtung von (1)

$\frac{d}{d\bar{z}}{\mathrm{\Phi }}_n(z)=e^{-{\mathrm{\Psi }}_n(z)}\{\frac{d}{d\bar{z}}f(z)-f(z)\frac{d}{d\bar{z}}{\mathrm{\Psi }}_n(z)\}$

$=e^{-{\mathrm{\Psi }}_n(z)}\{a(z)f(z)-f(z)a(z){\chi }_n(z)\}=e^{-{\mathrm{\Psi }}_n(z)}a(z)f(z)\{1-{\chi }_n(z)\}$

für $z\in \mathrm{\Omega }$ und $n=1,2,\dots$. Mit Hilfe von Satz 1 aus §5 erhalten wir für jedes Normalgebiet $G\subset \subset \mathrm{\Omega }$ die Identität

(7) ${\mathrm{\Phi }}_n(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }\frac{{\mathrm{\Phi }}_n(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta -\frac{1}{\pi }\underset{G}{\int }\frac{e^{-{\mathrm{\Psi }}_n(z)}a(z)f(z)\{1-{\chi }_n(z)\}}{\zeta -z}d\xi d\eta$

für alle $z\in G$ und $n=1,2,\dots$. Mit dem Lebesgueschen Konvergenzsatz stellt man leicht

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{\Phi }}_n(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\{f(z)\exp \left(\frac{1}{\pi }\underset{ℂ}{\iint }\frac{a(\zeta ){\chi }_n(\zeta )}{\zeta -z}d\xi d\eta \right)\}$

$=f(z)\exp \left\{\frac{1}{\pi }\underset{\mathrm{\Theta }}{\iint }\frac{a(\zeta )}{\zeta -z}d\xi d\eta \right\}=f(z)\exp \{-\mathrm{\Psi }(z)\}=\mathrm{\Phi }(z)$

für alle $z\in \mathrm{\Omega }$ fest. Durch Grenzübergang in (7) erhalten wir

(8) $\mathrm{\Phi }(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }\frac{\mathrm{\Phi }(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta ,z\in G$

für jedes Normalgebiet $G\subset \subset \mathrm{\Omega }$. Somit ist $\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(z)$ in $\mathrm{\Omega }$ holomorph.

q.e.d.

Satz 2 (Carleman)

Auf der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ sei die pseudoholomorphe Funktion $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ gegeben. Weiter seien $z_0\in \mathrm{\Omega }$ und $\{z_k{\}}_{k=1,2,\dots }\subset \mathrm{\Omega }\setminus \{z_0\}$ eine Punktfolge mit

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_k=z_0,f(z_k)=0$ für alle $z\in \mathrm{\Omega }$

Dann folgt

$f(z)\equiv 0$ in $\mathrm{\Omega }$.

Beweis

Man verknüpfe den Identitätssatz für holomorphee Funktionen mit dem obigen Satz 1.

q.e.d.

Satz 3 (Eindeutigkeitssatz von Vekua)

Sei pseudoholomorphe Funktion $f:ℂ\to ℂ$ eine pseudoholomorphe Funktion mit der Eigenschaft

(9) $\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }\underset{|z|\ge \frac{1}{\epsilon }}{\sup }|f(z)|=0.$

Dann folgt

$f(z)\equiv 0$ in $ℂ$.

Beweis

Seien $a\in ℬ(ℂ)$ das zu $f=f(z)$ gehörige komplexe Potenzial und $\mathrm{\Theta }\subset ℂ$ die zugehörige beschränkte, offene Menge. Nach Satz 1 gilt

$f(z)=e^{\mathrm{\Psi }(z)}\mathrm{\Phi }(z),z\in ℂ$

mit einer holomorphen Funktion $\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(z),z\in ℂ$. Weiter ist

$\mathrm{\Psi }(z):=-\frac{1}{\pi }\underset{\mathrm{\Theta }}{\iint }\frac{a(\zeta )}{\zeta -z}d\xi d\eta ,z\in ℂ$

beschränkt, denn es gibt ein festes $C\in (0,+\mathrm{\infty })$, so dass die Abschätzung

$|\mathrm{\Psi }(z)|\le \frac{1}{\pi }\Vert a{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\underset{\mathrm{\Theta }}{\iint }\frac{1}{|\zeta -z|}d\xi d\eta \le \frac{1}{\pi }\Vert a{\Vert }_{\mathrm{\infty }}C,z\in ℂ$

richtig ist. Somit ist die holomorphe Funktion

$\mathrm{\Phi }(z):=f(z)e^{-\mathrm{\Psi }(z)},z\in \mathrm{\Omega }$

beschränkt und nach dem Satz von Liouville konstant. Wegen (9) folgt

$\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }\underset{|z|\ge \frac{1}{\epsilon }}{\sup }|f(z)|=0$

und somit erhalten wir

$f(z)e^{-\mathrm{\Psi }(z)}=\mathrm{\Phi }(z)\equiv 0$ in $ℂ$.

Schließlich gilt also

$f(z)\equiv 0$ in $ℂ$,

womit die Behauptung gezeigt ist.

q.e.d.

§7 Konforme Abbildungen

Definition 1

Seien ${\mathrm{\Omega }}_j\subset ℂ,j=1,2$ zwei Gebiete, so nennen wir die Abbildung $w=f(z):{\mathrm{\Omega }}_1\to {\mathrm{\Omega }}_2$ konform, falls die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

(a) $f:{\mathrm{\Omega }}_1\to {\mathrm{\Omega }}_2$ ist bijektiv,

(b) $f:{\mathrm{\Omega }}_1\to {\mathrm{\Omega }}_2$ ist holomorph,

(c) es gilt $J_f(z)=|f^{\prime }(z){|}^2>0$ für alle $z\in {\mathrm{\Omega }}_1$.

Definition 2

Zwei Gebiete ${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2\subset ℂ$ heißen konform äquivalent, falls es eine konforme Abbildung $f:{\mathrm{\Omega }}_1\to {\mathrm{\Omega }}_2$ gibt.

Definition 3

Sei $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ ein Gebiet, so nennen wir

$\mathrm{Aut}(\mathrm{\Omega }):=\{f:\mathrm{\Omega }\to \mathrm{\Omega }:fistkonform\}$

die Automorphismengruppe des Gebietes $\mathrm{\Omega }$.

Definition 4

Seien $a,b,c,d\in ℂ$ mit

$\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc\ne 0$

und

${ℂ}^{*}:=\{z\in ℂ:cz+d\ne 0\}$

gegeben. Dann nennen wir

$w=f(z):=\frac{az+b}{cz+d},z\in {ℂ}^{*}$

eine Möbiustransformation bzw. eine gebrochen lineare Transformation.

Definition 5

Sei $f:\mathrm{\Omega }\to \mathrm{\Omega }$ eine stetige Abbildung vom Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset \overline{ℂ}$ in sich. Wir nennen $z_0\in \mathrm{\Omega }$ einen Fixpunkt der Abbildung $f=f(z)$, falls

$f(z_0)=z_0$

richtig ist. Falls $0\in \mathrm{\Omega }$ gilt und 0 ein Fixpunkt der Abbildung ist, so nennen wir diese nullpunkttreu.

Satz 1 (Schwarzsches Lemma)

Sei $w=f(z):B\to B$ eine holomorphe, nullpunkttreue Funktion. Dann folgt

$|f(z)|\le |z|$ für alle $z\in B$.

Existiert ein $z_0\in B\setminus \{0\}$ mit $|f(z_0)|=z_0$, so besitzt $f=f(z)$ die Darstellung

$f(z)=e^{i\vartheta }z,z\in B$

mit einem gewissen $\vartheta \in [0,2\pi )$.

Beweis

Die Funktion

$g(z):=\frac{f(z)}{z},z\in B\setminus \{0\}$

ist holomorph nach $B$ fortsetzbar und es gilt

$\underset{z\to \partial B}{\mathrm{lim\; sup}}|g(z)|\le 1.$

Nach §3, Satz 2 folgt nun

$\underset{z\in B}{\sup }|g(z)|\le \underset{z\to \partial B}{\mathrm{lim\; sup}}|g(z)|\le 1$

und somit haben wir

$|f(z)|\le |z|$ für alle $z\in B$.

Existiert ein $z_0\in B\setminus \{0\}$ mit $|f(z_0)|=z_0$, so folgt $|g(z_0)|=1$. Somit ist nach dem oben angegebenen Satz die Abbildung $g=g(z)$ konstant, also gelten

$g(z)=e^{i\vartheta },z\in B$

bzw.

$f(z)=e^{i\vartheta }z,z\in B$

mit einem $\vartheta \in [0,2\pi )$.

q.e.d.

Satz 2 (Automorphismen des Einheitskreises)

Ein Automorphismus $w=f(z):B\to B$ des Einheitskreises hat notwendig die Gestalt

(1) $w=f(z)=e^{i\vartheta }\frac{z-z_0}{{\bar{z}}_{0}z-1},z\in B$

mit $z_0:=f^{-1}(0)\in B$ und $\vartheta \in [0,2\pi )$. Umgekehrt ist jede Abbildung der Gestalt (1) mit $z_0\in B$ und $\vartheta \in [0,2\pi )$ ein Automorphismus von $B$. Insbesondere haben die nullpunkttreuen Automorphismen von $B$ die Gestalt

(2) $f(z)=e^{i\vartheta }z,z\in B$

mit einem $\vartheta \in [0,2\pi )$.

Beweis

1. Es sind alle Möbiustransformationen der Form (1) Automorphismen des Einheitskreises.

2. Ist $w=f(z),z\in B$ ein nullpunkttreuer Automorphismus von $B$, so folgt aus Satz 2 die Abschätzung

$|w|=|f(z)|\le |z|$ für alle $z\in B$.

Nun ist aber auch die Umkehrabbildung $z=g(w),w\in B$ ein nullpunkttreuer Automorphismus von $B$ und es folgt

$|z|=|g(w)|\le |w|$ für alle $w\in B$.

Insgesamt erhalten wir

$|z|\le |w|=|f(z)|\le |z|,z\in B$

bzw.

$|f(z)|=|z|,z\in B.$

Somit gibt es nach Satz 2 ein $\vartheta \in [0,2\pi )$ mit

$f(z)=e^{i\vartheta }z,z\in B$

3. Ist nun $w=f(z):B\to B$ ein beliebiger Automorphismus von $B$, so setzen wir $z_0:=f^{-1}(0)$. Wir betrachten dann die Möbiustransformation

$w=g(z):=\frac{z-z_0}{{\bar{z}}_{0}z-1},z\in B$

und erhalten den folgenden nullpunkttreuen Automorphismus von $B$:

$h(w):=f\circ g^{-1}(w),w\in B.$

Aus dem zweiten Punkt folgt

$f\circ g^{-1}(w)=e^{i\vartheta }w,w\in B$

mit einem $\vartheta \in [0,2\pi )$ bzw. für $w=g(z)$ erhalten wir

$f(z)=e^{i\vartheta }g(z)=e^{i\vartheta }\frac{z-z_0}{{\bar{z}}_{0}z-1},z\in B,$

womit die Aussage gezeigt ist.

q.e.d.

Satz 3 (Riemannscher Abbildungssatz)

Sei $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ mit $\mathrm{\Omega }\ne ℂ$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Dann gibt es eine konforme Abbildung $f:\mathrm{\Omega }\to B$.

Beweis

1. Sei $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ mit $\mathrm{\Omega }\ne ℂ$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, so existiert zunächst ein $z_0\in ℂ\setminus \mathrm{\Omega }$. Durch die konforme Abbildung

$f(z):=z-z_0,z\in \mathrm{\Omega }$

können wir zum konform äquivalenten Gebiet

(3) $\mathrm{\Omega }\subset ℂ\setminus \{0\}$

übergehen. Mit der konformen Abbildung

$f(z)=\sqrt{z},z\in \mathrm{\Omega }$

gelangen wir zu einem konform äquivalenten Gebiet mit

(4) $\mathrm{\Omega }\cap (-\mathrm{\Omega })=\mathrm{\varnothing }.$

2. Wir gehen jetzt von einem einfach zusammenhängenden Gebiet mit den Eigenschaften (3), (4) aus und wählen einen festen Punkt $z_0\in \mathrm{\Omega }$. Wir betrachten die Funktionenmenge

$ℱ:=\{f:\mathrm{\Omega }\to B:f\text{ ist holomorph und injektiv in }\mathrm{\Omega },f(z_0)=0\}.$

Mit dem Extremalprinzip von Paul Koebe suchen wir nun diejenige Abbildung $f\in ℱ$, welche der Bedingung

(5) $|f^{\prime }(z_0)|=\underset{\mathrm{\Phi }\in ℱ}{\sup }|{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(z_0)|$

genügt. Zunächst ist die Klasse $ℱ$ nicht leer. Wegen (4) gibt es nämlich ein $z_1\in ℂ$ und ein $\varrho >0$, so dass für alle $z\in ℂ$ mit $|z-z_1|\le \varrho$ die Aussage $z\notin \mathrm{\Omega }$ erfüllt ist. Die Funktion

$f_1(z):=\frac{1}{z-z_1},z\in \mathrm{\Omega }$

ist wegen

$|f_1(z)|\le \frac{1}{\varrho },z\in \mathrm{\Omega }$

beschränkt. Durch Anwendung der konformen Abbildung

$f_2(w):=r\{w-f_1(z_0)\},w\in ℂ$

mit hinreichend kleinem $r>0$ erhalten wir schließlich eine zulässige Abbildung

$f:=f_2\circ f_1\in ℱ.$

3. Sei $f\in ℱ$ eine beliebige Funktion, so gilt für deren Dirichletintegral

$D(f):=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }\{|f_x{|}^2+|f_y{|}^2\}dxdy=2\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }|f_x\wedge f_y|dxdy\le 2\pi .$

Ist nun $z_1\in \mathrm{\Omega }$ ein beliebiger Punkt und $\delta >0$ so klein gewählt, dass die Kreisscheibe

$B_{\delta }(z_1):=\{z\in ℂ:|z-z_1|<\delta \}$

die Inklusion $B_{\delta }(z_1)\subset \subset \mathrm{\Omega }$ erfüllt, so gibt es nach dem Oszillationslemma von Courant und Lebesgue ein ${\delta }^{*}\in [\delta ,\sqrt{\delta }]$ mit der Eigenschaft

(6) $\underset{z:|z-z_1|={\delta }^{*}}{\int }|df(z)|\le 2\pi \sqrt{\frac{2}{-\log \delta }}.$

Beachten wir noch die Injektivität der Abbildung $f=f(z)$, so erhalten wir für die Durchmesser der entsprechenden Gebiete

(7) $\mathrm{diam}f(B_{\delta }(z_1))\le \mathrm{diam}f(B_{{\delta }^{*}}(z_1))\le \pi \sqrt{\frac{2}{-\log \delta }}.$

Für jede kompakte Menge $K\subset \mathrm{\Omega }$ ist somit die Funktionenklasse

${ℱ}_K:=\{f:K\to ℂ:f\in ℱ\}$

gleichgradig stetig und gleichmäßig beschränkt. Wir können also aus jeder Folge $\{f_k{\}}_{k=1,2,\dots }\subset ℱ$ eine in jedem Kompaktum $K\subset \mathrm{\Omega }$ gleichmäßig konvergente Teilfolge auswählen.

4. Wir erhalten folgendermaßen die Kompaktheit der Funktionenklasse $ℱ$: Aus jeder Folge $\{f_k{\}}_{k=1,2,\dots }\subset ℱ$ mit

$0<|{f_k}^{\prime }(z_0)|\le |f_{k^{\prime }+1}(z_0)|,k\in \mathbb{N}$

kann man eine Teilfolge $\{f_{k_l}\}l=1,2,\dots$ auswählen, die in jedem Kompaktum $K\subset \mathrm{\Omega }$ gleichmäßig gegen eine Funktion $f\in ℱ$ mit der Extremaleigenschaft (5).

Schließlich haben wir noch

$f(\mathrm{\Omega })=B$

zu zeigen.

5. Wäre $G:=f(\mathrm{\Omega })\subset B$ mit $G\ne B$ erfüllt, so existiert ein $z_1\in B\setminus G$. Die Abbildung

$w={\psi }_1(z):=\frac{z-z_1}{{\bar{z}}_{1}z-1},z\in B$

gehört zu $\mathrm{Aut}(B)$ und erfüllt die Eigenschaften

${\psi }_1(z_1)=0,{\psi }_1(0)=z_1.$

Auf dem einfach zusammenhängenden Gebiet

$G_1:={\psi }_1(G)\subset B\setminus \{0\}$

betrachten wir die konforme Wurzelfunktion

$w={\psi }_2(z):=\sqrt{z},z\in G_1$

mit $z_2:=\sqrt{z_1}$. Wir erhalten das einfach zusammenhängende Gebiet

$G_2:={\psi }_2(G_1)\subset B\setminus \{0\}$

mit $z_2\in G_2$. Schließlich verwenden wir den Automorphismus

$w={\psi }_3(z):=\frac{z-z_2}{{\bar{z}}_{2}z-1},z\in B$

mit der Eigenschaft

${\psi }_3(z_2)=0$

und erklären

$G_3:={\psi }_3(G_2)\subset B.$

Die Komposition

$\psi :={\psi }_3\circ {\psi }_2\circ {\psi }_1:G\to G_3$

ist konform und es gilt

$\psi (0)={\psi }_3\circ {\psi }_2\circ {\psi }_1(0)={\psi }_3\circ {\psi }_2(z_1)={\psi }_3(z_2)=0.$

Wir beachten $\psi \circ f\in ℱ$, denn es ist

$\psi \circ f(z_0)=\psi (0)=0.$

Nun berechnen wir

$(\psi \circ f{)}^{\prime }(z_0)={\psi }^{\prime }(0)f^{\prime }(z_0)=\psi {\text{'}}_3(z_2){{\psi }_2}^{\prime }(z_1){{\psi }_1}^{\prime }(0)f^{\prime }(z_0)$

$=\frac{1}{{\bar{z}}_2{z}_2-1}\frac{1}{2\sqrt{z_1}}({\bar{z}}_1{z}_1-1)f^{\prime }(z_0)=\frac{1}{{\bar{z}}_2{z}_2-1}\frac{1}{2z_2}\{({\bar{z}}_2{z}_2{)}^2-1\}{f}^{\prime }(z_0)=\frac{|z_2{|}^2+1}{2z_2}{f}^{\prime }(z_0),$

wobei wir $z_2=\sqrt{z_1}$ beachten. Aus $0<|z_2|<1$ folgen

$(1-|z_2|{)}^2>0$, also $|z_2{|}^2-2|z_2|+1>0$

bzw.

$\frac{|z_2{|}^2+1}{2|z_2|}>1.$

Dieses ergibt aber mit

$|(\psi \circ f{)}^{\prime }(z_0)|=\frac{|z_2{|}^2+1}{2|z_2|}|f^{\prime }(z_0)|>|f^{\prime }(z_0)|=\underset{\mathrm{\Phi }\in ℱ}{\sup }|{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(z_0)|$

einen Widerspruch. Damit ist alles gezeigt.

q.e.d.

§8 Randverhalten konformer Abbildungen

Definition 1

Ein beschränktes Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ nennen wir Jordangebiet, falls dessen Rand $\partial \mathrm{\Omega }=\mathrm{\Gamma }$ eine Jordankurve bildet mit der topologischen, positiv orientierten Darstellung $\gamma :\partial B\to \mathrm{\Gamma }$ und der Parametrisierung

$\beta (t):=\gamma (e^{it}),t\in ℝ.$

Für $k\in \mathbb{N}$ nennen wir $\mathrm{\Gamma }$ im Punkt $z_1=\beta (t_1)\in \mathrm{\Gamma }$ mit $t_1\in [0,2\pi )$$k$-mal stetig differenzierbar und regulär, falls es ein $\epsilon =\epsilon (t_1)>0$ derart gibt, so dass

$\beta \in C^k((t_1-\epsilon ,t_1+\epsilon ),ℂ)$

sowie

${\beta }^{\prime }(t)\ne 0$ für alle $t\in (t_1-\epsilon ,t_1+\epsilon )$

richtig sind. Falls zusätzlich die Potenzreihenentwicklung

(1) $\beta (t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{\beta }^{(k)}(t_1)(t-t_1{)}^k$ für $t_1-\epsilon <t<t_1+\epsilon$

gültig ist, nennen wir $z_1=\beta (t_1)$ einen regulären, analytischen Randpunkt. Wir sprechen von einer $C^k$-Jordankurve (bzw. einer analytischen Jordankurve) $\mathrm{\Gamma }$, falls jeder Randpunkt $z_1\in \mathrm{\Gamma }$ regulär und $k$-mal stetig differenzierbar (bzw. analytisch) ist.

Satz 1 (Carathéodory, Courant)

Sei $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ ein Jordangebiet. Dann ist die konforme Abbildung $f:\mathrm{\Omega }\to B$ stetig auf den Abschluss $\bar{\mathrm{\Omega }}$ als topologische Abbildung $f:\bar{\mathrm{\Omega }}\to \bar{B}$ fortsetzbar.

Beweis

1. Zu festem $z_1=\beta (t_1)\in \mathrm{\Gamma }$ betrachten wir für $0<\delta <{\delta }_0$ diejenige Zusammenhangskomponente $G_{\delta }(z_1)$ der offenen Menge $\{z\in \mathrm{\Omega }:|z-z_1|<\delta \}$ mit $z_1\in \partial G_{\delta }(z_1)$. Zu $t_2<t_3$ bezeichne

$\beta [t_2,t_3]:=\{\beta (t):t_2\le t\le t_3\}$

den Jordanbogen auf $Gamma$ vom Punkt $z_2=\beta (t_2)$ zum Punkt $z_3=\beta (t_3)$. Der Rand von $G_{\delta }(z_1)$ besteht aus einem Kreissegment $S_{\delta }(z_1)\subset \mathrm{\Omega }$ und einem Jordanbogen

${\mathrm{\Gamma }}_{\delta }(z_1):=\beta [t_2,t_3]$ mit $t_2<t_1<t_3$.

Danach gilt

$\partial G_{\delta }(z_1)={\mathrm{\Gamma }}_{\delta }(z_1)\dot{\cup }{S}_{\delta }(z_1).$

Nach dem Courant-Lebesgueschen Lemma gibt es zu vorgegebenem $\delta >0$ ein ${\delta }^{*}\in [\delta ,\sqrt{\delta }]$ mit der Eigenschaft

(2) $\underset{z\in S_{{\delta }^{*}}(z_1)}{\int }|df(z)|\le 2\pi \sqrt{\frac{2}{-\log \delta }}.$

Nun ist $f(S_{{\delta }^{*}}(z_1))\subset B$ ein Jordanscher Kurvenbogen endlicher Länge, welcher seine Endpunkte – stetig fortgesetzt – auf $\partial B$ hat. Da die Abbildung $f:\mathrm{\Omega }\to B$ injektiv ist, folgt

(3) $\mathrm{diam}f(G_{\delta }(z_1))\le \mathrm{diam}f(G_{{\delta }^{*}}(z_1))\le 2\pi \sqrt{\frac{2}{-\log \delta }}.$

Somit ist $f=f(z)$ gleichmäßig stetig auf $\mathrm{\Omega }$ und folglich auf $\bar{\mathrm{\Omega }}$ stetig fortsetzbar.

2. Ebenso beweist man die stetige Fortsetzbarkeit der Umkehrfunktion

$g(w):=f^{-1}(w),w\in B$

auf den Abschluss $\bar{B}$. Hierzu benötigt man den Stetigkeitsmodul der Jordankurve $\mathrm{\Gamma }$ im folgenden Sinne: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $\delta =\delta (\epsilon )>0$, so dass für je zwei aufeinanderfolgende Punkte $z_j=\beta (t_j)\in \mathrm{\Gamma },j=1,2$ mit $t_1<t_2$ und $|z_1-z_2|\le \delta (\epsilon )$ die Abschätzung

(4) $\mathrm{diam}\beta [t_1,t_2]:=\underset{t_1\le {\tau }_1<{\tau }_2\le t_2}{\sup }|\beta ({\tau }_1)-\beta ({\tau }_2)|\le \epsilon$

gültig ist.

3. Da nun $f=f(z)$ auf $\bar{\mathrm{\Omega }}$ und $g=g(w)$ auf ganz $\bar{B}$ stetig fortsetzbar sind, ist die Abbildung $f:\bar{\mathrm{\Omega }}\to \bar{B}$ topologisch.

q.e.d.

Satz 2 (Analytisches Randverhalten)

Sei $z=g(w):B\to \mathrm{\Omega }$ eine konforme Abbildung auf das Jordangebiet $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$, welche topologisch gemäß $g:\bar{B}\to \bar{\mathrm{\Omega }}$ erweitert werden kann. Im Punkt $z_1=g(w_1)\in \mathrm{\Gamma }=\partial \mathrm{\Omega }$ mit $w_1\in \partial B$ sei der Rand $\mathrm{\Gamma }$ regulär und analytisch. Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(w-w_1{)}^k$ für alle $w\in ℂ$ mit $|w-w_1|<\epsilon$

mit den Koeffizienten $a_k\in ℂ,k\in {\mathbb{N}}_0$ und $a_1\ne 0$ bei hinreichend kleinem $\epsilon >0$, so dass die Darstellung

(5) $g(w)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(w-w_1{)}^k$ für alle $w\in B$ mit $|w-w_1|<\epsilon$

erfüllt ist. Also kann $g=g(w)$ im Punkt $w_1\in \partial B$ analytisch über den Rand $\partial B$ erweitert werden.

Beweis

1. Da $z_1=g(w_1)=\beta (t_1)\in \mathrm{\Gamma }$ ein regulärer und analytischer Randpunkt von $\mathrm{\Gamma }$ ist, gilt

(6) $\beta (t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{\beta }^{(k)}(t_1)(t-t_1{)}^k,t_1-\epsilon <t<t_1+\epsilon$

mit ${\beta }^{\prime }(t_1)\ne 0$. Nun können wir die konvergente Potenzreihe mit $r=(t+is)\in ℂ$ ins Komplexe erweitern und erhalten die Funktion

(7) $h(r):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{\beta }^{(k)}(t_1)(r-t_1{)}^k$ für alle $r\in ℂ$ mit $|r-t_1|<\epsilon$.

Wegen ${\beta }^{\prime }(t_1)\ne 0$ existiert in einer Umgebung von $z_1=h(t_1)$ die holomorphe Umkehrabbildung $h^{-1}$.

2. Wir verwenden nun die Möbiustransformation

$l:H^{+}\to B$ konform mit $l(0)=w_1$.

Auf die holomorphe Abbildung

(8) $\mathrm{\Psi }(\zeta ):=h^{-1}\circ g\circ l(\zeta ),\zeta \in H^{+}$ mit $|\zeta |<\epsilon$

können wir das Schwarzsche Spiegelungsprinzip anwenden und erhalten die holomorphe Funktion

(9) $\mathrm{\Psi }(\zeta ),|\zeta |<\epsilon$

auf der vollen Kreisscheibe um den Nullpunkt. Nun ist auch die Funktion

(10) $h\circ \mathrm{\Psi }\circ l^{-1}(w)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(w-w_1{)}^k$ für alle $|w-w_1|<\epsilon$

holomorph und wir haben sie in eine konvergente Potenzreihe um den Punkt $w_1\in \partial B$ entwickelt. Aus (8) und (10) erhalten wir schließlich

(11) $g(w)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(w-w_1{)}^k$ für alle $w\in B$ mit $|w-w_1|<\epsilon$.

Da $g:\bar{B}\to \bar{\mathrm{\Omega }}$ topologisch ist, muss in der Entwicklung (11) der Koeffizient $a_1\ne 0$ erfüllen.

q.e.d.

Satz 3 (Randpunktlemma)

Auf der Kreisscheibe

$B_{\varrho }(z_1):=\{z\in ℂ:|z-z_1|<\varrho \},z_1\in ℂ,\varrho >0$

sei die holomorphe Funktion

(12) $w=f(z):B_{\varrho }(z_1)\to B\in C^1(\overline{B_{\varrho }(z_1)},\bar{B})$

derart gegeben, dass

$|f(z_1)|\le 1-\epsilon$ mit einem $\epsilon >0$

erfüllt ist. Weiter sei $z_2\in \partial B_{\varrho }(z_1)$ ein Randpunkt mit $|f(z_2)|=1$. Dann gilt

(13) $|f^{\prime }(z_2)|\ge \frac{{\epsilon }^2}{\varrho }.$

Beweis

Betrachte die Funktion

$l(w):=z_1+(z_2-z_1)w,w\in \bar{B}$

mit

(14) $l(0)=z_1,l(1)=z_2,|l^{\prime }(w)|=|z_2-z_1|=\varrho$ für alle $w\in \bar{B}$.

Setzen wir nun $w_1=f(z_1)\in B$ und $w_2=f(z_2)\in \partial B$, so verwenden wir die Möbiustransformation

$h(w):=e^{i\vartheta }\frac{w-w_1}{{\bar{w}}_{1}w-1},w\in \bar{B}$

mit geeignetem $\vartheta \in [0,2\pi )$. Wir erhalten dann

(15) $h(w_1)=0,h(w_2)=1$

und berechnen

$|h^{\prime }(w_2)|=\frac{|({\bar{w}}_1{w}_2-1)-{\bar{w}}_1(w_2-w_1)|}{|{\bar{w}}_1{w}_2-1{|}^2}=\frac{|1-|w_1{|}^2|}{|1-{\bar{w}}_1{w}_2{|}^2}$

$\le \frac{1}{(1-|{\bar{w}}_1{w}_2|{)}^2}=\frac{1}{(1-|w_1|{)}^2}\le \frac{1}{(1-(1-\epsilon ){)}^2}=\frac{1}{{\epsilon }^2}.$

Wir betrachten nun die nullpunkttreue, holomorphe Abbildung

$\mathrm{\Phi }(w):=h\circ f\circ l(w),w\in \bar{B}$

der Klasse $C^1(\bar{B},\bar{B})$. Das Schwarzsche Lemma liefert

(16) $|\mathrm{\Phi }(w)|\le |w|,w\in \bar{B}.$

Also folgt für alle $r\in (0,1)$ die Ungleichung

$\left|\frac{\mathrm{\Phi }(r)-\mathrm{\Phi }(1)}{r-1}\right|\ge \frac{|\mathrm{\Phi }(1)|-|\mathrm{\Phi }(r)|}{1-r}\ge \frac{1-r}{1-r}=1$

und somit haben wir

(17) $|{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(1)|\ge 1.$

Die Kombination von (14) und (17) liefert

$1\le |{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(1)|=|h^{\prime }(w_2)f^{\prime }(z_2)l^{\prime }(1)|\le \frac{1}{{\epsilon }^2}|f^{\prime }(z_2)|\varrho$

bzw.

$|f^{\prime }(z_2)|\ge \frac{{\epsilon }^2}{\varrho },$

womit die Aussage gezeigt ist.

q.e.d.

Satz 4 (Lipschitz-Abschätzung)

Das $C^2$-Jordangebiet $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ werde konform durch $f:\mathrm{\Omega }\to B$ abgebildet mit der Umkehrabbildung $z=g(w):B\to \mathrm{\Omega }$. Dann folgt

(18) $\underset{w\in B}{\sup }|g^{\prime }(w)|<+\mathrm{\infty }$

und somit ist $g=g(w)$ Lipschitz-stetig auf $\bar{B}$.

Beweis

Nach dem Weierstraßschen Approximationssatz können wir das Gebiet $\mathrm{\Omega }$ durch Jordangebiete ${\mathrm{\Omega }}_n,n\in \mathbb{N}$, so approximieren, dass deren berandende analytische Jordankurven ${\mathrm{\Gamma }}_n=\partial {\mathrm{\Omega }}_n$ einschließlich ihrer Ableitungen bis zur zweiten Ordnung für $n\to \mathrm{\infty }$ gegen die $C^2$-Jordankurve $\mathrm{\Gamma }=\partial \mathrm{\Omega }$ konvergieren. Wir betrachten nun die konformen Abbildungen

$g_n:\bar{B}\to {\bar{\mathrm{\Omega }}}_n\in C^1(\bar{B},{\bar{\mathrm{\Omega }}}_n)$

mit den Umkehrabbildungen

$f_n:{\bar{\mathrm{\Omega }}}_n\to \bar{B}\in C^1({\bar{\mathrm{\Omega }}}_n,\bar{B})$

gemäß Satz 2 für alle $n\in \mathbb{N}$, welche im Innern gleichmäßig mit ihren Ableitungen gegen die Funktion $g\in C^0(\bar{B},\bar{\mathrm{\Omega }})$ bzw. deren Umkehrfunktion $f\in C^0(\bar{\mathrm{\Omega }},\bar{B})$ für $n\to \mathrm{\infty }$ konvergieren. Nun gibt es ein festes $\varrho >0$ unabhängig von $n\in \mathbb{N}$, so dass jedes Gebiet ${\mathrm{\Omega }}_n$ in jedem Randpunkt $z_2\in {\mathrm{\Gamma }}_n=\partial {\mathrm{\Omega }}_n$ einen Stützkreis

$B_{\varrho }(z_1)\subset {\mathrm{\Omega }}_n$ mit $z_1\in {\mathrm{\Omega }}_n,z_2\in \partial B_{\varrho }(z_1)\cap {\mathrm{\Gamma }}_n$

zulässt. Weiter gibt es wegen $f_n\to f$ für $n\to \mathrm{\infty }$ ein $\epsilon >0$ unabhängig von $n\in \mathbb{N}$, so dass die Abschätzung

(19) $|f_n(z_1)|\le |f(z_1)|+|f_n(z_1)-f(z_1)|\le 1-\epsilon$ für alle $n\ge n_0(\epsilon )$

richtig ist, wobei $n_0(\epsilon )$ derart gewählt wird, dass

$|f(z_1)|\le 1-2\epsilon ,|f_n(z_1)-f(z_1)|\le \epsilon$

erfüllt sind. Nach Satz 3 folgt dann

$|{f_n}^{\prime }(z_2)|\ge \frac{{\epsilon }^2}{\varrho },n\ge n_0(\epsilon )$

und mit $w_2=f_n(z_2)$ erhalten wir für die Umkehrabbildung

(20) $|{g_n}^{\prime }(w_2)|\le \frac{\varrho }{{\epsilon }^2}$ für alle $w_2\in \partial B$ und $n\ge n_0(\epsilon )$.

Das Maximumprinzip für holomorphe Funktionen liefert

(21) $\underset{B}{\sup }|{g_n}^{\prime }(w)|\le \frac{\varrho }{{\epsilon }^2},n\ge n_0(\epsilon )$

und für $n\to \mathrm{\infty }$ erhalten wir schließlich mit

(22) $\underset{B}{\sup }|g^{\prime }(w)|<+\mathrm{\infty }$

die Behauptung.

q.e.d.

Satz 5 ($C^{1,1}$-Regularität)

Sei $g:B\to \mathrm{\Omega }$ eine konforme Abbildung auf das $C^2$-Jordangebiet $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ mit der berandenden $C^2$-Jordankurve $\mathrm{\Gamma }=\partial \mathrm{\Omega }$. Dann folgt $g\in C^1(\bar{B},\bar{\mathrm{\Omega }})$ und

$g^{\prime }(w)\ne 0$ für alle $w\in \bar{B}$.

Weiter gibt es eine Lipschitzkonstante $L=L(g)\in (0,+\mathrm{\infty })$, so dass

$|g^{\prime }(w_1)-g^{\prime }(w_2)|\le L|w_1-w_2|$ für alle $w_1,w_2\in \bar{B}$

erfüllt ist.

Beweis

Wie im Beweis von Satz 4 approximieren wir $g:\bar{B}\to \bar{\mathrm{\Omega }}$ gleichmäßig in $\bar{B}$ durch konforme Abbildungen $g_n:\bar{B}\to {\bar{\mathrm{\Omega }}}_n,n=1,2,\dots$ mit

$\underset{B}{\sup }|{g_n}^{\prime }(w)|\le c_1,n\in \mathbb{N}.$

Setzen wir

(22) $G_n(w):=\log {g_n}^{\prime }(w)=\log |{g_n}^{\prime }(w)|+i\arg {g_n}^{\prime }(w),w\in \bar{B},n\in \mathbb{N},$

so ist offenbar

(23) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{G}_n(0)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log {g_n}^{\prime }(0)=\log g^{\prime }(0)\in ℂ$

richtig. Wir haben nun noch

(24) $\underset{w\in B}{\sup }|{G_n}^{\prime }(w)|\le c_2,n\in \mathbb{N}$

nachzuweisen. Hierzu assoziieren wir mit der Abbildung $g_n=g_n(w)$ die Gaußsche Metrik

(25) $d{s}_n^2=E_n(w)(d{u}^2+d{v}^2)=|{g_n}^{\prime }(w){|}^2(d{u}^2+d{v}^2).$

Für die geodätische Krümmung ${\kappa }_n$ der Randkurve ${\mathrm{\Gamma }}_n=\partial {\mathrm{\Omega }}_n$ entnehmen wir einer Vorlesung über Differentialgeometrie die Formel

(26) $\frac{\partial }{\partial r}\log \sqrt{E_n(r\cos t,r\sin t)}{|}_{r=1}={\kappa }_n\sqrt{E_n(\cos t,\sin t)}-1,t\in ℝ.$

Die Abbildung $G_n(w)=x_n(w)+i{y}_n(w),w\in \bar{B}$ aus (22) erfüllt dann wegen (26) und Satz 4 die Abschätzung

(27) ${|\frac{\partial }{\partial r}{x}_n(r{e}^{it})|}_{r=1}\le {\tilde{c}}_2$ für alle $t\in ℝ,n\in \mathbb{N}$

mit einer Konstante ${\tilde{c}}_2$. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen liefern

(28) $|\frac{d}{dt}{y}_n(e^{it})|\le {\tilde{c}}_2$ für alle $t\in ℝ,n\in \mathbb{N}$.

Wir erhalten somit die Abschätzung (24).

Die Funktionenfolge $\{G_n{\}}_{n=1,2,\dots }$ ist also gleichgradig stetig und gleichmäßig beschränkt. Nach dem Satz von Arzelà-Ascoli können wir übergehen zu einer auf $\bar{B}$ gleichmäßig konvergenten Teilfolge $\{G_{n_k}{\}}_{k=1,2,\dots }$ und erhalten die stetige Funktion

$G(w):=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{G}_{n_k}(w),w\in \bar{B}.$

Nun haben wir

$G(w)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{G}_{n_k}(w)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log g_{{n_k}^{\prime }}(w)=\log g^{\prime }(w),w\in B.$

Also ist

$\mathrm{\Phi }(w):=\log g^{\prime }(w),w\in B$

stetig auf $\bar{B}$ fortsetzbar und wir erhalten die Stetigkeit von $g^{\prime }(w):\bar{B}\to ℂ\setminus \{0\}$. Da die Funktionen $\{G_n{\}}_{n=1,2,\dots }$ gemeinsam einer Lipschitzbedingung in $\bar{B}$ genügen, bleibt dieses auch für die Grenzfunktion $G=G(w)$ bzw. für $g=g(w),w\in \bar{B}$ richtig.

q.e.d.