Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/elementare Funktionen

Grundbegriffe

Aufgrund der Periodizität des Kreises kann das Bogenmaß als reelle Zahl ${}_{x\in ℝ}$ betrachtet werden. Hierbei wird allen ${}_{\{x+2n\pi |n\in \mathbb{Z}\}}$ derselbe Punkt ${}_P$ zugeordnet. Durch den Zusammenhang ${}_{x=\alpha }$ gilt dies analog auch für den Winkel. Eine Änderung des Bogenmaßes um ${}_{2\pi }$ (${}_{={360}^{\circ }}$) entspricht hierbei einem Umlauf auf dem Einheitskreis.

trigonometrische Funktionen

Sinus und Kosinus

Wichtige Winkel $x$ $\sin x$ $\cos x$ $0$ $0$ $1$ $\frac{\pi }{6}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\pi }{4}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{\pi }{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\pi }{2}$ $1$ $0$

Vorzeichen in den einzelnen Quadranten Quadrant $\sin x$ $\cos x$ $\mathrm{I}$ $+$ $+$ $\mathrm{I}\mathrm{I}$ $+$ $-$ $\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}$ $-$ $-$ $\mathrm{I}\mathrm{V}$ $-$ $+$

Tangens und Kotangens

Wichtige Winkel

$x$	$\tan x$	$\cot x$
$0$	$0$	$[\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }]$
$\frac{\pi }{6}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\sqrt{3}$
$\frac{\pi }{4}$	$1$	$1$
$\frac{\pi }{3}$	$\sqrt{3}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{\pi }{2}$	$[\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }]$	$0$

Arcus-Funktionen

Die Arcus-Funktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Weben der Periodizität der trigonometrischen Funktionen sind diese nur auf Teilen der Definitionsbereiche umkehrbar.

Arcus tangens

Die Funktion ${}_{\arctan x}$ wird etwa benötigt um karthesische Koordinaten der Form ${}_{(x,y)}$ in Polarkoordinaten der Form ${}_{(r,\phi )}$ zu transformieren. Aus

$(x,y)=(r\cos \phi ,r\sin \phi )$

folgt

$(r,\tan \phi )=(\sqrt{x^2+y^2},\frac{y}{z})$

Bei der Bestimmung des Winkels ${}_{\phi \in [0,2\pi )}$ muss man berücksichtigen in welchem Quadrant der Punkt ${}_{(x,y)}$ liegt. Ist ${}_n$ die Nummer des Quadranten und ${}_{\lfloor \rfloor }$ die Gaußklammer, so gilt:

$(r,\phi )=(\sqrt{x^2+y^2},\arctan \frac{y}{x}+\lfloor \frac{n}{2}\rfloor \pi )$

Potenzfunktionen

allgemeiner Logarithmus

Da die allgemeine Exponentialfunktion ${}_{b^x}$ mit ${}_{b\ne 1}$ das Intervall ${}_{]-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }[}$ streng monoton auf das Intervall ${}_{]0,\mathrm{\infty }[}$ abbildet, existiert eine Umkehrfunktion, welche das Intervall ${}_{]0,\mathrm{\infty }[}$ auf ${}_{]-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }[}$ abbildet.

Hyperbelfunktionen

Der Begriff „Hyperbelfunktion“ ist darin begründet, dass die Punkte

$t\in ℝ:(\cosh t,\sinh t)$

alle auf der Hyperbel

$x^2-y^2=1$

liegen. Es handelt sich also um die Parameterdarstellung dieser Hyperbel.

Cosinus hyperbolicus

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  Cosinus hyperbolicus

Sinus hyperbolicus

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  Sinus hyperbolicus

Tangens hyperbolicus

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  Tangens hyperbolicus

Cotangens hyperbolicus

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  Cotangens hyperbolicus