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Umformulierung der Farey-Addition

Die Folge wird als (geordnete) Menge ${𝕍}_g$ interpretiert. Dabei ist g die jeweilige Generation, beginnend bei 0 (Null).

${𝕍}_0=\{\frac{0}{1},\frac{1}{1}\}$

${𝕍}_1=\{\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{1}\}$

${𝕍}_2=\{\frac{0}{1},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{1}\}$

${𝕍}_3=\{\frac{0}{1},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{1}\}$

Die Ordinalzahl eines Elements sei i. Damit ergibt sich folgende allgemeine Indizierung der Elemente q und deren Komponenten n, z:

$q_{(g,i)}=\frac{z_{(g,i)}}{n_{(g,i)}}$

Für die Elemente der Folgegeneration g+1 ergibt sich die vereinfachte Berechnung:

$q_{(g+1,i)}=\frac{z_{(g,i)}}{n_{(g,i)}+z_{(g,i)}}$

Damit ist die Folgegeneration im Intervall $[0...\frac{1}{2}]$ vollständig bestimmt. Für $\frac{1}{2}$ gilt ebenfalls eine Symmetrie. Sei i die Ordinalität dieses Elements, dann gilt für die rechtsseitigen Elemente der neuen Generation g+1 mit dem Abstand a zum Symmetrieelement:

$q_{(g+1,i+a)}=1-\frac{z_{(g+1,i-a)}}{n_{(g+1,i-a)}}=\frac{n_{(g,i-a)}+z_{(g,i-a)}-z_{(g,i-a)}}{n_{(g,i-a)}+z_{(g,i-a)}}=\frac{n_{(g,i-a)}}{n_{(g,i-a)}+z_{(g,i-a)}}$

Jetzt ist das gesamte Intervall [0 ... 1] bestimmt.

Durch die Interpretation als geordnete Menge kann die Angabe der Ordinalzahl entfallen und durch eine Fallunterscheidung ersetzt werden.

$q_{g+1}=\{\begin{array}{cc}\frac{z_g}{n_g+z_g},& q_g<\frac{1}{2}\\ \frac{n_g}{n_g+z_g},& q_g>\frac{1}{2}\end{array}$

Nur ein Element genügt

Die Brüche werden im wesentlichen nur durch die Addition von Zähler und Nenner bestimmt. Alles weitere ergibt sich aus den unterscheidbaren Symmetrieen. Durch dieses Verfahren ist es möglich, alle Elemente der Peirce-Folge aus nur einem Anfangselement herzuleiten. Das Anfangselement sei $\frac{1}{1}$. Alle linksseitigen Elemente nähern sich dem Wert 0 (Null) und alle rechtsseitigen $\mathrm{\infty }$ an.

Sei $q=\frac{n}{z}\in 𝕍\wedge q<1$, dann dann ist es linksseitig von 1. Für die Berechnung des entsprechenden rechtsseitigen Elements gilt:

$\frac{z}{n}+1=\frac{z}{n}+\frac{n}{n}=\frac{n+z}{n}$

Die Fallunterscheidung enthält ebenfalls die Summe von Zähler und Nenner. Im ersten Fall wird aber der Zähler beibehalten. Die Umformung des ersten Falls ergibt mit der Addition von 1 und der Bildung des Kehrwertes

$\frac{z}{n+z}=\frac{1}{\frac{n+z}{z}}=\frac{1}{\frac{n}{z}+\frac{z}{z}}=\frac{1}{\frac{n}{z}+1}=\frac{1}{\frac{1}{\frac{z}{n}}+1}=\frac{1}{\frac{1}{q}+1}$

Damit kann auch der zweite Fall umgeformt werden.

$1-\frac{z}{n+z}=\frac{n}{n+z}=\frac{1}{\frac{n+z}{n}}=\frac{1}{\frac{z}{n}+\frac{n}{n}}=\frac{1}{\frac{z}{n}+1}=\frac{1}{q+1}$

Für das Intervall $[0...\mathrm{\infty }]$ sind insgesamt vier Fälle zu unterscheiden.

$q_{g+1}=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\frac{1}{q_g}+1},& q_g\in [0...\frac{1}{2}]\\ \frac{1}{q_g+1},& q_g\in [\frac{1}{2}...1]\\ q_g+1,& q_g\in [1...2]\\ \frac{1}{q_g}+1,& q_g\in [2...\mathrm{\infty }]\end{array}$

Die gesamte Entwicklung der Peirce-Folge und damit natürlich auch der Farey-Folge kann allein aus dem Startelement $\frac{0}{1}$ über elementare Bruchrechnung erfolgen.

Wird mit $\frac{1}{1}$ als Startelement begonnen, nähern sich die Werte den Intervallgrenzen 0 und $\mathrm{\infty }$ an, ohne sie zu nach endlich vielen Schritten zu erreichen. Werden aber abzählbar unendlich viele Schritte ausgeführt (Cantors Beweis der Abzählbarkeit von $\mathbb{Q}$), werden auch diese erreicht.

Interessant ist, dass die Entwicklung der Peirce-Folge ähnlich beginnt wie Peano die natürlichen Zahlen axiomatisierte. In beiden Entwicklungen wird mit 1+1 (oder 0+1, wenn 0 Element der Menge sein soll) begonnen.