Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/Grundlagen

Axiomatische Methode

In der Mathematik werden grundlegende Sätze, die Axiome, definiert. Axiome sind atomar und können nicht auf grundlegendere Sätze zurückgeführt werden. Das logische Schließen von Axiomen auf eine Aussage wird als axiomatische Methode oder deduktive Methode bezeichnet. Diese Methode ist die Grundlage der gesamten Mathematik.

Die Methode geht vermutlich auf den griechischen Mathematiker Eudoxos von Knidos zurück und findet sich in den „Elementen“ des Euklid von Alexandria, welche etwa um 300 vor Christus verfasst wurden. Seitdem wurde die axiomatische Methode die Grundlage der exakten Wissenschaften. In Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Mathematische Prinzipien der Naturlehre) von 1686 hat Isaac Newton die Mechanik aus nur drei axiomatischen Gesetzen entwickelt.

Baruch de Spinoza verfasste das Werk Ethica, Ordine Geometrico Demonstrata, welches nach geometrischen (dh. deduktiven) Grundlagen geschrieben ist. David Hilbert vertrat zudem die Meinung, dass jede reife Wissenschaft der Axiomatisierung (dh. der Zerlegung ihrer Theorien und Sätze in Axiome) unterliegt.

Axiomatische Definition der natürlichen Zahlen

Der italienische Mathematiker Giuseppe Peano hat für die natürlichen Zahlen ein System von fünf Axiomen vorgeschlagen:

In der modernen Definition der natürlichen Zahlen wird anstatt der Zahl 1 mit der Zahl 0 begonnen. Die entsprechenden Axiome werden analog definiert.

siehe auch: Peano-Axiome

Ausgehend von den Peano`schen Axiomen, welche die natürlichen Zahlen definieren, werden die Operationen für die Addition, die Multiplikation, sowie die Vergleichsoperatoren (Relationen) <, >, ≤, und ≥ eingeführt.

Beispielsweise sei hier die rekursive Definition der Addition dargestellt: Vorlage:Definition

Hier sei noch erwähnt, dass für die Definition der ganzen Zahlen, der rationalen Zahlen, sowie der irrationalen Zahlen keine weiteren Axiome benötigt werden. Stattdessen werden diese Zahlenmengen über entsprechende Definitionen auf der Basis der natürlichen Zahlen definiert.

Zahlenmengen

Eine Zahlenmenge ist eine genau definierte Menge von Zahlen. Die wichtigsten Zahlenmengen sind die natürlichen Zahlen ${}_{\mathbb{N}}$, die ganzen Zahlen ${}_{\mathbb{Z}}$, die rationale Zahlen ${}_{\mathbb{Q}}$, die reellen Zahlen ${}_{ℝ}$ und die komplexen Zahlen ${}_{ℂ}$. Jede dieser genannten Zahlenmengen ist eine Obermenge der jeweils zuvor genannten Zahlenmengen:

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ$

Natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen werden wie zuvor gezeigt durch die Peano-Axiome definiert. Abhängig von der verwendenten Definition kann die Null Bestandteil der Menge der natürlichen Zahlen sein. Dies kann durch den Index oder eine explizite Zuweisung gekennzeichnet werden.

Vorlage:Definition

Ganze Zahlen

Vorlage:Wikipedia Die ganzen Zahlen sind die Menge der natürlichen Zahlen, der Null, sowie der Menge der negierten natürlichen Zahlen. Vorlage:Definition

Rationale Zahlen

Vorlage:Wikipedia Die Menge der rationalen Zahlen ${}_{\mathbb{Q}}$ besteht aus der Menge aller Brüche von Elementen von ${}_{\mathbb{Z}}$, wobei der Nenner nicht Null sein darf. Vorlage:Definition Der Bruch ${}_{\frac{p}{q}}$ kann reduziert werden. Die Definition bleibt eindeutig, wenn ${}_p$ und ${}_q$ immer teilerfremd sind. Zudem bleibt sie auch dann eindeutig wenn ${}_p$ oder ${}_q$ immer positiv ist.

Die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl hat entweder endlich viele Dezimalstellen oder unendlich viele Dezimalstellen, wobei sich ein Block, bestehend aus einer oder mehreren Ziffern, immer wiederholt (z. B. ${}_{\frac{10}{3}=}$${}_{3,333.333\dots =}$${}_{3,\bar{3}}$ oder ${}_{\frac{10}{44}=}$${}_{0,227.272\dots =}$${}_{0,2\overline{27}}$). Wenn sich ein Block von Ziffern immer wieder wiederholt spricht man von einer periodischen Dezimalzahl.

Reelle Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen besteht aus der Menge der rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen. Irrationale Zahlen sind unendliche, nichtperiodische Dezimalbrüche. Bei den irrationalen Zahlen unterscheidet man zwischen algebraisch irrationalen Zahlen und transzendeten Zahlen.

Beispiele für transzendente Zahlen sind die Kreiszahl ${}_{\pi }$ und die Eulersche Zahl ${}_e$.

siehe auch: Reelle Zahlen

Komplexe Zahlen

Die Menge der komplexen Zahlen ${}_{ℂ}$ besteht aus zwei reellen Zahlen, wobei eine davon mit der imaginären Einheit i multipliziert wird.

siehe auch: Komplexe Zahlen

Aussagenlogik und Beweise

Vorlage:Wikipedia Die Aussagenlogik ist ein wesentliches Werkzeug zum Aufbau mathematischer Theorien. Das Grundelement sind die Aussagen. Vorlage:Definition Da nur zwei Wahrheitswerte möglich sind spricht man auch von zweiwertiger Logik.

Durch Verknüpfungen von Aussagen können neue Aussagen gewonnen werden. Im Wesentlichen definiert man für zwei Aussagen ${}_{A,B}$ die Verknüpfungen

• Negation (nicht A)

  $\mathrm{\neg }A$

• Konjunktion (A und B)

  $A\wedge B$

• Disjunktion (A oder B [oder beide])

  $A\vee B$

• Implikation (A impliziert B; aus A folgt B [aber nicht umgekehrt])

  $A\Rightarrow B$

• Äquivalenz (A gilt genau dann wenn B gilt [und umgekehrt])

  $A\iff B$

Diese Verknüpfungen werden über Wahrheitstafeln definiert:

$A$	$B$	$\mathrm{\neg }A$	$A\wedge B$	$A\vee B$	$A\Rightarrow B$	$A\iff B$
$w$	$w$	$f$	$w$	$w$	$w$	$w$
$w$	$f$	$f$	$f$	$w$	$f$	$f$
$f$	$w$	$w$	$f$	$w$	$w$	$f$
$f$	$f$	$w$	$f$	$f$	$w$	$w$

Um eine übermäßige Klammerung zu vermeiden wird, vergleichbar mit der Definition „Punktrechnung vor Strichrechnung“, eine Reihenfolge bei der Auswertung definiert:

De Morgan`sche Regeln

Vorlage:Wikipedia Die De Morgan`schen Regeln sind zwei grundlegende Regeln für logische Aussagen. Sie sind über den folgenden Satz definiert: Vorlage:Satz

Der Beweis erfolgt durch Auflisten aller Möglichkeiten und der Gegenüberstellung der Ergebnisse in einer Wahrheitstabelle.

Beweis:

$A$	$B$	$\mathrm{\neg }A$	$\mathrm{\neg }B$	$A\wedge B$	$\mathrm{\neg }(A\wedge B)$	$\mathrm{\neg }A\vee \mathrm{\neg }B$	$A\vee B$	$\mathrm{\neg }(A\vee B)$	$\mathrm{\neg }A\wedge \mathrm{\neg }B$
$w$	$w$	$f$	$f$	$w$	$f$	$f$	$w$	$f$	$f$
$w$	$f$	$f$	$w$	$f$	$w$	$w$	$w$	$f$	$f$
$f$	$w$	$w$	$f$	$f$	$w$	$w$	$w$	$f$	$f$
$f$	$f$	$w$	$w$	$f$	$w$	$w$	$f$	$w$	$w$

Beweisführung

Beweis:

$A$	$B$	$\mathrm{\neg }A$	$\mathrm{\neg }B$	$A\Rightarrow B$	$\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A$	$(A\Rightarrow B)\iff (\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A)$
$w$	$w$	$f$	$f$	$w$	$w$	$w$
$w$	$f$	$f$	$w$	$f$	$f$	$w$
$f$	$w$	$w$	$f$	$w$	$w$	$w$
$f$	$f$	$w$	$w$	$w$	$w$	$w$

vollständige Induktion

Um eine Aussage ${}_{A(n)}$ für alle ${}_{n\ge n_0}$ mit ${}_{n,n_0\in \mathbb{N}}$ zu beweisen, benötigt man die vollständige Induktion. Diese setzt sich zusammen aus dem Induktionsanfang und dem Induktionsschluss. Beim Induktionsanfang wird hierbei die Aussage ${}_{A(n_0)}$ bewiesen. Beim Induktionsschluss wird bewiesen, dass aus der Wahrheit von ${}_{A(n)}$ die Wahrheit von ${}_{A(n+1)}$ folgt.

Quantoren

Sätze in der Form einer Aussage in denen Variable auftreten, welche für die Objekte der entsprechenden mathematischen Theorie stehen, werden Aussageformen bezeichnet. Um aus Aussageformen konkrete Aussagen zu erhalten, werden Quantoren verwendet. Von besonderer Wichtigkeit sind hierbei der Allquantor ${}_{\mathrm{\forall }}$ (für alle) und er Existenzquantor ${}_{\mathrm{\exists }}$ (es gibt; es existiert).

Wenn mehrere Variable auftreten, wird jede Variable mit einem Quantor versehen. Um die Bedeutung der Aussage zu behalten, muss die Reihenfolge in der diese Variablen definiert werden beachtet werden.

Beispiel:

${}_{\mathrm{\forall }Mensch:\mathrm{\exists }Herz:hat(Mensch,Herz)}$	${}_{\nLeftrightarrow }$	${}_{\mathrm{\exists }Herz:\mathrm{\forall }Mensch:hat(Mensch,Herz)}$
Jeder Mensch hat ein Herz	${}_{\nLeftrightarrow }$	Es gibt ein Herz, welches alle Menschen haben

Bei der Negation einer Aussage müssen Allquantoren durch Existenzquantoren ersetzt werden, während Existenzquantoren durch Allquantoren ersetzt werden. Die Eigenschaft, welche die Aussage begründet, muss negiert werden.

Beispiel:

${}_{\mathrm{\neg }(\mathrm{\forall }Mensch:\mathrm{\exists }Herz:hat(Mensch,Herz))}$	${}_{\iff }$	${}_{(\mathrm{\exists }Mensch:\mathrm{\forall }Herz:\mathrm{\neg }hat(Mensch,Herz))}$
Nicht alle Menschen haben ein Herz.	${}_{\iff }$	Es gibt einen Menschen, der kein Herz hat.

Summen- und Produktezeichen

Die grundlegenden Rechenoperationen für alle Zahlen ${}_{a,b\in ℂ}$, sowie alle Zahlen welche in einer Untermenge von ${}_{ℂ}$ enthalten sind, stellen die Addition ${}_{a+b}$ und die Multiplikation ${}_{ab}$ dar. Für Summen bzw. Produkte mit vielen Elementen wird mit dem Summenzeichen bzw. dem Produktzeichen eine Kurzschreibweise definiert.

Satz:

Für das Summenzeichen gelten die folgenden Rechenregeln:

$\sum _{k=m}^{n+1}{a}_k$	$=$	$\sum _{k=m}^n{a}_k+a_{n+1}$
$\sum _{k=m}^n{a}_k\pm \sum _{k=m}^n{b}_k$	$=$	$\sum _{k=m}^n(a_k\pm b_k)$
$s\sum _{k=m}^n{a}_k$	$=$	$\sum _{k=m}^n(s{a}_k)$

rekursive Definition

Vorlage:Wikipedia Für Definitionen von Funktionen über alle natürlichen Zahlen wird die vollständige Induktion angewandt.

Binomialkoeffizienten

Ausgeschrieben gilt somit der Zusammenhang

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{(n-1+1)(n-2+1)\dots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot \dots \cdot k}=\frac{n(n-1)\dots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot \dots \cdot k}$

Vorlage:Satz

Pascal`sches Dreieck

Beim Pascal'schen Dreieck wird jeder Koeffizient durch die Summe, gemäß dem Additionstheorem für Binominalkoeffizienten, der beiden darüberliegenden Koeffizient gebildet:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{0})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{5})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{6})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{7})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{0})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{5})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{6})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{7})$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{8})$

$⋮$

$⋮$

$⋮$

$⋮$

$⋮$

$⋮$

$⋮$

$⋮$

$⋮$

$⋮$

In Zahlen erhält man:

										$1$
									$1$		$1$
								$1$		$2$		$1$
							$1$		$3$		$3$		$1$
						$1$		$4$		$6$		$4$		$1$
					$1$		$5$		$10$		$10$		$5$		$1$
				$1$		$6$		$15$		$20$		$15$		$6$		$1$
			$1$		$7$		$21$		$35$		$35$		$21$		$7$		$1$
		$1$		$8$		$28$		$56$		$70$		$56$		$28$		$8$		$1$
	$⋮$		$⋮$		$⋮$		$⋮$		$⋮$		$⋮$		$⋮$		$⋮$		$⋮$		$⋮$

Die Binominalkoeffizienten sind die Koeffizienten in der Entwicklung einer Gleichung der Form $(x+y{)}^n$. Dies wird durch den Binomschen Lehrsatz ausgedrückt.

Mengen

Mengenalgebra

Für beliebige Mengen $\{{\}}_A$, $\{{\}}_B$ und $\{{\}}_C$ gelten

1. das Kommutativgesetz
   1. $A\cup B=B\cup A$
   2. $A\cap B=B\cap A$
2. das Assoziativgesetz
   1. $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$
   2. $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
3. das Distributivgesetz
   1. $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
   2. $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
4. die De Morgan`schen Regeln
   1. $(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$
   2. $(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$

Abbildungen

Die exakte Schreibweise für eine Abbildung

$f:A\to B,a\mapsto f(a)$

gibt den Definitionsbereich, den Bildbereich und die Abbildungsfunktion an. Meist wird jedoch abkürzend nur von der Abbildung ${}_f$ gesprochen.