Kurs:Physik für Techniker/Dynamik

Impuls

Vorlage:Wikipedia Der Impuls eines bewegten Massepunktes ist definiert als das Produkt aus dessen Masse und Geschwindigkeit:

$\overrightarrow{p}=m\cdot \overrightarrow{v}\left[p\right]=1\mathrm{N}\mathrm{s}=1\frac{kgm}{s}$

Die Masse ist hierbei eine Eigenschaft der Materie und macht tritt in Form der Trägheit in Erscheinung.

Kraft

Vorlage:Wikipedia Die Kraft ist definiert als die zeitliche Änderung Impulses:

$\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\frac{dm}{dt}\overrightarrow{v}+m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}\approx m\overrightarrow{a}\left[F\right]=1\mathrm{N}=1\frac{kgm}{s^2}$

Der Zusammenhang ${}_{\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}}$ gilt hierbei nur in einem nichtrelativistischen System, dh. wenn ${}_{\left|\overrightarrow{v}\right|\ll c_0}$, wobei ${}_{c_0}$ die Vakuumlichtgeschwindigkeit darstellt.

Newton`sche Axiomatik

erstes Newton`sches Axiom: Trägheitsprinzip

Das Trägheitsprinzip besagt, dass der Impuls in einem Intertialsystem erhalten bleibt. Nur durch eine Krafteinwirkung kann eine Geschwindigkeitsänderung erreicht werden. Dies ist gleichzeitig auch die Definition des Intertialsystems, da nur in einem solchen das Trägheitsprinzip gilt.

zweites Newton`sches Axiom: Aktionsprinzip

Ein Körper mit der Masse m erfährt eine Beschleunigung ${}_{\overrightarrow{a}}$, wenn auf diesen eine Kraft ${}_{\overrightarrow{F}}$ einwirkt:

$\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}$

Das Trägheitsprinzip ist ein Sonderfall des Aktionsprinzips mit ${}_{\overrightarrow{F}=0}$.

drittes Newton`sches Axiom: Reaktionsprinzip

Wenn ein Körper A mit einer Aktionskraft ${}_{{\overrightarrow{F}}_A}$ mit einem anderen Körper B wechselwirkt, so wirkt auf Körper A eine entgegengesetzte Reaktionskraft ${}_{{\overrightarrow{F}}_R}$ von Körper B:

${\overrightarrow{F}}_R=-{\overrightarrow{F}}_A$

In einem abgeschlossenen System treten Kräfte also immer paarweise auf. Die Unterscheidung zwischen Aktions- und Reaktionskraft ist willkürlich.

Inertialsysteme und Galilei-Transformation

Vorlage:Wikipedia Die Angaben von Ort durch den Radiusvektor ${}_{\overrightarrow{r}}$, Geschwindigkeit und Beschleunigung beziehen sich jeweils auf ein bestimmtes Koordinatensystem. Überführt man ein Bezugssystem ${}_{(x,y,z)}$ in ein anderes Bezugssystem ${}_{(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}$, muss man auch die darin enthaltenen Größen überführen.

Für die Transformation des Ortes gibt man

$(t^{\prime },{\overrightarrow{r}}^{\prime }{)}^T=\left(\begin{array}{c}{t}^{\prime }\\ x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t\\ x\\ y\\ z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ a_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}0\\ b_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right)$

Für die Transformation der Geschwindigkeit, welche die zeitliche Ableitung des Ortes darstellt, erhält man daraus:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{v_x}^{\prime }\\ {v_y}^{\prime }\\ {v_z}^{\prime }\end{array}\right)=\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\\ v_z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right)$

In der Galilei-Transformation sind die verwendeten Komponenten in ${}_{\overrightarrow{a}}$ und ${}_{\overrightarrow{b}}$ zeitunabhängig. Wenn es sich im System ${}_{(x,y,z)}$ um ein Intertialsystem handelt und die beiden Systeme sich gleichförmig bewegen, kann das erste Newton'sche Axiom auch auf das System ${}_{(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}$ angewendet werden. Das zweite System ist dann ebenfalls ein Intertialsystem. Die Newton`schen Axiome sind invariant gegenüber einer Galilei-Transformation. Hierbei gilt allerdings das Galilei`sche Prinzip der universellen Zeit, was bedeutet, dass die Zeit in beiden Systemen gleich ist:

$t^{\prime }=t$

Wenn sich das System ${}_{(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}$ gegenüber dem System ${}_{(x,y,z)}$ ungleichförmig bewegt, stimmt dieser Zusammenhang jedoch nicht mehr. Geht man von dem Prinzip der universiellen Zeit ab, gelangt man zur Lorentz-Transformation.

Arbeit

Vorlage:Wikipedia Die Arbeit W ist die umgesetzte Energie einer Kraft F an einem in Kraftrichtung bewegen Körper. Die Arbeit entspricht dem Produkt aus Weglänge und dieser Kraft. Die Weglänge kann hierbei auch als das Produkt aus Geschwindigkeit und der Zeit ausgedrückt werden.

$\begin{array}{ccccc}dW& =& \overrightarrow{F}(s)d\overrightarrow{s}& =& \overrightarrow{F}(t)v(t)dt\\ W& =& \underset{{\overrightarrow{r}}_0}{\overset{\overrightarrow{r}}{\int }}\overrightarrow{F}(s)d\overrightarrow{s}& =& \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\overrightarrow{F}(t)v(t)dt\end{array}$

$\left[W\right]=1\mathrm{J}=1\mathrm{N}\mathrm{m}=1\mathrm{W}\mathrm{s}$

Leistung

Vorlage:Wikipedia Die Leistung ist die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit. Für die Momentanleistung gilt daher:

$P=\frac{dW}{dt}=\overrightarrow{F}\overrightarrow{v}\left[P\right]=1\mathrm{W}=1\frac{J}{s}$

Energie

Vorlage:Wikipedia Die an einem System verrichtete Arbeit (kinetisch), sowie die Fähigkeit an diesem Arbeit zu verrichten (potenziell), wird als Energie bezeichnet. Es gilt das Prinzip der Energieerhaltung, welches bedeutet, dass Enerige weder aus dem Nichts gewonnen werden kann, noch in dieses verloren geht. Eine Umwandlung verschiedener Energieformen ist jedoch möglich.

kinetische Energie

Wird eine Masse m auf die Geschwindigkeit v beschleunigt, so muss die dafür aufgewendete Arbeit W aufgrund der Energieerhaltung in diesem in Form einer Bewegungsenergie gespeichert werden. Diese Bewegungsenergie oder kinetische Energie wird mit ${}_{E_{kin}}$ bezeichnet. Für diese gilt bei Translation:

$E_{kin}=\underset{{\overrightarrow{r}}_0}{\overset{\overrightarrow{r}}{\int }}\overrightarrow{F}d\overrightarrow{s}=\underset{u=v_0}{\overset{v}{\int }}m\frac{du}{dt}\overrightarrow{u}dt=\underset{u=v_0}{\overset{v}{\int }}m\overrightarrow{u}d\overrightarrow{u}=\frac{m{\overrightarrow{v}}^2}{2}$

Für die Rotation setzt man in diese Gleichung als Geschwindigkeit ${}_{\overrightarrow{v}}$ die Tangentialgeschwindigkeit ${}_{v_T}$ mit

${\overrightarrow{v}}_T=\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}$

ein, so lässt sich die kinetische Energie in der Form

$E_{kin}=\frac{m{\overrightarrow{\omega }}^2{\overrightarrow{r}}^2}{2}$

darstellen. Hierbei muss beachtet werden, dass bei einem endlichen Körper jedes Volumenelement dV mit der Masse dm getrennt betrachtet werden und über diese Volumenelemente integriert werden muss. Zur Unterscheidung von der Translation wird die Energie der Rotation als ${}_{E_{rot}}$ bezeichnet.

$E_{rot}=\int d{E}_{rot}=\int \frac{dm{\omega }^2{\xi }^2}{2}=\frac{{\omega }^2}{2}\int {\xi }^{2}dm=\frac{{\omega }^2}{2}I$

Hierbei wird die Größe I als Trägheitsmoment bezeichnet. Dieses ist eine für eine bestimmte Drehachse und einen bestimmten Körper konstante Größe.

potenzielle Energie

Vorlage:Wikipedia Die potenzielle Energie oder Lageenergie ist die Energie, welche in einem Körper gespeichert ist und Arbeit bewirken kann. Für technische Anwendungen ist die potenzielle Energie von Körpern im Gravitationsfeld der Erde, sowie der potenziellen Energie in elastisch verformten Federn von besonderer Bedeutung.

Schwerefeld der Erde

Die potenzielle Energie im Schwerefeld der Erde erhält man aus

$E_{pot}=mgh$,

wobei m die Masse des Körpers, h die Höhe über dem Erdmittelpunkt und g die lokale Schwerebeschleunigung darstellt. Diese Arbeit muss vorher aufgewendet werden um die Masse auf die gegebene Höhe zu bringen.

elastisch verformte Feder

Für die Betrachtung der Feder setzen wir einige Vereinfachungen vorraus:

• Reibungsfreiheit (${}_{{\eta }_r=0}$)
• Nullpunkt ${}_{{\xi }_0=0}$ entspricht dem spannungslosen Zustand der Feder
• Gültigkeit des Hook`schen Gesetzes

Das Hook`sche Gesetz besagt hierbei, dass die Längenausdehnung der Feder direkt proportional zur auf die Feder einwirkende Kraft ist. Dies wird durch die Federkonstante D ausgedrückt:

$F=D\xi$,

wobei ξ die Federausdehnung darstellt.

Unter diesen Bedingungen gilt für die potenzielle Energie in der gespannten Feder die Gleichung

$E_{pot,Feder}=\underset{{\xi }_0}{\overset{\xi }{\int }}D\xi d\xi =\frac{D{\xi }^2}{2}$

Diese Energie muss aufgewendet werden um die Feder auf die gegebene Ausdehnung ξ zu dehen (bzw. stauchen).

Drehimpuls

Vorlage:Wikipedia Ein Massepunkt and der Position ${}_{\overrightarrow{r}}$, der sich mit dem Impuls ${}_{\overrightarrow{p}}$ um den Nullpunkt dreht, besitzt einen Drehimpuls ${}_{\overrightarrow{L}}$ mit

$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}$

Der Drehimpuls wird auch als Drall oder Impulsmoment bezeichnet. Bei einem ausgedehnten starren Körper muss man über alle differenziellen Drehimpulse ${}_{d\overrightarrow{L}}$ der Masseelemente ${}_{dm}$ integrieren:

$\overrightarrow{L}=\int d\overrightarrow{L}=\int \overrightarrow{r}\times d\overrightarrow{p}=\int r\times dm\overrightarrow{v}$

Mit der Winkelgeschwindigkeit ${}_{\overrightarrow{\omega }}$ kann man dies auch als

$\overrightarrow{L}=\int \overrightarrow{r}\times dm(\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r})=(\int {\overrightarrow{r}}^{2}dm)\overrightarrow{\omega }=I\overrightarrow{\omega }$

Für die zeitliche Änderung des Drehimpulses eines Massepunktes ergibt sich

$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}=\frac{d}{dt}(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p})=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}\times \overrightarrow{p}\overrightarrow{r}\times \frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\overrightarrow{v}\times \left(m\overrightarrow{v}\right)+\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$

Mit der Definition des (Dreh)Moments

$\overrightarrow{T}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$

erhält man die für ausgedehnte starre Körper gültige Gleichung, welche die Dynamik des drehenden Körpers unter dem Einfluss von Kräften (Momenten) beschreibt:

$\frac{\overrightarrow{L}}{dt}=I\frac{d\overrightarrow{\omega }}{dt}=I\overrightarrow{\alpha }=\overrightarrow{T}$

Die Änderung des differenziellen Drehimpulses ${}_{d\overrightarrow{L}}$ erfolgt in Richtung des Momentes ${}_{\overrightarrow{T}}$ und nicht in Richtung der Kraft ${}_{\overrightarrow{F}}$.

Analog zur translatorischen Bewegung gelten die Newton`schen Axiome:

1. Der Drehimpus in einem Intertialsystem bleibt ohne Momenteinwirkung erhalten.
2. Wirkt auf einen Körper ein Moment, so erfährt dieser eine Winkelbeschleunigung ${}_{\overrightarrow{\alpha }=\frac{\overrightarrow{T}}{I}}$.
3. Momente treten in einem abgeschlossenen System immer paarweise auf.

Gegenüberstellung von Größen der Translations- und Rotationsbewegung

Translationsbewegung	Rotationsbewegung
Geschwindigkeit ${}_{\overrightarrow{v}}$	Winkelgeschwindigkeit ${}_{\overrightarrow{\omega }}$
Kraft ${}_{\overrightarrow{F}}$	(Dreh)Moment ${}_{\overrightarrow{T}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}}$
Impuls ${}_{\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}}$	Drehimpuls ${}_{\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}=I\overrightarrow{\omega }}$
Kinetische Energie ${}_{E_{kin}=\frac{m{v}^2}{2}}$	Rotationsenergie ${}_{E_{rot}=\frac{I{\omega }^2}{2}}$
Impulserhaltungssatz	Drehimpulserhaltungssatz
$\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$	$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}=\overrightarrow{T}=I\overrightarrow{\alpha }$

Satz von Steiner

Wenn Trägheitsmomente berechnet werden sollen und die Drehachse nicht durch den Schwerpunkt geht, wird der Satz von Steiner angewendet. Das Trägheitsmoment einer, um eine beliebige Drehachse rotierenede, Masse errechnet sich aus der Summe des Trägheitsmoments der um die zu dieser Achse parallelen Schwereachse, sowie dem Produkt aus der Masse und dem Quadrat des Abstandes von Dreh- zur Schwereachse.

Beispiel

Datei:Satz von Steiner 1.svg

Körper, der auf einem Kreis um seinen Schwerpunkt rollt

Die Bewegung eines Körpers, der auf einem Kreis um seinen Schwerpunkt S rollt, kann auf zwei Arten aufgefasst werden:

1. Als Rotation um S mit einer Winkelgeschwindigkeit ω und einer Translation mit ${}_{v=\omega r}$

   $E_{rot}=I_S\frac{{\omega }^2}{2}+\frac{m{\omega }^2{r}^2}{2}$

2. Als Rotation um den Momentanpol P mit der Winkelgeschwindigkeit ω

   $E_{rot}=I_P\frac{{\omega }^2}{2}$

Der Steiner`sche Satz ergibt sich aus der Gleichsetzung.

Beispiel

Datei:Satz von Steiner 2.svg

Körper mit aufgwickelter Schnur (Yo-Yo)

An einer langen Schnur M, welche um eine kreisförmige Rolle mit dem Schwerpunkt S geschlungen ist, hängt sich ein sich abspulender Körper auf den die Gewichtskraft G wirkt.

Aus

$Gr=I_P\alpha$

und

$Mr=I_M\alpha M=Gm\alpha r$

folgt

$I_S\alpha =(G-m\alpha r)r=I_P\alpha -m\alpha r^2$

und daraus der Steiner`sche Satz.

gerader Stoß

Ein gerader Zusemmanstoß zweier Körper setzt sich aus einem elastischen und unelastischen Stoß zusammen, wobei sowohl der elastische als auch der unelastische Stoß einen Grenzfall darstellt. Die beiden Stoßarten sind daher bei der Berechnung eines tatsächlichen Stoßes anteilig in Rechnung zu stellen.

gerader unelastischer Stoß

Stoßen zwei Körper in Form eines geraden unelastischen Stoßes zusammen, bewegen sich diese in Folge mit der selben Geschwindigkeit weiter.

$v^{\prime }={v_1}^{\prime }={v_2}^{\prime }$

Ein Teil der Energie wird dazu von einem Körper auf den anderen übertragen, wodurch der eine Körper beschleunigt und der andere verzögert wird. Ein Teil der Energie geht in Verformungsarbeit (Wärme) über.

$E_{kin,1}+E_{kin,2}=E_{k^{\prime }in,1}+E_{k^{\prime }in,2}+E_{Verformung}$

Befindet sich die Masse ${}_{m_2}$ in Ruhe (${}_{v_2=0}$) so gilt nach dem Impulserhaltungssatz:

$m_1{v}_1=(m_1+m_2)v^{\prime }$

Dadurch erhält man die Geschwindigkeit:

$v^{\prime }=\frac{m_1}{m_1+m_2}{v}_1$

gerader elastischer Stoß

Für einen Zusammenstoß zweier Massen ${}_{m_1}$ und ${}_{m_2}$, welcher rein elastische und verlusstfrei ist, wird der Zeitpunkt unmittelbar vor dem Zusammenstoß und der Zeitpunkt nach dem Zusammenstoß und der elastischen Verformung betrachtet. Für diesen gilt der Energieerhaltungssatz

$\frac{m_1{\overrightarrow{v}}_1^2}{2}+\frac{m_2{\overrightarrow{v}}_2^2}{2}=\frac{m_1{\overrightarrow{v}}_1{\text{'}}^2}{2}+\frac{m_2{\overrightarrow{v}}_2{\text{'}}^2}{2}$

und der Impulserhaltungssatz

$m_1{\overrightarrow{v}}_1^2+m_2{\overrightarrow{v}}_2=m_1{{\overrightarrow{v}}_1}^{\prime }+m_2{{\overrightarrow{v}}_2}^{\prime }$

Aus diesen beiden, voneinander linear unabhängigen Gleichungen, ergeben sich die Geschwindigkeiten für die Körper nach dem Zusammenstoß:

${v_1}^{\prime }=\frac{m_1{v}_1+m_2(2v_2-v_1)}{m_1+m_2}$

und

${v_2}^{\prime }=\frac{m_2{v}_2+m_1(2v_1-v_2)}{m_1+m_2}$

Beispiel

Bei zwei gleich großen Massen ${}_{m_1}$ und ${}_{m_2}$, von denen sich ${}_{m_2}$ in Ruhe befindet (${}_{m_2=0}$), wird der Impuls gänzlich von ${}_{m_1}$ auf ${}_{m_2}$ übertragen. Hierdurch gilt:

${v_2}^{\prime }=v_1{v_1}^{\prime }=v_2$

Beispiel

Wenn ${}_{m_2\gg m_1}$ und ${}_{v_2=0}$, prallt ${}_{m_1}$ auf und erfährt eine Richtungsumkehr.