Kurs:Physik für Techniker/Kinematik

Vorlage:Kurs:Physik für Techniker Vorlage:Wikipedia Dieser Kursabschnitt erläutert einige der Grundbegriffe der Kinematik. Für Details stehen Links zu den entsprechenden Wikipedia-Artikeln bereit.

Ort

Vorlage:Wikipedia Ein Ort wird durch einen Punkt in einem Koordinantensystem angegeben. Der Einfachheit halber wird im Weiteren, falls nicht anders angegeben, das rechtwinkelige kartesische Koordinatensystem verwendet. In diesem Koordinatensystem werden die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander angeordnet. Die Richtungen der Achsen werden mit Einheitsvektoren ${\overrightarrow{e}}_n$ angegeben.

Im rechtsdrehenden dreidimensionalen Raum ${}_{{ℝ}^3}$ werden die Achsen mit x, y und z bezeichnet. Für deren Einheitsvektoren gilt:

${\overrightarrow{e}}_x\times {\overrightarrow{e}}_y={\overrightarrow{e}}_z$ ${\overrightarrow{e}}_y\times {\overrightarrow{e}}_z={\overrightarrow{e}}_x$ ${\overrightarrow{e}}_z\times {\overrightarrow{e}}_x={\overrightarrow{e}}_y$

Der Ort wird durch einen Punkt P und dessen Koordinaten auf x, y und z angegeben. Dies wird in der Form

$P=P(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$

oder als Radiusvektor ${}_{\overrightarrow{r}}$, welcher vom Nullpunkt des Koordinatensystems zum Punkt P zeigt, in der Form

$\overrightarrow{r}=x{\overrightarrow{e}}_x+y{\overrightarrow{e}}_y+z{\overrightarrow{e}}_z=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$

angegeben.

Weg

Vorlage:Wikipedia Sind die Ortskoordinaten von einem Parameter t abhängig, so entsteht aus der Menge aller Punkte, welche sich durch die Menge aller Werte von t ergibt, eine Bahn bzw. ein Weg. Es gilt

$\overrightarrow{r}(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\\ z(t)\end{array}\right)$

In der Physik wird für den Parameter t meist die Zeit eingesetzt.

Das differenzielle Bahnelement ${}_{d\overrightarrow{r}}$ bzw. das Wegstück ${}_{d\overrightarrow{s}}$ mit ${}_{d\overrightarrow{r}=d\overrightarrow{s}}$ stellt geometrisch betrachtet die Differenz aus dem Radiusvektoren zu den Zeitpunkten t+dt und t dar, wobei die Differenz dt gegen Null geht:

$d\overrightarrow{s}=\overrightarrow{r}(t+dt)-\overrightarrow{r}(t)$

oder für die Komponenten von ${}_{d\overrightarrow{s}}$:

$d\overrightarrow{s}=\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x(t+dt)-x(t)\\ y(t+dt)-y(t)\\ z(t+dt)-z(t)\end{array}\right)$

Im Allgemeinen muss der Weg nicht durch eine Gerade beschrieben werden. Deshalb wird der Weg als eine Aneinanderreihung von Wegstücken dargestellt.

Der Betrag ${}_{ds}$ des Wegstücks ${}_{d\overrightarrow{s}}$ ergibt sich aus dem Pythagoräischen Lehrsatz mit

$ds=\left|d\overrightarrow{s}\right|=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2}$

Geschwindigkeit

Vorlage:Wikipedia Legt ein Punkt auf einer geraden Bahn in gleich großen Zeitabschnitten den gleichen Weg zurück, so bewegt sich dieser Punkt gleichförmig. Als Geschwindigkeit v bezeichnet man die in der Zeit t zurückgelegte Wegstrecke s. Im Allgemeinen Fall ist weder die Bahn noch die Geschwindigkeit konstant. Deshalb muss die Geschwindigkeit über einen differenziell kurzen Zeitraum dt als Momentangeschwindigkeit definiert werden:

$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{s}}{dt}$

Umgekehrt erhält man das in der Zeitspanne dt zurückgelegte Wegstück ds:

$d\overrightarrow{s}=\overrightarrow{v}(t)dt$

Um die Bahnkurve ${}_{\overrightarrow{r}(t)}$ zu erhalten muss man die Wegstücke integrieren:

$\overrightarrow{r}(t)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\overrightarrow{v}(\tau )d\tau +\overrightarrow{r}(t_0)$

Soll hingegen der zurückgelegte Weg s berechnet werden, so muss man die Momentangeschwindigkeiten integrieren:

$s=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\overrightarrow{v}(\tau )d\tau =\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\sqrt{v_x(\tau {)}^2+v_y(\tau {)}^2+v_z(\tau {)}^2}d\tau$

Für die gleichförmige Bewegung reduziert sich die Berechnung auf den Ausdruck

$s=v(t-t_0)$

Beschleunigung

Vorlage:Wikipedia Eine geradlinige ungleichförmige Bewegung wird, je nachdem ob die Geschwindigkeit der Bewegung zu- oder abnimmt, als beschleunigte Bewegung oder verzögerte Bewegung bezeichnet. Eine Verzögerung entspricht hierbei einer negativen Beschleunigung. Die Beschleunigung a ist hierbei der Quotient aus Δv und Δt. Auch die Beschleunigung kann sich sowohl im Betrag als auch in der Richtung ändern, weshalb man die Momentangeschleunigung definiert:

$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$

Da die Geschwindigkeit bereits über die Ableitung der zurückgelegten Wegstrecke definiert ist und die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit definiert ist, gilt:

$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{s}}{d{t}^2}$

oder in Kurzschreibweise:

$\overrightarrow{a}=\dot{\overrightarrow{v}}=\ddot{\overrightarrow{s}}$

Soll bei gegebener Beschleunigung die Geschwindigkeit berechnet werden, wird die Beschleunigung integriert:

$\overrightarrow{v}=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\overrightarrow{a}(\tau )d\tau +\overrightarrow{v}(t_0)$

Analog dazu erhält man die Wegstrecke durch doppelte Integration:

$\overrightarrow{s}=\underset{t_0}{\overset{t}{\iint }}\overrightarrow{a}(\tau )d\tau +\overrightarrow{s}(t_0)$

Die Änderung der Geschwindigkeit ${}_{d\overrightarrow{v}}$ zu einem Zeitpunkt t wird definiert durch:

$d\overrightarrow{v}=a(t)dt$

Für die Änderung des Betrags ${}_{dv}$ der Geschwindigkeit gilt daher

$dv=adt=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}dt$

Kreisbewegung

Vorlage:Wikipedia Ein Punkt, der sich kreisförmig im ${}_{{ℝ}^2}$ mit dem Radius r um den Nullpunkt bewegt, wird durch die Gleichung

$\overrightarrow{s}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\cos \phi \\ r\sin \phi \end{array}\right)$

gegeben. Für die Geschwindigkeit erhält man

$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{s}}{dt}=\left(\begin{array}{c}-r\sin \phi \frac{d\phi }{dt}\\ r\cos \phi \frac{d\phi }{dt}\end{array}\right)$

wobei für den Betrag der Geschwindigkeit

$v=r\frac{d\phi }{dt}$

gilt.

Für eine Kreisbewegung mit konstanter Umlaufgeschwindigkeit gilt

$\frac{d^2\phi }{dt}=0$

Winkelbeschleunigung

Vorlage:Wikipedia Für die kreisförmige Beschleunigung erhält man

$\overrightarrow{a}=\frac{dv}{dt}=-r\left(\begin{array}{c}\cos \phi {\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2+\sin \phi \frac{d^2\phi }{d{t}^2}\\ \sin \phi {\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2-\cos \phi \frac{d^2\phi }{d{t}^2}\end{array}\right)=-r\left(\begin{array}{c}\cos \phi {\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2\\ \sin \phi {\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2\end{array}\right)$

Den Betrag der kreisförmigen Beschleunigung erhält man aus

$a=r{\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2$

Winkelgeschwindigkeit

Vorlage:Wikipedia Der Winkel ${}_{\phi }$ ist über die Winkelgeschwindigkeit ${}_{\omega }$ Zeitabhängig:

$\phi =\omega t+\phi (t_0)$

Die Winkelgeschwindigkeit wiederum entspricht der Ableitung des Winkels ${}_{,}$ über die Zeit t

$\omega =\frac{d\phi }{dt}$

Kreisfrequenz

Vorlage:Wikipedia Ein vollständiger Umlauf entspricht einem Winkel von 2π. Die Winkelgeschwindigkeit stellt deshalb ein 2π-faches der Kreisfrequenz f dar und ist somit definiert über den Zusammenhang:

$\omega =2\pi f$

Zentripetalbeschleunigung

Die Richtungen eines Bahnelements ${}_{d\overrightarrow{s}=d\overrightarrow{r}}$, sowie deren Geschwindigkeit $\overrightarrow{v}$ stehen senkrecht auf den Radiusvektor ${}_{\overrightarrow{r}}$ und parallel zur Tangente an der Kreisbahn. Zur Aufrechterhaltung der Kreisbewegung muss eine Beschleunigung ${}_{\overrightarrow{a}}$ vorhanden sein, welche antiparallel zum Radiusvektor ${}_{\overrightarrow{r}}$, in Richtung des Mittelpunkts, verläuft. Diese Beschleunigung wird als Zentripetalbeschleunigung, also die Beschleunigung in Richtung des Mittelpunkts, ${}_{{\overrightarrow{a}}_Z}$ bezeichnet. Für diese gilt:

${\overrightarrow{a}}_Z=-{\omega }^2\overrightarrow{r}=-{\left(\frac{|\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{r}|}\right)}^2\overrightarrow{r}$

Winkelbeschleunigung und Tangentialbeschleunigung

Vorlage:Wikipedia Vorlage:Wikipedia Im Allgemeinen ist die Winkelgeschwindigkeit ${}_{\omega }$ zeitabhängig. Diese Änderung wird als Winkelbeschleunigung oder Kreisbeschleunigung ${}_{\alpha }$ bezeichnet:

$\alpha =\frac{d\omega }{dt}=\frac{d^2\phi }{d{t}^2}$

Im ${}_{{ℝ}^3}$ ist ${}_{\omega }$ keine skalare Größe, sondern ein Vektor. Dies kann man sich als Rechtsschraube vorstellen, bei der eine Rotation mit einer Translation verknüpft ist. Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit ${}_{\overrightarrow{\omega }}$ zeigt in die Richtung der Translation der Rechtsschraube, wenn die Drehrichtung und die Bewegung der Kreisbahn übereinstimmen. Die Geschwindigkeit der Bewegung eines Bahnelements wird daher durch das Kreuzprodukt

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}$

ausgedrückt. Die Kreisbeschleunigung ergibt sich in diesem Fall als

$\overrightarrow{\alpha }=\frac{d\overrightarrow{\omega }}{dt}$,

während die Beschleunigung in Richtung der Tangente, die Tangentialbeschleunigung ${}_{{\overrightarrow{\alpha }}_T}$ durch

${\overrightarrow{\alpha }}_T=\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{r}$

gegeben wird. Auch hier ergibt sich die Zentripetalbeschleunigung aus der obigen Formel.

Die Winkelbeschleunigung entspricht der Summe aus Tangential- und Zentripetalbeschleunigung:

$\overrightarrow{\alpha }={\overrightarrow{\alpha }}_T+{\overrightarrow{\alpha }}_Z$