Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§7 Das Poincarésche Lemma

Eine stetige $m$ -Form, $1 \leq m \leq n$ , in einer offenen Menge $Ω \subset ℝ^{n}, n \in ℕ$

ω = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{m} \leq n} a_{i_{1} \dots i_{m}} (x) d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{m}}, x \in Ω

heißt exakt, wenn es eine $(m - 1)$ -Form

λ = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{m - 1} \leq n} b_{i_{1} \dots i_{m - 1}} (x) d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{m - 1}}, x \in Ω

der Klasse $C^{1} (Ω)$ gibt mit der Eigenschaft

$d λ = ω$ in $Ω$ .

Sei $Ω \subset ℝ^{n}$ ein Gebiet mit dem zugehörigen Zylinder

\hat{Ω} : = Ω \times [0, 1] \subset ℝ^{n + 1} .

Weiter gebe es ein $x_{0} \in Ω$ und eine Abbildung

F = F (x, t) = (f_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}, t), \dots, f_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}, t)) : \hat{Ω} \to Ω

der Klasse $C^{2} (\hat{Ω}, ℝ^{n})$ , so dass folgendes gilt:

$F (x, 0) = x_{0}, F (x, 1) = x$ für alle $x \in Ω$ .

Dann nennen wir das Gebiet $Ω$ (auf den Punkt $x_{0}$ ) zusammenziehbar.

Seien $Ω \subset ℝ^{n}$ ein zusammenziehbares Gebiet und $1 \leq m \leq n$ . Dann ist jede geschlossene $m$ -Form $ω$ in $Ω$ exakt.

1. Da $Ω$ zusammenziehbar ist, gibt es eine Abbildung

F = F (x, t) : \hat{Ω} \to Ω \in C^{2} (\hat{Ω})

mit

F (x, 0) = x_{0}, F (x, 1) = x

für alle

x \in Ω

.

Wir betrachten auf $\hat{Ω} = Ω \times [0, 1]$ die transformierte Differentialform

\hat{ω} (x, t) : = ω \circ F (x, t) = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{m} \leq n} a_{i_{1} \dots i_{m}} (F (x, t)) d f_{i_{1}} \land \dots \land d f_{i_{m}}

= \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{m} \leq n} a_{i_{1} \dots i_{m}} (F (x, t)) d_{x} f_{i_{1}} \land \dots \land d_{x} f_{i_{m}} + d t \land ω_{2} (x, t) = ω_{1} + d t \land ω_{2} .

Dabei haben wir

d f_{i_{k}} = d_{x} f_{i_{k}} + {\dot{f}}_{i_{k}} d t

für

k = 1, \dots, m

benutzt. Die Differentialformen $ω_{1} (x, t)$ und $ω_{2} (x, t)$ sind unabhängig von $d t$ und haben den Grad $m$ bzw. $(m - 1)$ . Weiter gelten

ω_{1} (x, 0) = 0

und

ω_{1} (x, 1) = ω (x)

.

2. Wir berechnen

0 = (d ω) \circ F = d (ω \circ F) = d \hat{ω} = d ω_{1} + d (d t \land ω_{2})

= d_{x} ω_{1} + d t \land {\dot{ω}}_{1} - d t \land d ω_{2} = d_{x} ω_{1} + d t \land {\dot{ω}}_{1} - d t \land (d_{x} ω_{2} + d t \land {\dot{ω}}_{2})

= d_{x} ω_{1} + d t \land ({\dot{ω}}_{1} - d_{x} ω_{2}) .

Somit folgt

{\dot{ω}}_{1} = d_{x} ω_{2} .

3. Wir erklären nun die $(m - 1)$ -Form

λ : = \int_{0}^{1} ω_{2} (x, t) d t .

Wir berechnen

d λ = \int_{0}^{1} (d_{x} ω_{2} (x, t)) d t = \int_{0}^{1} {\dot{ω}}_{1} (x, t) d t = ω_{1} (x, 1) - ω_{1} (x, 0) = ω (x),

womit alles gezeigt ist.

q.e.d.

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