Entwicklung der Rehpopulation innerhalb eines Waldes

Gruppenteilnehmer

Alexander Fuhrmann
Simon Lahr
Nicolas Kitzinger

Anmerkungen

Anmerkungen AH:

Zitieren Sie Literatur direkt mit Bezügen im Text, siehe Turorium: Wie werden Quellen zitiert?

weitere (mehrere) Anmerkungen zum unbeschränktem Modell im Absatz Einfaches Wachstumsmodell (exponentiell)
weitere Anmerkungen im Modellierungszyklus 2 (Level: Sekundarstufe 2) -logistisches Modell. Beschreiben Sie hier auch, wie sie zu den Ergebnissen gekommen sind (Lösungsverfahren für Differentialgleichungen?, welche Software)

Anmerkungen zum Zyklus III bezüglich der Bescgreibung der Parameterherleitung und des Validierung des Lottka-Volterra Modells.

Zielsetzung des Modellierungsthemas

1. Wie kann die Rehjagd geregelt werden, um Aussterben zu vermeiden?

2. Wie maximiert man den Gewinn bei begrenzten Ressourcen um möglichst viele Menschen zu ernähren?

3. Wie beeinflusst das Reh das Gleichgewicht im Ökosystem in Hinsicht auf Stabilität?

Zuordnung zu den Nachhaltigkeitszielen [1]

Life on Land:

Artenvielfalt der Rehe schützen

Zero Hunger

Durch gezielte Jagd eine Ernährungsgrundlage sichern

Responsible Consumption and Production

Eine Balance zwischen Jagd und der Repopilation der Rehe herstellen

Climate Action

Eine Erhaltung der Artenvielfalt fördert eine Stabilisierung des Ökosystems welches zur Verhinderung der Klimaerwärmung beiträgt

Datenerhebung

Modellierungszyklus 1(Level: Sekundarstufe 1)

Entwicklung der Population des Rehs (Capreolus capreolus) ohne Jagd.

Hierbei soll vermittelt werden das eine Funktion nicht immer linear oder quadratisch ist. Gestartet wird mit einer Wertetabelle in denen die Schüler vermuten wie sich die Population entwickelt innerhalb X Jahre. Vorgegeben sind hierbei die Anzahl der durchschnittlichen Nachkommen pro Jahr sowie das Durchschnittliche Alter eines Rehs. Erkannt werden soll hier, dass es eine sehr schnelle Vermehrung ist und diese Bedingungen aufgrung Platz und Nahrungsmangel sowie fehlender Fressfeinde sehr unrealistisch sind.

Mathematische Modelle zur Beschreibung der Rehpopulation

Die Dynamik von Rehpopulation lässt sich mit verschiedenen mathematischen Modellen beschreiben. Hier erste Entwürfe:

1. Einfaches Wachstumsmodell (exponentiell)

Anmerkungen AH unberänktes Modell:

Welchen Bezug hat die untenstehende Formel (gewöhnliche DGL) zu Ihrer diskreten Modellierung in der Tabelle? (es gibt tatsächlich einen Zusammenhang,..., wie bestimmt man die jährliche Reproduktioinsrate r anhand den Angaben die Sie machen (jedes Reh 2 Nachkommen pro Jahr?...)

Eine Exponentialkurve ist richtig und kommt aus beiden Modellen (diskreten: Tabelle für Schüler und auch aus der Differentiagleichung) heraus, warum? (siehe weiter unten)

Das Wachstum einer Rehpopulation ohne Begrenzungen wird durch die folgende Differentialgleichung beschrieben:

$d P / d t = r P$

Hierbei gilt:

(P): Population des Rehs
(r): Wachstumsrate
(t): Zeit

-Reh 2 Kinder pro Wurf im Durschschnitt

-Jedes Jahr ab dem 2ten Lebensjahr

-Lebenserwartung 12 Jahre

Tabelle für Schüler zum Auswerten(Beispiel/Reh):


Alter\Jahr	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
0	2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252	368	540	788	1150	1682	2458	3590	5246
1		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252	368	540	788	1150	1682	2458	3590
2	2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252	368	540	788	1150	1682	2458
3		2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252	368	540	788	1150	1682
4			2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252	368	540	788	1150
5				2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252	368	540	788
6					2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252	368	540
7						2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252	368
8							2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252
9								2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174
10									2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118
11										2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80
12											2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56
Gesamt	2	4	6	8	12	18	26	38	56	82	120	174	254	372	544	794	1160	1696	2478	3620	5290	7730	11294	16502

Falls dieser Graph eine Exponentialfunktion wäre, könnte man diese nun mit 2 beliebigen Punkten bestimmen:

Anmerkung AH: schreiben Sie diese Berechnung in mathematischem mode, $a . e^{k x} = f (x)$ usw.

a*e^k*x=f(x) bei 10 und 11 Jahren

(I) a*e^k*10 = 82 => a=82/e^k*10

(II)a*e^k*11 = 120 => a=120/e^k*11 => 82/e^k*10= 120/e^k*11 =>

e^11k-10k = 120/82 =

e^1k = 60/41 => k=ln(60/41)=0,38

=> a = 82/e^3.8 = 1.83

=> f(x) = 1,83*e^(0,38*x)

Wenn ich nun allerdings die Funktion mit den Punkten 5 und 6 bestimme, erhalte ich: f(x) = 1,62*e^(0,4*x).

Wie zu erkennen, liegt hier keine normale Exponentailfunktion vor.

Anmerkung AH: das stimmt nicht ganz, eine Exponentialfunktion kommt auch bei der diskreten Modellierung, wie in Ihrer Tabelle durchgeführt, vor, und zwar beschreibt diese dann die Datenpunkte approximativ. Das heisst im Grenzfall, wenn die Zeitschritte gegen Null konvergieren (oder die Anzahl der Berechnungsschritte gegen unendlich). Das sieht man ja auch, dass die Zahlen aus Ihrer Tabelle exponentiell wachsen und die Wachstumsrate um die 0.4 in beiden Fällen, die sie oben vorrechnen, liegt. Die Anfangspopulation mit 1,62 oder 1,83 ist auch schon fast die 2 (Rehe), Man kann hier eine optimale Exponentialkurve durch Regression finden, die die meisten Daten gut approximiert, die Parameter dieser optimaler Exponentialfunktion wären dann die Anfangspopulation(a) und die Wachstumsrate (k) der DGL

Außerdem ist das Modell sehr unrealistisch da weder Fressfeinde, noch Umweltkapazitäten beachtet werden. Um das Modell zu verbessern werden wir im 2ten Modellierungszyklus die Umweltkapazität einbeziehen sowie danach die Fangrate.

Modellierungszyklus 2 (Level: Sekundarstufe 2)

1. Logistisches Wachstumsmodell

Anmerkung AH: logistisches Wachstumsmodell verhält sich am Anfang ähnlich wie ein exponentielles Modell. Warum nutzen Sie hier eine andere Reproduktionsrate als Sie im Zyklus I (ca 0.4) ermittelt haben? Zitieren Sie unbedingt die Quelle zu der hier genutzten Reproduktionsrate.

Unter Berücksichtigung der Umweltkapazität (K), also der maximal tragbaren Population, ergibt sich:

$d P / d t = r P (1 - P / K)$

Zuerst müssen wir noch die Reproduktionsrate berechnen. Die Geburtenrate beträgt 1,22 pro Jahr pro Paar. Außerdem habe wir eine Sterberate von 0,03 (natürliche Sterbeursache) ("Overall, it is estimated that about 3% of the adult Red deer population currently die each year from “natural causes”")(Red Deer Mortality | Wildlife Online, o. D.).

=> Daraus folgt eine Reproduktionsrate von 1,22/2 - 0,03 = 0,58 pro Jahr pro Reh.

Unter Berücksichtigung der Umweltkapazität (K), also der maximal tragbaren Population, ergibt sich:

$d P / d t = r P (1 - P / K)$

Zusätzliche Parameter:

(K): Umweltkapazität

Tragfähigkeit (Carrying Capacity, KKK) berechnen:

Anmerkung AH: zitieren Sie die Datenquellen direkt nach der Angabe der hier genutzten Werte, um es wissenschaftlich zu fundieren

Die Tragfähigkeit kann durch die Verfügbarkeit von Ressourcen und deren Nutzung durch Rehe abgeschätzt werden. Ein vereinfachtes Modell könnte so aussehen:

Produzierte Biomasse pro Hektar welche vom Reh verwertet wird pro Jahr (= 4000 kg)
Vom Reh benötigte Nahrung pro Jahr (= 1095 kg)

Daraus folgt dann eine Umweltkapazität von 4000/1095 = 3,653 Rehe pro Hektar

Wir nehmen hier ein Gebiet von 100 Hektar. Daraus folgt dann:

$d P / d t = 0, 58 * P (1 - P / 365)$

Logistsiches Wachstum bei einer Rehpopulation

2. Erweiterung mit Jagdrate

Wenn man die Jagdrate (J) berücksichtigt, ändert sich das Modell wie folgt:

$d P / d t = r P (1 - P / K) - J$

Die Jagdrate (J) kann weiter spezifiziert werden als:

$J = q * E * P$

Hierbei gilt:

(q): Jagdkoeffizient (Effizienz der Jagdmethoden)
(E): Jagdaufwand (z. B. Anzahl der Jäger, Jagdzeit)

Da der Jagdkoeffizient sehr stark abweicht je nachdem wo man sich befindet und wie gejagt wird, können wir anhand einer Statistik (Deer Friendly - Population, o. D.), welche uns die Population und die Anzahl der gejagten Rehe zeigt, q * E berechnen:

q * E = J / P

Anmerkungh AH: zitieren Sie die Datenquellen direkt nach der Angabe der hier genutzten Werte, um es wissenschaftlich zu fundieren.

In der USA wurden 2021 ca 6,3 Millionen Rehe gejagt und es gab eine Population von 35,4 Millionen Rehen. Daraus lässt sich q * E = ca. 0,18.

2012 wurden ca 6,6 Millionen Rehe gejagt und es gab eine Population von 32,1 Millionen Rehen. Hier gilt q * E = ca. 0,2. Also keine große Schwankung zu 2021.

Für unser Modell werden wir hier die Zahlen von 2021 verwenden um aktuell zu bleiben.

Daraus ergibt sich $d P / d t = 0, 58 * P (1 - P / 365) - 0, 18 * P$

Als Graph ergibt sich hier folgender:

Anmerkung AH: Interessantes Ergebniss, schön wäre hier einen direkten Vergleich mit dem rein-logistischem Modell ohne Jagdrate in einer Grafik mit 2 Kurven zu präsentieren.

Haben Sie ihre Ergebnisse mit realitätszahlen validiert?

Modellierungszyklus 3 (Level: Uni-Niveau)

Hier wird die Rehpopulation unter Brücksichtigung eines Fressfeindes erstellt.

Hierfür wird mithilfe der Lotka-Volterra-Gleichungen die Beziehung zwischen Räuber und Beute ermittelt. Mit den Lotka-Volterra-Gleichungen werden 2 Differentialgleichungen gekoppelt.

Das Differentialgleichungssystem lautet wie folgt:

(1) $B^{'} (t) = a \cdot B (t) - b \cdot B (t) \cdot F (t)$

(2) $F^{'} (t) = - c \cdot F (t) + d \cdot B (t) \cdot F (t)$

B(t) beschreibt hierbei die Population der Beute und ist abhängig von t (Zeit). F(t) beschreibt dementsprechend die Population der Jäger und ist genauso abhängig von der Zeit.

a = Reproduktionsrate der Beute mit unbegreztem Nahrungsangebot

b = Sterberate der Beute durch Räuber relativ zur anfänglichen Beutepopulation (konstant)

c = Sterberate der Räuber wenn keine Beute da ist (konstant)

d = Reproduktionsrate der Jäger pro Beutetier (konstant)

Im Weiteren wird ein idealisiertes System betrachtet, in dem nur Reh- und Wolfspopulationen vorkommen und voneinander abhängen. Das Modell vernachlässigt außerdem spezielle Paarungszeiten und mögliche räumliche Gegebenheiten. Die Startpopulation der Rehe B(0) betrage dabei 1000 Individuen und die der Wölfe R(0) betrage 50.

Zu b: Ein Wolf benötigt pro Tag 2,2 kg Nahrung um weiterhin in der Lage zur Reproduktion zu sein. Ein Reh liefert einem Wolf ca 53 kg an verdaubarer Biomasse. Auf ein Jahr hochgerechnet benötigt ein Wolf also 15,2083 Rehe um sich zu ernähren.

Zu c: Da im System keine anderen Beutetiere berücksichtigt werden, liegt die Sterberate der Räuber ohne Beute bei 100%

$d P / d t = 1 * P (1 - P / 121)$

Wenn die Kapazitätsgrenze erreicht ist wird die Veränderung minimal

=> Geburtenrate = Sterberate. Diese ist 0,117 (Notably, average annual wolf mortality increased from 21.7% before wolf hunting seasons (10.0% by human causes and 11.7% natural causes))(Oliynyk, 2023). Also ist die Reproduktionsrate der Räuber bei 100 Beutetieren 0,117

=> Reproduktionsrate der Räuber pro Beutetier = 0,00117 = d.

Anmerkung AH: Die Herleitung von d ist nicht nachvollziehbar beschrieben/erklärt und braucht präzise Beschreibung des Vorgehens. Wie kommt man aus der Zahl 100 Rehe (Pro Jahr an einen Wolf? In welchen Gebiet?) auf Kapazitätsgrenze von 121? Was genau besachreibt hier das logistische Modell?

Für die Parameter a, b, c und d resultiert bei einer Startmenge von 1000 Rehen und 50 Wölfen:

a = 0,58 (siehe Zyklus 2)

b = 0,0152083

Anmerkung AH: wie kommt man auf diesen b-Wert aus oben beschriebenen Angaben?

c = 1

d = 0,001117

Zur Integration des Differentialgleichungssystem wurde das Runge-Kutta-Verfahren über einen Beobachtungszeitraum von 50 Jahren verwendet und mit Maxima modelliert.

Anmerkung AH: Hier fehlen Angaben zu den Anfangsbedingungen.

Rehepopulation abhängig von Wolfspopulation

Die Schwerpunkte um die die Populationen schwanken resultieren aus den Verhältnissen a/b für die Wolfspopulation und c/d für die Rehpopulation.

a/b = 0,58/0,0152083 = 38,13706989

c/d = 1/0,001117 = 854,7008547

Um die Abhängigkeit der Populationsänderungen von der jeweils anderen Population zu veranschaulichen können diese Werte in ein Phasenraumporträt der beiden Populationen übertragen werden.

Anhand solcher Porträts kann die Stabilität zweier voneinander abhängigen Populationen dargestellt werden. Für die praktische Anwendung im Bereich des Naturschutzes könnte so beispielsweise kritische Startpopulationen ermittelt werden, bei deren Tiefpunkte die jeweilige Population unter einen, die Art gefährdenden, Schwellenwert fallen würde, sodass frühzeitig Maßnahmen ergriffen werden könnten. Die Schwellenwerte sind dabei mit einer durch Risikobewertungen erhaltenen Wahrscheinlichkeit verbunden, dass die Population bei gegebener Größe bestehen wird.

Anmerkung AH: Wie ist den die realistische Datenlage? Abgleich/Validierung des Modells notwendig, ggf Parameteranpassung.