Datenanalyse/von Daten zur Dichtefunktion

Einleitung

Diese Seite zum Thema Datenanalyse/von Daten zur Dichtefunktion kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

• (1) Mit Glockenkurven für einzelne Daten
• (2) Aggregation von Glockenkurven zu Dichtefunktionen
• (3) Dichtefunktionen und Integrale

Zielsetzung

Diese Lernressource zur Repräsentation von diskreten Daten zu einer Dichtefunktion einer stetigen Verteilung hat das Ziel, diesen Prozess sowohl im Allgemeinen in topologischen Vektorräumen zu behandeln also in einem konkreten Beispiel mit Daten in $ℝ$ zu veranschaulichen.

Glockenkurven

Bei dem folgenden Vorgehen wird für jedes Datum in $ℝ$ eine Dichtefunktion verwendet, die die Eigenschaften eine Glockenkurve hat (z.B. die Normalverteilung). In dem folgenden Beispiel wird die Cauchy-Verteilung als Glockenkurve verwendet, da in diesem Fall die Stammfunktion explizit angegeben werden kann.

Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung

Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung für verschiedene Werte der beiden Parameter. Dabei gilt: $\gamma$ im Bild entspricht s in der nebenstehenden Gleichung und $x_0$ entspricht t.

Die Cauchy-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)=\frac{1}{\pi \cdot s}\cdot \frac{1}{1+{\left(\frac{x-t}{s}\right)}^2}\text{für}-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung ist

$F(x)=P(X\le x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\cdot \arctan \left(\frac{x-t}{s}\right)$.

und damit stetig auf $ℝ$.

Aufgaben für Lernende / Studierende

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Datenanalyse - von Daten zur Dichtefunktion werden

Siehe auch

• Cauchy-Verteilung
• Dichtefunktion
• Kurs:Stochastik
• Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen
• Wiki2Reveal

Seiteninformation

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