Mehrdimensionale lineare Regression/Zerlegung

Einleitung

Die Lernresource zum Thema Mehrdimensionale_lineare_Regression und Zerlegung in Komponentenfunktionen kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Dabei wird lineare Funktion $f$ mit einem mehrdimensionalen Definitionsbereich ${ℝ}^n$ und mehrdimensionalen Wertebereich ${ℝ}^m$:

• (1) in Komponentenfunktionen $f_k:{ℝ}^n\to ℝ$ mit $k\in \{1,\dots ,m\}$ zerlegt,
• (2) die algebraische Darstellung der Komponentenfunktionen $f_k$ betrachtet und
• (3) die Implementation in GNU R gezeigt.

Zielsetzung

Diese Lernressource zu Mehrdimensionale_lineare_Regression/Zerlegung in der Wikiversity hat das Ziel, ...

Lernvoraussetzungen

Die Lernressource zum Thema Mehrdimensionale_lineare_Regression/Zerlegung hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.

• Lineare Abbildung
• Lineare Regression mit eindimensionalen Definitionsbereich in R

Zerlegung in Komponentenfunktionen

Mit der im vorherigen Abschnitt genannt Transformation eines affine Problems in ein lineare betrachten wir im Folgenden nur lineare Zusammenhänge $f(x):=A\cdot x\in {ℝ}^m$ mit den entsprechende Daten. Die lineare Abbildung $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ zerlegt man nun zur weiteren Vereinfachung noch in die Komponentenfunktionen $f_k:{ℝ}^n\to ℝ$ mit $k\in \{1,\dots m\}$.

Matrix aus Zeilenvektoren

Zunächst stellt man die Matrix $A$ mit den Zeilenvektoren $a_k\in Mat(1\times n,ℝ)$ dar.

$A=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right)\in Mat(m\times n,ℝ)$

Matrixmultiplikation und Skalarprodukte

Die Matrixmultiplikation lässt sich nun durch einen Vektor aus Skalarprodukten ersetzen.

$A\cdot x=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right)\cdot x=\left(\begin{array}{c}⟨a_1,x⟩\\ ⋮\\ ⟨a_m,x⟩\end{array}\right)\in Mat(m\times n,ℝ)$

Damit lassen sich die Komponentenfunktionen $f_k:{ℝ}^n\to ℝ$ durch $f_k(x)=⟨a_k,x⟩$ darstellen.

Komponentenfunktionen

Mit der obigen Zerlegung betrachtet man zunächst eine lineare Abbildung mit einem eindimensionalen Wertebereich $y\in ℝ$. Die Abbildung $f_a:{ℝ}^n\to ℝ$ ist damit durch das Standardskalprodukt mit einem Vektor $a:=(a_1,\dots ,a_n)$ definiert der Werte aus $ℝ$.

$⟨a,x⟩=\sum _{k=1}^n{a}_k\cdot x_k$

Berechnung von Komponentenfunktionen in R

Gegeben sind nun zwei Vektoren $a:=(a_1,\dots ,a_n)$ und $x:=(x_1,\dots ,x_n)$. Das euklische Skalarprodukt wird als Summe der komponentenweisen Produkte in GNU R implementiert und liefert Werte in $ℝ$.

   a <- c(1,-1,-2)
   x <- c(4,2,1)
   a*x  ## komponentenweises Produkt der Vektoren
   sum(a*x) ## Summe der Vektorkomponenten

Die beiden im Beispiel angegebenen Vektoren $a$ und $x$ stehen senkrecht aufeinander - $⟨a,x⟩=0$.

Implementation der Komponentenfunktion in R

Nun definiert man die Komponentenfunktion $f_a:{ℝ}^3\to ℝ$ und mit der definierten Funktion wird $f_a(4,2,1)=15$ berechnet.

   f_a <- function (px) {
    ## px : Vektor - unabhängige Variable
    a <- c(1,3,5)
    return <-  sum(a * px)
    ## Rückgabewert: return Berechneter y-Wert für Parameter px 
    return
  }
  
  ## Aufruf der Funktion für den Vektor x
  x <- c(4,2,1)
  f_a(x) ## Ergebnis 15

Siehe auch

• GNU R - Wikibook
• Wiki2Reveal

Seiteninformation

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Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Mehrdimensionale_lineare_Regression' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Mehrdimensionale_lineare_Regression/Zerlegung
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.