Mehrdimensionale lineare Regression/Transformation - affin nach linear

Transformation - affin nach linear

Durch eine Transformation eines affine Problems $A\cdot x+b=y$ in ein lineares $A^{\ast }{x}^{\ast }=y$ reduziert man die Lösungsverfahren auf einfachere lineare Zusammenhänge (siehe auch Numerik).

Transformation affines Problem in linear

Ist folgende affine Abbildung $f(x)=A\cdot x+b\in {ℝ}^m$ gegeben, dann transformiert man die affine Abbildung in eine lineare Funktion mit einer Matrix $A^{\ast }\in Mat(m\times n+1,ℝ)$. Diese lineare Abbildung hat dann folgende Gestalt.

$f^{\ast }(x)=A^{\ast }\cdot x^{\ast }\in {ℝ}^m,$

mit $x^{\ast }:=(x_1,\dots ,x_n,1)\in {ℝ}^{n+1}$ und $A^{\ast }:=(A,b)\in Mat(m\times n+1,ℝ)$.

Bemerkung - erweiterte Matrix

In der erweiterten Matrix $A^{\ast }:=(A,b)\in Mat(m\times n+1,ℝ)$ wird zu $A\in Mat(m\times n,ℝ)$ rechts der Spaltenvektor $b\in {ℝ}^m$ ergänzt und $A^{\ast }:=(A,b)$ erhält alle gesuchten Parameter in einer linearen Darstellung des Problems.

Darstellende Matrix des linearen Problems

Im Folgenden werden daher lineare Abbildungen $f(x):=A\cdot x$ für die Regression betrachtet, da man affine Probleme in eine lineare Darstellung transformieren kann.