Kurs:Maschinelles Lernen/Matrizen

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Definiton

Es sollen Abbildungen zwischen den beiden Vektorräumen ${ℝ}^m$ und ${ℝ}^n$ untersucht werden. Eine spezielle Klasse von Abbildungen sind dabei die linearen Abbildungen. Ist eine Abbildung $A:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ linear, so muss diese für zwei Vektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ des ${ℝ}^m$ und zwei reelle Zahlen $\mu$ und $\lambda$ stets den Zusammenhang

$A(\mu \overrightarrow{v}+\lambda \overrightarrow{w})=\mu A(\overrightarrow{v})+\lambda A(\overrightarrow{w})$

erfüllen. Es lässt sich dann zeigen, dass sich die Abbildung durch eine Ansammlung von $n\cdot m$ reellen Zahlen $A_{ij}$ mit $i\in \{1,\dots ,n\}$ und $j\in \{1,\dots ,m\}$ durch

$A(\overrightarrow{v})=\left(\begin{array}{c}{A}_{11}{v}_1+A_{12}{v}_2+\cdots +A_{1m}{v}_m\\ A_{21}{v}_1+A_{22}{v}_2+\cdots +A_{2m}{v}_m\\ ⋮\\ A_{n1}{v}_1+A_{n2}{v}_2+\cdots +A_{nm}{v}_m\end{array}\right)$

beschreiben. Werden nun die Zahlen entsprechend ihres Auftretens angeordnet, so wird diese Ansammlung in einem $n\times m$ Raster der Form

$A=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& \cdots & A_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& \cdots & A_{nm}\end{array}\right)$

als Matrix bezeichnet. Die Menge aller reellen Matrizen mit $n$ Zeilen und $m$ Spalten wird als ${ℝ}^{n\times m}$ bezeichnet.

Bei der Anwendung auf einen Vektor können die Komponenten des Ergebnisvektors dann durch

$(A\overrightarrow{v}{)}_i=\sum _{j=1}^m{A}_{ij}{v}_j$

gefunden werden.

Aufgabe

Gegeben seien die Matrix

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& -2& 2\end{array}\right)$

und der Vektor

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Berechne $A\overrightarrow{v}$

Lösungen

Hintereinanderausführung

Für Funktionen ist bekannt, dass sich diese in der Form $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ verketten lassen, wenn der Bildbereich von $g$ eine Teilmenge des Definitionsbereich von $f$ ist. (Andernfalls muss der Definitionsbereich von $g$ für die Verkettung eingeschränkt werden). Genauso muss für die Verkettung der durch Matrizen definierten Abbildungen der Ergebnisvektor im Vektorraum liegen, den die zweite Abbildung entgegen nimmt. Ist also $A\in {ℝ}^{l\times m}$, so muss die Matrix $B$ über $l$ Spalten verfügen, um den Vektor $A\overrightarrow{v}$ entgegen nehmen zu können. Die Zahl der Zeilen von $B$ hingegen kann wieder frei gewählt werden. Um die Verkettung $(B\circ A)(\overrightarrow{v})=B(A(\overrightarrow{v}))$ bestimmen zu können, muss $B$ also aus dem ${ℝ}^{n\times l}$ stammen. Das Ergebnis der Verkettung ist daher ein Vektor des ${ℝ}^n$. Somit bildet die Verkettung vom $R^m$ auf den $R^n$ ab und ist als Verkettung zweier linearer Funktionen selbst wieder linear. Damit muss sie sich durch eine Matrix $C\in {ℝ}^{n\times m}$ darstellen lassen. Durch das Anwenden der Matrizen auf einen entsprechenden Vektor kann der Zusammenhang

$C\overrightarrow{v}=B(A(\overrightarrow{v}))=\sum _{k=1}^m\left(\sum _{j=1}^l{B}_{ij}{A}_{jk}\right)v_k$

gefunden werden, woraus ersichtlich ist, dass sich die Matrix $C$ gemäß

$C_{ik}=\sum _{j=1}^l{B}_{ij}{A}_{jk}$

als ein Produkt zweier Matrizen definieren lässt. Auf diese Weise wird die Matrixmultiplikation definiert.

Als Beispiel können die beiden Matrizen

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$

betrachtet werden. Da es sich um quadratische Matrizen handelt, können die beiden Matrixprodukte

$AB=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)BA=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& -1\end{array}\right)$

gefunden werden. Sie sind nicht gleich, woran sich bereits zeigt, dass selbst für quadratische Matrizen im Allgemeinen $AB=BA$ nicht gilt.

Aufgabe

Gegeben seien die beiden Matrizen

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& -2& 2\end{array}\right)$

und

$B=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ -2& 5\\ 3& -4\end{array}\right)$

finde alle Matrixprodukte.

Lösungen

Invertieren einer Matrix

Im ${ℝ}^{n\times n}$ gibt es eine Matrix $I$ mit der Eigenschaft, dass sie jeden beliebigen Vektor $\overrightarrow{v}$ unverändert lässt, also $I\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}$ für beliebige $\overrightarrow{v}$ erfüllt. Diese Matrix wird als Einheitsmatrix bezeichnet. Sie ist dadurch definiert, dass nur auf der Diagonalen die Einträge $1$ und sonst Nullen stehen. Für die Matrixmultiplikation stellt sie das neutrale Element dar.

Ist $A\in {ℝ}^{n\times n}$ und existiert ein $A^{-1}\in {ℝ}^{n\times n}$ für die

$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$

gilt, so wird $A^{-1}$ als die Inverse Matrix von $A$ bezeichnet. Sie erlaubt es Gleichungen der Art

$A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$

mit $\overrightarrow{x},\overrightarrow{b}\in {ℝ}^n$ nach $\overrightarrow{x}$ eindeutig zu lösen.

Anhand der Rechnung

$I=B^{-1}B=B^{-1}IB=B^{-1}(A^{-1}A)B=(B^{-1}{A}^{-1})(AB)=(AB{)}^{-1}(AB)$

lässt sich sehen, dass beim Invertieren eines Produktes auch die Reihenfolge getauscht werden muss.

Aufgabe

Gegeben Sei die Matrix

$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$

Bestimme die Inverse Matrix und finde so $x$ und $y$ aus der Gleichung

$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$

Lösungen

Vektoren als Matrizen

Vektoren können als Matrizen mit einer Spalte aufgefasst werden. Diese Matrizen müssten demnach aus dem ${ℝ}^{n\times 1}$ stammen. Es gibt allerdings auch die Matrizen der Form ${ℝ}^{1\times n}$, die also über eine Zeile und $n$ Spalten verfügen. Diese werden als transponierte Vektoren bezeichnet. Ist ein Vektor

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)$ 

gegeben, so ist sein transponierter Vektor durch

${\overrightarrow{v}}^T=\left(\begin{array}{ccc}{v}_1& \cdots & v_n\end{array}\right)$ 

bestimmt.

Damit lässt sich das Skalarprodukt als Matrixmultiplikation ${\overrightarrow{v}}^T\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{cccc}{v}_1& v_2& \cdots & v_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right)=\sum _{i=1}^n{v}_i{u}_i$ auffassen. Daneben kann durch

$\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{u}_1& u_2& \cdots & u_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{v}_1{u}_1& v_1{u}_2& \cdots & v_1{u}_n\\ v_2{u}_1& v_2{u}_2& \cdots & v_2{u}_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ v_n{u}_1& v_n{u}_2& \cdots & v_n{u}_n\end{array}\right)$

auch eine Matrix mit den Komponenten

$(\overrightarrow{v}{\overrightarrow{u}}^T{)}_{ij}=v_i{u}_j$

konstruiert werden.

Aufgabe

Gegeben seien die Vektoren

$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right).$

Bestimme die Ausdrücke ${\overrightarrow{a}}^T\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a}{\overrightarrow{b}}^T$, ${\overrightarrow{b}}^T\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}{\overrightarrow{a}}^T$.

Lösungen

Transponieren von Matrizen

Die Matrix $A^T$ mit den Komponenten

$(A^T{)}_{ij}=A_{ji}$

hat auf ${\overrightarrow{v}}^T$ von rechts multipliziert die gleiche Wirkung, wie die Matrix $A$ auf $\overrightarrow{v}$ von links multipliziert. Sie wird als Transponierte (Matrix) von $A$ bezeichnet.

Wie auch beim Invertieren, muss beim Transponieren von Produkten die Reihenfolge gemäß

$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

umgekehrt werden.

Damit kann für die Vektorprodukte auch

$({\overrightarrow{a}}^T\overrightarrow{b}{)}^T={\overrightarrow{b}}^T\overrightarrow{a}$

und

$(\overrightarrow{a}{\overrightarrow{b}}^T{)}^T=\overrightarrow{b}{\overrightarrow{a}}^T$

gefunden werden.

Aufgabe

Es seien die Matrizen

$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 1\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 1& -1\end{array}\right)$

gegeben. Bestimme $A^T$, $B^T$, $(AB{)}^T$ und $AB$.

Lösungen