Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§2 Vollständigkeit

2.1. Schranken

Sei $M\subseteq ℝ,M=\mathrm{\varnothing }$

$k\in ℝ$ heisst obere Schranke von $M$, wenn $x\le k$ für alle $x\in M$ gilt.

$k\in ℝ$ heisst untere Schranke von $M$, wenn $x\ge k$ für alle $x\in M$ gilt.

Falls eine obere (untere) Schranke existiert, so heisst $M$ nach oben (nach unten) beschränkt.

$M$ heisst beschränkt, wenn $M$ nach oben und nach unten beschränkt ist.

Beispiel

$M=\{x:x=\frac{1}{1+t},t>0\}$

$M$ ist nach unten beschränkt, z.B. durch 0. $M$ ist nach oben beschränkt, z.B. durch 1.

2.2. Vollständigkeitsaxiom

Jede nach oben beschränkte Menge $M$ besitzt eine kleinste[größte] obere[untere] Schranke, das Supremum[Infimum] von M: sup M[inf M].

Bespiel (2.1): $\sup M=1:1$ ist obere Schranke

Annahme: $s=\sup M<1,t=1-s>0$

Hier fehlt noch etwas ...

2.3. Größte untere Schranke

Ist $M\subseteq R,M\ne \mathrm{\varnothing }$, nach unten beschränkt, dann existiert die größte untere Schranke von $M$, das Infimum von M $(\inf M)$. Wenn inf $M\in M$, so heißt es Minimum $(\min M)$.

Beweis

Sei $M=\{-x:x\in M\}$ nach oben beschränkt.

$\sup M=-\inf M$

zu zeigen

$-\sup M$ ist die größte untere Schranke von $M$. (Übung)

Beispiel

$M=\{x^2+\frac{1}{x^2}:x>0\}$

Behauptung

$\inf M=2$

$x>0:$

$x^2+\frac{1}{x^2}-2=(x-\frac{1}{x}{)}^2\ge 0$

$\Rightarrow 2$ ist eine untere Schranke

$x=1:$

$1^2+\frac{1}{1^2}=2\in M$

$\Rightarrow 2=\min M=\inf M$ .