Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§2 Monotone Folgen

2.1 Monotone Folgen

Eine reelle Folge $(a_n)$ heißt monoton wachsend [fallend], wenn

$a_n\le a_{n+1}[a_n\ge a_{n+1}]$ für alle $n\in \mathbb{N}$

Kurznotation: $(a_n)\uparrow [(a_n)\downarrow ]$

Gilt sogar $a_n<a_{n+1}[a_n>a_{n+1}]$ für alle $n\in \mathbb{N}$, so heißt $(a_n)$ strikt (streng) monton steigend [fallend].

2.2 Monotoniekriterium

Monotone und beschränkte Folgen sind konvergent.

Bemerkung:

Falls $(a_n)\uparrow$: $a_1\le a_2\le \dots \le a_n$

Außerdem ist die Folge "automatisch" nach unten beschränkt, sodass nur die Beschränktheit nach oben nachgewiesen werden muss.

Beweis (für $a_n\uparrow$):

Sei $s=\sup \{a_n:n\in \mathbb{N}\}$, dann existiert zu $\epsilon >0$

ein m mit $a_m>s-\epsilon$ und es gilt $a_n\le s,n\in \mathbb{N}$ (beides nach der Definition des Supremums).

Für $n\ge m$ gilt dann: $0\le s-a_n\le s-a_m<\epsilon$

Beispiel:

$a_0\in ℝ,a_{n+1}={a_n}^2+\frac{1}{4}$

Ist $(a_n)$ monton?

Betrachtung der Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder:

$a_{n+1}-a_n={a_n}^2+\frac{1}{4}-a_n={(a_n-\frac{1}{2})}^2\ge 0$

Daraus folgt: $(a_n)\uparrow$: $(a_n)$ konvergiert $\iff (a_n)$

ist beschränkt!

Falls konvergent: $a_n\to a$, also auch $a_{n+1}\to a$ und ${a_n}^2\to a^2$: $a=a^2+\frac{1}{4}$ (nach $a_{n+1}={a_n}^2+\frac{1}{4}$). Daraus folgt: $a=\frac{1}{2}$.

Falls einmal $a_n>\frac{1}{2}$ ist, kann keine Konvergenz vorliegen, da $(a_n)$ monoton wachsend ist und $\frac{1}{2}$ der einzig mögliche Grenzwert!

Erster Fall $|a_0|\le \frac{1}{2}$:

Behauptung: $\frac{1}{4}\le a_n\le \frac{1}{2}$

Beweis über vollständige Induktion:

Induktionsverankerung:

$\frac{1}{4}\le a_1={a_0}^2+\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

Induktionsschluss $n\to n+1$:

$\frac{1}{4}\le a_{n+1}={a_n}^2+\frac{1}{4}\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

Zweiter Fall $|a_0|>\frac{1}{2}$:

$a_1={a_0}^2+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ (keine Konvergenz und keine Beschränktheit)

Das Newtonverfahren

Das Netwonverfahren dient zur näherungsweisen Bestimmung der p-ten Wurzel aus $a\in ℝ$ ($\sqrt[p]{a},a>0$). Zunächst wählt man ein $x_0>0$. Dann ist die Folge

$x_{n+1}=\frac{(p-1){x_n}^p+a}{p\cdot {x_n}^{p-1}}$

monoton fallend, und geht für $n\to \mathrm{\infty }$ gegen $\sqrt[p]{a}$ (Behauptung).

Beweis:

I) $x_n>0(n\ge 1)$

II) Nachweis der Beschränktheit nach unten.

${x_{n+1}}^p={\left(\frac{(p-1){x_n}^p+a}{p\cdot {x_n}^{p-1}}\right)}^p$

${x_{n+1}}^p={(x_n\cdot \frac{p-1}{p}+x_n\cdot \frac{a}{p\cdot {x_n}^p})}^p={x_n}^p{(1-\frac{1}{p}+\frac{a}{p\cdot {x_n}^p})}^p={x_n}^p{(1-(\frac{1}{p}-\frac{a}{p\cdot {x_n}^p}))}^p\ge {x_n}^p(1-(1-\frac{a}{{x_n}^p}))\ge {x_n}^p\cdot \frac{a}{{x_n}^p}=a$

Dabei basiert die erste Abschätzung auf einer Variante der Bernoulli-Ungleichung.

III) Nachweis der Monotonie

$x_{n+1}-x_n=(\frac{(p-1){x_n}^p+a}{p\cdot {x_n}^{p-1}}-x_n)=\frac{-{x_n}^p+a}{p\cdot {x_n}^{p-1}}\le 0(n\ge 1)$

Die Folge $x_n$ ist also monoton und beschränkt, wodurch folgt, dass sie konvergiert.

Berechnung des Grenzwertes: Wir haben $x_{n+1}=\frac{(p-1)\cdot {x_n}^p+a}{p\cdot {x_n}^{p-1}}$. Wenn $x_n\to x(n\to \mathrm{\infty })$, dann gilt auch: $x_{n+1}\to x(n\to \mathrm{\infty })$. Somit:

$x=\frac{(p-1)\cdot x^p+a}{p\cdot x^{p-1}}\iff x^p=a$.

Ein Spezialfall: Für die näherungsweise Berechnung der Quadratwurzel aus einer Zahl $a$ ergibt sich diese Folge: $p=2:x_{n+1}=\frac{{x_n}^2+a}{2\cdot x_n}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})$.

2.3 Intervallschachtelung

Eine Intervallschachtelung ist eine Folge von Intervallen $[a_n,b_n]$ mit der Eigenschaft $[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n]$. Das heißt $(a_n)\uparrow$ und $(b_n)\downarrow$ und es gilt $a_n\le b_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Außerdem existieren die Grenzwerte der Folgen mit ($a\le b$): $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a$ und $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=b$.

Beispiel: Die Eulersche Zahl e:

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{n})}^{-n}$

Behauptung:

$[a_n,b_n]$ ist eine Intervallschachtelung und $e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$.

Beweis:

I) Nachweis der Monotonie:

$a_n=\underset{n+1Faktoren}{\underbrace{1\cdot (1+\frac{1}{n})\cdot (1+\frac{1}{n})\cdots (1+\frac{1}{n})}}\le {\left(\frac{1+(1+\frac{1}{n})+(1+\frac{1}{n})+\dots +(1+\frac{1}{n})}{n+1}\right)}^{n+1}$

$={\left(\frac{n+2}{n+1}\right)}^{n+1}={(1+\frac{1}{n+1})}^{n+1}=a_{n+1}.$

$a_n$ ist also monton wachsend. Die Abschätzung erfolgt über die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel. Analog kann man beweisen, dass ${b_n}^{-1}$ monton steigend ist, woraus folgt, dass $b_n$ monton fallend ist.

II)

$\frac{a_n}{b_n}={(1+\frac{1}{n})}^n{(1-\frac{1}{n})}^n={(1-\frac{1}{n^2})}^n<1\iff a_n<b_n(n\in \mathbb{N})$

III)

$\frac{a_n}{b_n}={(1-\frac{1}{n^2})}^n>1-n\cdot \frac{1}{n^2}=1-\frac{1}{n}$

Daraus folgt: $b_n(1-\frac{1}{n})<a_n<b_n$. Nach dem Sandwich-Theorem geht $a_n\to b(n\to \mathrm{\infty })$.