Kurs:Quantencomputing/Operator

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Bra-Vekotren

Ist ein Vektor $|v⟩$ im ${ℂ}^N$ gegeben, so ist der dazugehörige Bra-Vektor durch

$⟨v|=(|v⟩{)}^{†}=\left(\begin{array}{cccc}{v}_0^{*}& v_1^{*}& \cdots & v_{N-1}^{*}\end{array}\right)$

gegeben. $†$ wird dabei "dagger" gesprochen und bezeichnet das Adjungierte zu $|v⟩$

Matrizen

Auch auf dem ${ℂ}^N$ lassen sich Matrizen definieren. Diese können auch komplexwertige Einträge haben und bilden deshalb die Menge ${ℂ}^{N\times N}$. Allgemeiner wird auf Hilberträumen von linearen Operatoren gesprochen, welche die Bedingung

$A(\lambda |v⟩+\mu |w⟩)=\lambda (A|v⟩)+\mu (A|w⟩)$

erfüllen.

Aus der Definition der vollständigen Orthonormalbasis $\{|n⟩\}$

$|v⟩=\sum _n|n⟩⟨n|v⟩$

für alle beliebigen $|v⟩$ lässt sich die Darstellung

$I=\sum _n|n⟩⟨n|$

für die Einheitsmatrix herleiten.

Matrixdarstellung

Ist die Wirkung einer Matrix auf die Basisvektoren $\{|n⟩\}$ einer Orthonormalbasis bekannt, so lassen sich durch

$A=IAI=(\sum _n|n⟩⟨n|)A(\sum _m|m⟩⟨m|)=\sum _{nm}⟨n|A|m⟩|n⟩⟨m|$

die Matrixelemente $A_{nm}=⟨n|A|m⟩$ in dieser Basis bestimme.

Hermitesch Adjungierte

Die hermitesch adjungierte Matrix (Operator) ist durch

$(A^{†}{)}_{ij}=A_{ji}^{*}$

definiert. Es werden also die Zeilen und Spalten getauscht und die Einträge komplex konjugiert. $A^{†}$ hat auf $⟨v|$ die gleiche Wirkung, wie $A$ auf $|v⟩$.

Beim Adjungieren werden

• Skalare $\lambda$ zu ihrem komplex Konjugierten ${\lambda }^{*}$
• Operatoren $A$ und $B$ zu ihren Adjungierten $A^{†}$ und $B^{†}$
• Ket-Vektoren $|v⟩$ zu Bra-Vektoren $⟨v|$
• Bra-Vektoren $⟨w|$ zu Ket-Vektoren $|w⟩$
• die Reihenfolge aller Ausdrücke umgekehrt

Mit diesen Regeln ergibt sich

$(⟨w|\lambda AB|v⟩{)}^{†}=⟨v|B^{†}{A}^{†}{\lambda }^{*}|w⟩$

Hermitesche Matrizen (Operatoren)

Eine Matrix $H$ heißt hermitesch oder selbstadjungiert, wenn $H^{†}=H$ gilt. Sie besitzt reelle Eigenwerte und ihre Eigenvektoren bilden eine vollständige Orthonormalbasis.

Die Pauli-Matrizen

Die Pauli-Matrizen sind durch

${\sigma }_x=X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right){\sigma }_y=Y=\left(\begin{array}{cc}0& -\mathrm{i}\\ \mathrm{i}& 0\end{array}\right){\sigma }_z=Z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

definiert. Sie sind hermitesch. Sie werden oft zu dem Vektor

$\overrightarrow{\sigma }=\left(\begin{array}{c}{\sigma }_x\\ {\sigma }_y\\ {\sigma }_z\end{array}\right)$

zusammengefasst. Mit einem Punkt auf der Einheitskugel

$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}\cos (\varphi )\sin (\theta )\\ \sin (\varphi )\sin (\theta )\\ \cos \theta \end{array}\right)$

mit $\varphi \in [0,2\pi )$ und $\theta \in [0,\pi ]$ lässt sich so die hermitesche Matrix

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }=\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta )& \sin (\theta ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\varphi }\\ \sin (\theta ){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }& \cos (\theta )\end{array}\right)$

aufstellen. Diese hat die Eigenvektoren

$|v_{+}⟩=\left(\begin{array}{c}\cos (\theta /2)\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }\sin (\theta /2)\end{array}\right)|v_{-}⟩=\left(\begin{array}{c}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\varphi }\sin (\theta /2)\\ \cos (\theta /2)\end{array}\right)$

mit den Eigenwerten $(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\sigma })|v_{+}⟩=(+1)|v_{+}⟩$ und $(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\sigma })|v_{-}⟩=(-1)|v_{-}⟩$.

Unitäre Matrix (Operator)

Eine Matrix $U$ ist unitär, wenn sie $U{U}^{†}=U^{†}U=I$ erfüllt. Sie ist normerhaltend: $\Vert U|v⟩\Vert =\Vert |v⟩\Vert$.

Unitäre Matrizen im ${ℂ}^2$ lassen sich durch

$U(\theta ,\varphi ,\lambda )=\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta /2)& -{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\lambda }\sin (\theta /2)\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }\sin (\theta /2)& {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\varphi +\lambda )}\cos (\theta /2)\end{array}\right)$

mit $\theta \in [0,\pi ]$, $\varphi ,\lambda \in [0,2\pi )$. Diese Darstellung wird auch in qiskit verwendet.

Kommutator

Die Größe

$[A,B]=AB-BA$

heißt Kommutator. Ist er bekannt erlaubt er es die Ersetzung

$AB|v⟩=BA|v⟩+[A,B]|v⟩$

vorzunehmen.

Aufgaben

• Bestimme die Matrixdarstellung von $A$, wenn die Wirkung auf die Basis

$|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{i}\end{array}\right)|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}\mathrm{i}\\ 1\end{array}\right)$

durch $A|0⟩=\mathrm{i}|1⟩$ und $A|1⟩=-\mathrm{i}|0⟩$ gegeben ist.

• Zeige durch explizite Rechnung, dass $(\lambda A|v⟩{)}^{†}=⟨v|A^{†}{\lambda }^{*}$ gilt, mit den Größen

$A=\left(\begin{array}{cc}1-\mathrm{i}& 2+\mathrm{i}\\ 3-2\mathrm{i}& -2+\mathrm{i}\end{array}\right)\lambda =2+\mathrm{i}|v⟩=\left(\begin{array}{c}1+\mathrm{i}\\ -2+\mathrm{i}\end{array}\right)$

• Betrachte einen hermiteschen Operator $H$ mit den Eigenvektoren $H|h_i⟩=h_i|h_i⟩$ und verwende den Ausdruck $0=⟨h_1|(H^{†}-H)|h_2⟩$, um zu zeigen, dass
  • die Eigenwerte reell sind
  • die Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal sind.
• Zeige, dass $|v_{\pm }⟩$ die Eigenvektoren zu den gegebenen Eigenwerten für $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }$ sind. Tipp: Benutze die Additionstheoreme

$\cos (\theta )={\cos }^2(\theta /2)-{\sin }^2(\theta /2)\sin (\theta )=2\sin (\theta /2)\cos (\theta /2)$

• (optional) Zeige, dass $U(\theta ,\varphi ,\lambda )$ unitär ist.
• Bestimme $[X,Y]$.

Lösungen

Siehe auch

• Weitere Informationen zu den Bra- und Ket-Vektoren können in dem Wikipedia-Artilel Dirac-Notation gefunden werden.
• Weitere Informationen zu den Adjungierten Matrizen können in dem Wikipedia-Artilel Adjungierte Matrix gefunden werden.
• Weitere Informationen zu den hermiteschen Matrizen können in dem Wikipedia-Artilel Hermitesche Matrix gefunden werden.
• Weitere Informationen zu den Pauli-Matrizen können in dem Wikipedia-Artilel Pauli-Matrizen gefunden werden.
• Weitere Informationen zu den unitären Matrizen können in dem Wikipedia-Artilel Unitäre Matrix gefunden werden.
• Weitere Informationen zum Kommutator können in dem Wikipedia-Artilel Kommutator (Mathematik) gefunden werden.