Kurs:Quantencomputing/Hilbertraum

Vorherige Seite: Vektorräume
Nächste Seite: Opertaoren

Norm

Eine Abbildung $\Vert \cdot \Vert :V\to {ℝ}_0^{+}$ heißt Norm, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

• Definitheit: $\Vert |v⟩\Vert =0\Rightarrow |v⟩=0$
• Abolute Homogenität: $\Vert \lambda \cdot |v⟩\Vert =|\lambda |\cdot \Vert |v⟩\Vert$
• Dreiecksungleichung: $\Vert |v⟩+|w⟩\Vert \le \Vert |v⟩\Vert +\Vert |w⟩\Vert$

Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Raum.

Skalarprodukt

Eine zweistellige Verknüpfung $⟨\cdot |\cdot ⟩:V\times V\to 𝕂$ vom Vektorraum $V$ auf die rellen oder komplexen Zahlen $𝕂\in \{ℂ,ℝ\}$ heißt Skalarprodukt, falls sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

• Sesquilinearität: $⟨v|\lambda w+\mu u⟩=\lambda ⟨v|w⟩+\mu ⟨v|u⟩$
• Hermitizität: $⟨w|v⟩=(⟨v|w⟩{)}^{*}$
• Positive Definitheit: $⟨v|v⟩\ge 0$; $⟨v|v⟩=0\iff |v⟩=0$

Ist $⟨v|w⟩=0$, so heißen $|v⟩$ und $|w⟩$ orthogonal.

Mit dem Skalarprodukt lässt sich eine Norm über $\Vert |v⟩\Vert =\sqrt{⟨v|v⟩}$ aufstellen. Sie wird als skalarprodukt induzierte Norm bezeichnet.

Aus der Definition des Skalarprodukts folgt die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung:

$|⟨v|w⟩{|}^2\le ⟨v|v⟩⟨w|w⟩$

Besitzt ein Vektorraum ein Skalarprodukt, so wird er als Skalarproduktraum bezeichnet.

Cauchy-Folgen

Eine Folge von Elementen $|v_n⟩\in V$ eines normierten Raums mit $n\in \mathbb{N}$ heißt Cauchy-Folge, wenn für ein beliebiges $ϵ>0$ immer ein $N_{ϵ}\in \mathbb{N}$ existiert, so dass für alle $n,m\ge N_{ϵ}$ die Gleichung

$\Vert |v_n⟩-|v_m⟩\Vert <ϵ$

erfüllt ist. Die Abstände zwischen Folgegliedern werden daher beliebig klein.

Definiton des Hilbertraums

Ein Skalarproduktraum heißt Hilbertraum, wenn mit der skalarproduktinduzierten Norm alle Cauchy-Folgen konvergieren.

Wir werden vor allem den ${ℂ}^N$ betrachten. Mit dem in den Aufgaben eingeführten Skalarprodukt, handelt es sich um einen Hilbertraum.

Lineare Unabhängigkeit

Eine Menge von $M$ Vektoren $|v_m⟩\in V$ eines Vektorraums $V$ und eine Menge von $M$ reellen oder komplexen Zahlen $\lambda \in 𝕂$ bilden den Ausdruck

${\lambda }_0|v_0⟩+{\lambda }_1|v_1⟩+\cdots +{\lambda }_{M-1}|v_{M-1}⟩$

der als Linearkombination bezeichnet wird.

Ist die einzige Lösung zur Gleichung

${\lambda }_0|v_0⟩+{\lambda }_1|v_1⟩+\cdots +{\lambda }_{M-1}|v_{M-1}⟩=0$

durch ${\lambda }_0={\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_{M-1}=0$ gegeben, so wird die Menge der $M$ Vektoren als linear unabhängig bezeichnet.

Jede Menge von $M$ paarweise orthogonalen Vektoren

$⟨v_n|v_m⟩=0n\ne m$

eines Skalarproduktraums ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren.

Vollständige Orthonormalbasis

Eine Menge $B$ mit den Elementen $|n⟩\in V$ eines Hilbertraums wird als vollständige Orthonormalbasis bezeichnet, wenn die Bedingung

$⟨n|m⟩=0n\ne m;⟨n|n⟩=1$

erfüllt ist und für beliebige $|v⟩\in V$ der Zusammenhang

$|v⟩=\sum _n|n⟩⟨n|v⟩$

gilt.

Aufgaben

• Wie lässt sich die Norm auf dem ${ℝ}^n$ auf den ${ℂ}^N$ verallgemeinern? Finde damit die Norm von $|v⟩=\left(\begin{array}{c}2+\mathrm{i}\\ -3+2\mathrm{i}\end{array}\right)$.
• Zeige, dass $⟨v|w⟩=\sum _{k=0}^{N-1}=v_k^{*}{w}_k$ ein Skalarprodukt auf dem ${ℂ}^N$ ist.
• (optional) Bestimme einen allgemeinen Ausdruck für $⟨\lambda v+\mu w|u⟩$
• (optional) Zeige die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung, indem Du den Ausdruck $⟨v-\lambda w|v-\lambda w⟩$ für ein passendes $\lambda$ auswertest.
• Sind die Vektoren $|v⟩=\left(\begin{array}{c}1+\mathrm{i}\\ -2+3\mathrm{i}\end{array}\right)$ und $|w⟩=\left(\begin{array}{c}0+2\mathrm{i}\\ -5+\mathrm{i}\end{array}\right)$ linear unabhägig?
• (optional) Beweise, dass eine Menge von $M$ paarweise orthogonalen Vektoren eine Menge von linear unabhängigen Vektoren ist.
• Betrachte die Vektoren $|0⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),|1⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ und zeige, dass diese eine Bais des ${ℂ}^2$ bilden. Wie lässt sich dies auf den ${ℂ}^N$ übertragen.

Lösungen

Siehe auch

• Weitere Informationen können in den Wikipedia-Artileln Norm, Skalarprodukt, Cauchy-Folge, Hilbertraum, Lineare Unabhängigkeit und Basis gefunden werden.