Kurs:Quantencomputing/Vektorraum

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Definiton

Es seien eine Menge $V$ mit den Elementen $|v⟩$ und ein Körper $K$ mit der additiven Verknüfpung $+$, der Multiplikativen Verknüpfung $\cdot$ und dem Neutralen Element bzgl. der Multiplikation $1$ gegeben.
Darüber hinaus sollen eine Innere Verknüpfung $\oplus :V\times V\to V$ und eine Äußere Verknüpfung $\otimes :K\times V\to V$ gegeben sein.
$(V,\oplus ,\odot ,K)$ heißt Vektorraum, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind

• $(V,\oplus ,0)$ ist eine abelsche Gruppe
• Für beliebige $\lambda ,\mu \in K$ und $|v⟩,|w⟩\in V$ gelten
  • $1\odot |v⟩=|v⟩$
  • $(\lambda \cdot \mu )\odot |v⟩=\lambda \odot (\mu \odot |v⟩)$
  • $\lambda \odot (|v⟩\oplus |w⟩)=\lambda \odot |v⟩\oplus \lambda \odot |w⟩$
  • $(\lambda +\mu )\odot |v⟩=\lambda \odot |v⟩\oplus \mu \odot |v⟩$

Bemerkungen

• Meistens werden die Innere und Äußerer Verknüpfung nicht gesondert von der additiven und Multiplikativen Verknüpfung auf $K$ hervorgehoben.
• Es wird das Symbol der Äußeren Verknüpfung oft unterdrückt, so dass $\lambda |v⟩=\lambda \cdot |v⟩=\lambda \odot |v⟩$ alle das selbe meinen.
• Manchmal wird die Abkürzende Schreibweise $\lambda |v⟩+\mu |w⟩=|\lambda v+\mu w⟩$ verwendet.

Aufgaben

In diesem Kurs wird vor allem der Vektorraum ${ℂ}^N$ über dem Körper $K=ℂ$ mit $N=2^n$ betrachtet. $n$ stellt später die Anzahl der Qubits dar.
Ein Vektor $|v⟩$ kann dann durch
$|v⟩=\left(\begin{array}{c}{v}_0\\ v_1\\ ⋮\\ v_{N-1}\end{array}\right)v_0,v_1,\dots ,v_{N-1}\in ℂ$
ausgedrückt werden. Die Innere und Äußere Verknüpfung sind jeweils durch
$|v⟩+|w⟩=\left(\begin{array}{c}{v}_0\\ v_1\\ ⋮\\ v_{N-1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{w}_0\\ w_1\\ ⋮\\ w_{N-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{v}_0+w_0\\ v_1+w_1\\ ⋮\\ v_{N-1}+w_{N-1}\end{array}\right)$
und
$\lambda |v⟩=\lambda \left(\begin{array}{c}{v}_0\\ v_1\\ ⋮\\ v_{N-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda v_0\\ \lambda v_1\\ ⋮\\ \lambda v_{N-1}\end{array}\right)$
definiert.

• Bestimme die folgenden Elemente des Vektorraums ${ℂ}^2$
  

$\left(\begin{array}{c}2+\mathrm{i}\\ -3+2\mathrm{i}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-1+3\mathrm{i}\\ 5-2\mathrm{i}\end{array}\right)(2+3\mathrm{i})\cdot \left(\begin{array}{c}1+\mathrm{i}\\ -3+2\mathrm{i}\end{array}\right)$

• (optional) Zeige, dass es sich bei ${ℂ}^N$ tatsächlich um einen Vektorraum über $ℂ$ handelt.
  
  

Lösungen

Siehe auch

• Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Vektorraum gefunden werden.