Kurs:Quantencomputing/Matrizen

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Definiton

Eine Matrix $A$ aus dem ${ℝ}^{n\times m}$ ist eine Ansammlung von $n\cdot m$ reellen Zahlen $A_{nm}$, die in $n$ Zeilen und $m$ Spalten gemäß
$A=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& \cdots & A_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& \cdots & A_{nm}\end{array}\right)$
angeordnet sind. Sie stellen lineare Abbildungen vom Vektorraum ${ℝ}^m$ zum Vektorraum ${ℝ}^n$ dar.

Regeln

Anwenden auf Vektoren

Wird eine Matrix auf einen Vektor angewandt, so werden die neuen Komponenten durch $(A\overrightarrow{v}{)}_i=\sum _{j=1}^m{A}_{ij}{v}_j$ bestimmt.
Im ${ℝ}^{n\times n}$ gibt es eine Matrix $I$ mit der Eigenschaft, dass sie jeden beliebigen Vektor $\overrightarrow{v}$ unverändert lässt, also $I\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}$ für beliebige $\overrightarrow{v}$ erfüllt. Diese Matrix wird als Einheitsmatrix bezeichnet. Sie ist dadurch definiert, dass nur auf der Diagonalen die Einträge $1$ und sonst Nullen stehen.

Hintereinanderausführung und Matrixmultiplikation

Wenn es sich bei $A$ um eine Matrix des ${ℝ}^{l\times m}$ und bei $B$ um eine Matrix des ${ℝ}^{n\times l}$ handelt, dann kann auf den Vektor $A\overrightarrow{v}$ die Matrix $B$ angewandt werden, um so einen Vektor des ${ℝ}^n$ zu erhalten. Die Hintereinanderanwendung ergibt eine neue Matrix $BA$ deren Komponenten durch $(BA{)}_{ik}=\sum _{j=1}^l{B}_{ij}{A}_{jk}$ gegeben sind.

Vektoren als Matrizen und Transpositionen

Vektoren können als Matrizen aus dem ${ℝ}^{n\times 1}$ aufgefasst werden. Es gibt allerdings auch die Matrizen der Form ${ℝ}^{1\times n}$, die als transponierte Vektoren bezeichnet werden. Ist ein Vektor $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)$ gegeben, so ist sein transponierter Vektor durch ${\overrightarrow{v}}^T=\left(\begin{array}{ccc}{v}_1& \cdots & v_n\end{array}\right)$ bestimmt.
Damit lässt sich das Matrixprodukt als Matrixmultiplikation ${\overrightarrow{v}}^T\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{cccc}{v}_1& v_2& \cdots & v_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right)=\sum _{i=1}^n{v}_i{u}_i$ auffassen.

Werden bei der Matrix $A$ Zeilen und Spalten vertauscht, so handelt es sich um die transponierte Matrix $(A^T{)}_{ij}=A_{ji}$ sie wirkt auf den Vektor ${\overrightarrow{v}}^T$ genau so wie $A$ auf den Vektor $\overrightarrow{v}$.

Wird das Matrixprodukt $AB$ transponiert, so muss zusätzlich die Reihenfolge geändert werden, wodurch sich $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ ergibt.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Gibt es für eine quadratische Matrix $A\in {ℝ}^{n\times n}$ Vektoren $v\ne \overrightarrow{0}$, welche die Gleichung $A\overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{v}$ lösen, so werden diese als Eigenvektoren von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ bezeichnet. Die Menge aller Eigenwerte von $A$ wird als Spektrum $\sigma (A)$ bezeichnet. Verfügt ein Eigenwert über mehrere linear unabhängige Eigenvektoren wird dieser als entartet bezeichnet. Da Matrizen lineare Abbildungen sind, ist ein Vielfaches eines Eigenvektors wieder ein Eigenvektor zum selben Eigenwert. Genauso ist die Linearkombination linear unabhängiger Eigenvektoren zum selben Eigenwert wieder ein Eigenvektor zum selben Eigenwert.

Aufgaben

• Betrachte die Matrix

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& -2& 2\end{array}\right)$ und den Vektor $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ bestimme $A\overrightarrow{v}$.

• Betrachte die Matrizen

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& -2& 2\end{array}\right)$ und $B=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ -2& 5\\ 3& -4\end{array}\right)$ und bestimme alle möglichen Matrixprodukte.

• Betrachte die Vektoren

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ und die Matrizen $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& 1\\ -1& 0& 2\end{array}\right)$ und $B=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 0& 2& 3\end{array}\right)$ bestimme damit die Ausdrücke ${\overrightarrow{v}}^T\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}{\overrightarrow{u}}^T$ und $(AB{)}^T$

• Die Matrix

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ besitzt die Eigenwerte $+1$ und $-1$. Bestimme die Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten.

• (optional) Sei $A\in {ℝ}^{n\times n}$ mit $A^T=A$. Zeige, dass Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ senkrecht aufeinander stehen, dass also ${\overrightarrow{v}}_1^T\cdot {\overrightarrow{v}}_2=0$ gilt.
  
  

Lösungen

${\displaystyle }$

Siehe auch

• Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Matrizen gefunden werden.