Kurs:Quantencomputing/Vektoren

Vorherige Seite: Integrale
Nächste Seite: Matrizen

Definiton

Dreidimensionale Punkte im Raum werden durch $x$-, $y$- und $z$-Koordinaten in der Form $P(x|y|z)$ angegeben. Stattdessen kann auch der verbindende Pfeil zum Ursprung
$\overrightarrow{p}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$
betrachtet werden. Dieser kann unter beibehalt von Länge und Richtung verschoben werden. Er wird als Vektor bezeichnet.

Es lassen sich auch zweidimensionale oder sogar $n$-dimensionale Vektoren mit reellen Komponenten betrachten. Die Menge der Letzteren wird als ${ℝ}^n$ bezeichnet.

Regeln

Die Länge eines Vektors wird als sein Betrag bezeichnet und ist durch
$|\overrightarrow{p}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
definiert.

Vektoren lassen sich komponentenweise addieren
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_x+b_x\\ a_y+b_y\\ a_z+b_z\end{array}\right)$
Geometrisch entspricht dies einer Aneinanderreihung der Vektoren.

Ein Vektor lässt sich komponentenweise mit einer reellen Zahl $\lambda \in ℝ$ multiplizieren
$\lambda \cdot \overrightarrow{p}=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda \cdot x\\ \lambda \cdot y\\ \lambda \cdot z\end{array}\right)|\lambda \cdot \overrightarrow{p}|=|\lambda |\cdot |\overrightarrow{p}|$
Geometrisch handelt es sich um eine Streckung, Stauchung oder Spiegelung am Ursprung abhängig vom Wert von $\lambda$.

Der Winkel $\varphi$ zwischen zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ lässt sich durch das Skalarpodukt
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right)=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos (\varphi )$
bestimmen. Damit kann auch der Betrag durch
$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{p}=|\overrightarrow{p}{|}^2\Rightarrow |\overrightarrow{p}|=\sqrt{\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{p}}$
ausgedrückt werden.

Aufgaben

Betrachte die Vektoren $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ und die Zahlen $\lambda =3$, $\mu =-2$. Bestimme damit die beiden Ausdrücke $|\lambda \overrightarrow{v}+\mu \overrightarrow{u}|$ und $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}$.

Lösungen

Siehe auch

• Diese Seite wurde im Kurs Quantencomputing verwendet.
• Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Vektor gefunden werden.