Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie

Definition von Metriken

Für das unten angegebene Quiz werden die folgenden Metriken verwendet.

• $d_1:ℝ\times ℝ\to {ℝ}_o^{+}{d}_1(x,y)=\{\begin{array}{cc}1& x=y\\ 0& x=y\end{array}$
• $d_2:ℝ\times ℝ\to {ℝ}_o^{+}{d}_2(x,y)=|x-y|$

Diskrete Topologie

Gegeben ist die diskrete Topologie $(ℝ,d_1)$ auf den reellen Zahlen $ℝ$. Die folgenden Fragen beziehen sich auf diese Topologie. <quiz shuffle=none shuffleanswers=true>

{Wählen Sie alle korrekten Aussagen aus. |type="[]"} + Das Intervall $[a,b]$ ist eine abgeschlossene Menge in der diskreten Topologie. + Das Intervall $[a,b]$ ist eine offene Menge in der diskreten Topologie. + Jede Teilmenge $M$ der reellen Zahlen $ℝ$ ist eine offene Menge in der diskreten Topologie. + Jede Teilmenge $M$ der reellen Zahlen $ℝ$ ist eine abgeschlossene Menge in der diskreten Topologie. - Die Randpunkte der Menge $[a,b]$ sind Punkte $a$ und $b$ in der diskreten Topologie. + Das Intervall $[a,b]$ besitzt keine Randpunkte in der diskreten Topologie. + Sei $M\subset ℝ$ eine beliebige Menge von reellen Zahlen, dann gilt $\partial M=\mathrm{\varnothing }$ in der diskreten Topologie. + Die diskrete Topologie ist Hausdorffsch. - Die diskrete Topologie ist nicht metrisierbar. - Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik, die die Topologie erzeugt ist $d_1$ (Definition siehe oben) - Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik $d_2$ erzeugt diese Topologie (Definition siehe oben) + Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik $d_1$ erzeugt diese Topologie (Definition siehe oben) + Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $[a,b]$. - Der Abschluss der Menge $(a,b)$ ist die Menge $[a,b]$. - Der offene Kern der Menge $[a,b]$ ist die Menge $(a,b)$. + Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die Menge $(a,b)$. - Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die leere Menge Menge $\mathrm{\varnothing }$. - Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die leere Menge Menge $ℝ$. - Der Abschluss der Menge $(a,b)$ ist die Menge $ℝ$. - Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $ℝ$. - Der offene Kern der Menge $[a,b]$ ist die Menge $ℝ$. - Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $ℝ$. - Sei $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ein beliebige Folge und $x_o\in ℝ$, dann konvergiert die Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $x_o$ (formal: $\stackrel{\tau }{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }}{x}_n=x_o$). + Sei $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $ℝ$, für die ein $n_o\in \mathbb{N}$ existiert, mit $x_n=x_o$ für $n\ge n_o\in \mathbb{N}$. Dann konvergiert die Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $x_o\in ℝ$ in $(ℝ,d_1)$ (formal: $\stackrel{d_1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }}{x}_n=x_o$). + Sei $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $ℝ$, für die ein $n_o\in \mathbb{N}$ existiert mit $x_n=x_o$ für $n\ge n_o\in \mathbb{N}$. Dann konvergiert die Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $x_o\in ℝ$ in $(ℝ,d_2)$ (formal: $\stackrel{d_2}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }}{x}_n=x_o$). + Sei $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge, die in $(ℝ,d_1)$ gegen $x_o\in ℝ$ konvergiert (formal: $\stackrel{d_1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }}{x}_n=x_o$), dann gibt es ein $n_o\in \mathbb{N}$ mit $x_n=x_o$ für alle $n\ge n_o\in \mathbb{N}$. - Sei $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge, die in $(ℝ,d_2)$ gegen $x_o\in ℝ$ konvergiert (formal: $\stackrel{d_2}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }}{x}_n=x_o$), dann gibt es ein $n_o\in \mathbb{N}$ mit $x_n=x_o$ für alle $n\ge n_o\in \mathbb{N}$. </quiz>

Chaotische Topologie

Gegeben ist die chaotische Topologie $(ℝ,\tau )$ mit $\tau :=\{\mathrm{\varnothing },ℝ\}$ auf den reellen Zahlen $ℝ$. Die folgenden Fragen beziehen sich auf diese Topologie.

<quiz shuffle=none shuffleanswers=true>

{Wählen Sie alle korrekten Aussagen aus. |type="[]"} - Das Intervall $[a,b]$ ist eine abgeschlossene Menge in der chaotischen Topologie. - Das Intervall $[a,b]$ ist eine offene Menge in der chaotischen Topologie.. - Jede Teilmenge $M$ der reellen Zahlen $ℝ$ ist eine offene Menge in der chaotischen Topologie. - Jede Teilmenge $M$ der reellen Zahlen $ℝ$ ist eine abgeschlossene Menge in der chaotischen Topologie. - Die Randpunkte der Menge $[a,b]$ sind Punkte $a$ und $b$ in der chaotischen Topologie. + Das Intervall $[a,b]$ besitzt keine Randpunkte in der diskreten Topologie. + Sei $M\subset ℝ$ eine beliebige Menge von reellen Zahlen, dann gilt $\partial M=\mathrm{\varnothing }$ in der chaotischen Topologie. - Die chaotische Topologie ist Hausdorffsch. + Die chaotische Topologie ist nicht metrisierbar. - Die chaotische Topologie ist metrisierbar und die Metrik, die die Topologie erzeugt ist $d_1$ (Definition siehe oben) + Die chaotische Topologie ist metrisierbar und die Metrik ist über $d_2$(Definition siehe oben) - Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $[a,b]$. - Der Abschluss der Menge $(a,b)$ ist die Menge $[a,b]$. - Der offene Kern der Menge $[a,b]$ ist die Menge $(a,b)$. - Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die Menge $(a,b)$. - Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die leere Menge Menge $\mathrm{\varnothing }$. - Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die leere Menge Menge $ℝ$. + Der Abschluss der Menge $(a,b)$ ist die Menge $ℝ$. + Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $ℝ$. - Der offene Kern der Menge $[a,b]$ ist die Menge $ℝ$. + Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $ℝ$. + Sei $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ein beliebige Folge und $x_o\in ℝ$, dann konvergiert die Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $x_o$ (formal: $\stackrel{\tau }{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }}{x}_n=x_o$. + Sei $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, für die $x_n=x_o$ für $n\ge n_o\in \mathbb{N}$ gilt. Dann konvergiert die Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $x_o\in ℝ$ (formal: $\stackrel{\tau }{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }}{x}_n=x_o$.

</quiz>

Endliche Topologien

Sei $(X,{\tau }_k)$ gegeben mit

• $k=0,1,\dots ,6$
• $X:=\{a,b,c,d,e,f\}$
• ${\tau }_0:=\{\mathrm{\varnothing },X\}$
• ${\tau }_1:=\{\mathrm{\varnothing },X,\{a,b,c\}\}$
• ${\tau }_2:=\{\mathrm{\varnothing },X,\{a,b,c\},\{d,e,f\}\}$
• ${\tau }_3:=\{\mathrm{\varnothing },X,\{a,b,c\},\{c,d,e\}\}$
• ${\tau }_4:=\{\mathrm{\varnothing },X,\{c\},\{a,b,c\},\{c,d,e\}\}$
• ${\tau }_5:=\{\mathrm{\varnothing },X,\{c\},\{a,b,c\},\{c,d,e\},\{a,b,c,d,e\}\}$
• ${\tau }_6:=\{\mathrm{\varnothing },X,\{c\},\{a,b,c\},\{c,d,e\},\{a,b,c,d,e\},\{f\}\}$.

Die folgenden Fragen beziehen sich auf $(X,{\tau }_k)$ mit einem bestimmte $k=1,\dots ,6$. Dabei untersuchen Sie die oben definierte Grundmenge $X$ mit einem Mengensystem ${\tau }_k$.

<quiz shuffle=none shuffleanswers=false>

{Wählen Sie alle korrekten Aussagen aus. |type="[]"} + $(X,{\tau }_0)$ ist ein topologischer Raum, - $(X,{\tau }_1)$ ist ein topologischer Raum, + $(X,{\tau }_2)$ ist ein topologischer Raum, - $(X,{\tau }_3)$ ist ein topologischer Raum, - $(X,{\tau }_4)$ ist ein topologischer Raum, + $(X,{\tau }_5)$ ist ein topologischer Raum, - $(X,{\tau }_6)$ ist ein topologischer Raum, - Für das Mengensystem ${\tau }_6$ kann man mit genau einer Teilmenge von $X$ erweitern, damit das erweiterte Mengesystem $\widetilde{{\tau }_6}$ auf $X$ wird. + Für das Mengensystem ${\tau }_6$ fehlen genau zwei Teilmengen von $X$, damit das erweiterte Mengesystem $\widetilde{{\tau }_6}$ ein topologischer Raum ist und $\widetilde{{\tau }_6}$ ein minimale Erweiterung von $\widetilde{{\tau }_6}$ ist. - Für das Mengensystem ${\tau }_6$ fehlen genau drei Teilmengen von $X$, damit das erweiterte Mengesystem $\widetilde{{\tau }_6}$ ein topologischer Raum ist und $\widetilde{{\tau }_6}$ ein minimale Erweiterung von $\widetilde{{\tau }_6}$ ist. - Der Abschluss der Menge $\{a,b,c\}$ ist $\{a,b,c\}$. + Der offene Kern der Menge $\{a,b,c\}$ ist $\{a,b,c\}$. + Der Abschluss der Menge $\{a,b,c\}$ ist $X$. + Die Menge $\{a,b,c,\}$ ist in dem topologischen Raum $(X,{\tau }_1)$ eine offene Menge. - Die Menge $\{a,b,c,\}$ ist in dem topologischen Raum $(X,{\tau }_1)$ eine abgeschlossene Menge. - Der Abschluss der Menge $\{a,b,c\}$ ist $\{a,b,c,d\}$ in dem topologischen Raum $(X,{\tau }_5)$. + Der Abschluss der Menge $\{a,b\}$ ist $\{a,b,f\}$ in dem topologischen Raum $(X,{\tau }_5)$ eine abgeschlossene Menge. + Der Abschluss der Menge $\{a\}$ ist $\{a,b,f\}$ in dem topologischen Raum $(X,{\tau }_5)$. + Der Abschluss der Menge $\{b\}$ ist $\{a,b,f\}$ in dem topologischen Raum $(X,{\tau }_5)$. - Der offene Kern der Menge $\{a,b,c\}$ ist $\{a,b,c,d\}$ in dem topologischen Raum $(X,{\tau }_5)$. + Der offene Kern der Menge $\{a,b,c,d\}$ ist $\{a,b,c\}$ in dem topologischen Raum $(X,{\tau }_5)$. - Der offene Kern der Menge $\{a,b,c\}$ ist $\{b\}$ in dem topologischen Raum $(X,{\tau }_5)$. + Der offene Kern der Menge $\{a,b\}$ ist $\mathrm{\varnothing }$ in dem topologischen Raum $(X,{\tau }_5)$.

</quiz>

Bemerkung

Begründen Sie Ihre jeweils Ihre Antworten. Nach dem Absenden der Anworten sehen Sie, welche Antworten korrekt sind bzw. nicht korrekt beantwortet wurden. Ggf. können Sie dieses auch als Hilfe verwenden, um die Begründung für Ihre Antworten noch einmal zu überdenken.

Siehe auch

• diskrete Topologie
• Chaotische Topologie oder triviale Topologie
• Hilfe:Quiz