Kurs:Statistik für Anwender/Wahrscheinlichkeitsbegriff

Wahrscheinlichkeitsbegriff

Die Wahrscheinlichkeit ist eine Einstufung von Aussagen und Urteilen nach dem Grad der Gewissheit (Sicherheit). …Besondere Bedeutung hat dabei die Gewissheit von Vorhersagen. (Wikipedia)

Zufallsexperimente

Ein Experiment heißt Zufallsexperiment (ZE), falls:

• Alle möglichen Ergebnisse vorab bekannt sind. Bei einer Durchführung des Experiments tritt genau eines der möglichen Ergebnisse ein.
• Das Ergebnis eines einzelnen Experiments nicht vorhergesagt werden kann.

Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }$: Menge aller möglichen Ergebnisse eines ZE
$$\mathrm{\Omega }=\{\omega :\omega \text{ist Ergebnis des ZE}\}$$

Beispiel Zufallsexperiment und Ergebnismenge I

1. Das Werfen eines Würfels und das Feststellen der geworfenen Augenzahl hat die Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$.
2. Das Werfen eines Würfels und das Feststellen, ob der Würfel vom Tisch fällt oder nicht hat die Ergebnismenge
$\mathrm{\Omega }$ = $\{$ " fällt vom Tisch " , " bleibt auf dem Tisch liegen " $\}$.
3. Das Werfen zweier Würfel und das Feststellen der Augensumme hat die Ergebnismenge
$\mathrm{\Omega }=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$.

Beispiele Zufallsexperiment und Ergebnismenge II

4. Das Werfen eines roten und eines blauen Würfels und das Feststellen beider Augenzahlen, hat die Ergebnismenge
$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Omega }& =& \{(i,j);i,j\in \{1,\dots ,6\}\}\\ & =& \left\{\begin{array}{c}(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),\\ (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}\right\},\end{array}$
wobei $(i,j)$ bedeutet: Der rote Würfel zeigt die Zahl $i$ und der Blaue die Zahl $j$.
5. Das Drehen des folgenden Glücksrades und das Feststellen der angezeigten Farbe hat die Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }=\{$ " grau " ," rot " , " gelb " , " grün " , " blau " $\}$

Beispiele Zufallsexperiment und Ergebnismenge III

6. Das Bundesligaspiel des 1.FC Kaiserslautern am kommenden Wochenende und das Feststellen der dabei erreichten Punkte hat die Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }=\{0,1,3\}$.
7. Man würfelt mit einem Würfel solange bis erstmals eine $6$ gewürfelt wird und stellt die Zahl der Würfe fest. Die Ergebnismenge dieses ZE ist $\mathrm{\Omega }=\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$.
8. Man stellt die Zahl der Eier fest, die ein Fischweibchens abgelegt hat. Je nach Fischart sind
$\{0,\dots ,300000\},\{0,\dots ,1000000\},{\mathbb{N}}_0$
geeignete Ergbnismengen.

Beispiele Zufallsexperiment und Ergebnismenge IV

9. Die Auswahl einer Glühbirne und das Feststellen der Brenndauer hat die Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }=[0,\mathrm{\infty })$, wobei $t\in \mathrm{\Omega }$ bedeutet:" Die Glühbirne brennt $t$ Stunden."
10. Die Rotphase einer Ampel beträgt $100$ Sekunden. Man kommt zu einem zufälligen Zeitpunkt an die Ampel und stellt die Wartezeit fest. Die Ergebnismenge dieses ZE ist $\mathrm{\Omega }=[0,100[$ oder $\mathrm{\Omega }=]0,100]$.

Wiederholbarkeit eines ZE

Ein ZE heißt wiederholbar, falls es unter identischen Bedingungen (beliebig oft) wiederholt werden kann.

Beispiel Wiederholbarkeit

In obigem Beispiel sind die ZE (1.)-(5.) und (7.) wiederholbar, (6.) ist nicht wiederholbar. Die ZE (8.)-(10.) können unter bestimmten Umständen als wiederholbar angesehen werden.

Aufgabe

vgl. Weber, Zillmer: Stochastik, Gymnasiale Oberstufe, Lehrbuch (2001)
Im Hinblick auf welche Aspekte können die folgenden Vorgänge als ZE aufgefasst werden:

• Einschlag eines Meteoriten auf der nördlichen Erdhalbkugel
• Gütekontrolle von der laufenden Produktion entnommenen Bauteilen
• Umfrage bezüglich des Wahlverhaltens bei der Landtagswahl

Aufgabe Fortsetzung

• Ziehung der Lottozahlen
• Trinkgeldeinnahmen einer Kellnerin
• Geburt eines Kindes
• Größe einer angesetzten Pilzkultur
• Füllmenge einer $0.7l$ Flasche
• Spielansetzungen eines Fussballverein für eine Saison

Geben Sie jeweils denkbare Ergebnismengen an und überlegen Sie, ob das ZE wiederholbar ist.

Wir betrachten (zunächst) nur ZE mit $|\mathrm{\Omega }|<\mathrm{\infty }$.

Ereignisse

Ist $\mathrm{\Omega }$ die Ergebnismenge eines ZE mit $|\mathrm{\Omega }|<\mathrm{\infty }$, so bezeichnet man jede Teilmenge $A\subseteq \mathrm{\Omega }$ als Ereignis. Die Menge aller Ereignisse ist demzufolge die sogenannte Potenzmenge
$$𝒫=\{A:A\subseteq \mathrm{\Omega }\}.$$

(man vergleiche mit Zufallsexperimente)

Beispiel Ereignis 1.)

Beim Werfen eines Würfels mit $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$ gibt es beispielsweise die folgenden Ereignisse:

$$\begin{array}{ccc}A:& \text{''Die Augenzahl ist gerade.''}& A=\{2,4,6\}\\ B:& \text{''Die Augenzahl ist eine Quadratzahl.''}& B=\{1,4\}\\ C:& \text{''Die Augenzahl ist größer als 10. ''}& C=\{\}\\ D:& \text{''Die Augenzahl ist nicht 3. ''}& D=\{1,2,4,5,6\}\\ E:& \text{''Die Augenzahl ist 6.''}& E=\{6\}\end{array}$$

Beispiel Ereignis 4.)

Beim Werfen eines roten und eines blauen Würfels mit $\mathrm{\Omega }=\{(i,j);i,j\in \{1,\dots ,6\}\}$ gibt es beispielsweise die folgenden Ereignisse:

$$\begin{array}{ccc}A:& \text{''Der rote Würfel zeigt eine 4.''}& A=\{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)\}\\ B:& \text{''Der blaue Würfel zeigt eine 4.''}& B=\{(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4)\}\\ C:& \text{'' Die Augensumme ist 4. ''}& C=\{(1,3),(2,2),(3,1)\}\\ D:& \text{ ... }& D=\{(1,3),(2,4),(2,6),(6,5),(6,6)\}\end{array}$$

Beispiel Ereignis 6.)

Beim ZE mit der Ergebnismenge $\{0,1,3\}$ gibt es insgesamt $8$ Ereignisse, nämlich:

$$\mathrm{\varnothing },\{0\},\{1\},\{3\},\{0,1\},\{0,3\},\{1,3\},\{0,1,3\}$$

Beispiel Ereignis 8.)

Beim Feststellen der Zahl der abgelegten Eier eines Fischweibchens mit der Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }=\{0,\dots ,1000000\}$ gibt es beispielsweise die Ereignisse:
$A:\text{''Die Zahl der abgelegten Eier ist größer als 800000.''},$
$A=\{800001,\dots ,1000000\};$
$B:\text{'' Die Zahl der abgelegten Eier ist ungerade.''}$
$B=\{1,3,5,\dots ,999999\}$

Anmerkungen Ereignis

• Man beachte: Ist $|\mathrm{\Omega }|=n\in \mathbb{N}$, so ist $|𝒫|=2^n$.

• Erhält man bei einer Durchführung des ZE das Ergebnis $\omega \in \mathrm{\Omega }$, so sagt man für ein Ereignis $A$: $$\begin{array}{ccc}A\text{ist eingetreten,}& \text{ falls}& \omega \in A\\ A\text{ist nicht eingetreten,}& \text{ falls}& \omega \notin A\end{array}$$

Beispiel Eintritt eines Ereignisses

Erhält man in obigem Beispiel 1.) das Ergebnis $2$, so sind $A$ und $D$ eingetreten und $B,C$ und $E$ nicht eingetreten.

Weitere Bezeichnungen für Ereignisse

• $A\cap B$ als Und-Ereignis zweier Ereignisse $A,B$
• $A\cup B$ als Oder-Ereignis zweier Ereignisse $A,B$
• $\mathrm{\Omega }\setminus A$ als Gegenereignis von $A$
• $\mathrm{\Omega }$ als sicheres Ereignis
• $\mathrm{\varnothing }$ als unmögliches Ereignis
• $\{\omega \}$ als Elementarereignis, falls $\omega \in \mathrm{\Omega }$ ein Ergebnis ist

Beispiel Weitere Ereignisse

In obigem Beispiel (1.) ist:
$A\cap B=\{4\},A\cup B=\{1,2,4,6\},\mathrm{\Omega }\setminus B=\{2,3,5,6\},$
$\mathrm{\Omega }\setminus C=\mathrm{\Omega },(\mathrm{\Omega }\setminus A)\cap (B\cup E)=\{1,5\}$

Aufgabe

In einer Lostrommel befinden sich 10 Kugeln mit den Nummern $1,\dots ,10$. Eine Kugel wird gezogen. Geben Sie eine Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }$ an, bezüglich der das ZE ein Laplace-Experiment ist. Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von $\mathrm{\Omega }$ und berechnen Sie ihre Wahrscheinlichkeit.

$\begin{array}{ccc}A& :& \text{''Eine ungerade Zahl wird gezogen.''}\\ B& :& \text{''Die gezogene Zahl ist kleiner als 7.''}\\ C& :& \text{''Eine Quadratzahl wird gezogen.''}\end{array}$
$A\cap B\cap C,\mathrm{\Omega }\setminus A,B\cap (A\cup C),(B\cap A)\cup C,$
$\mathrm{\Omega }\setminus (B\cup C),(\mathrm{\Omega }\setminus B)\cup C$

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Ist $\mathrm{\Omega }$ die Ergebnismenge eines ZE (mit $|\mathrm{\Omega }|<\mathrm{\infty }$), so kann man jedem Ereignis $A\in 𝒫$ die Wahrscheinlichkeit
$$P(A)=P_{Laplace}(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}(=\frac{\text{'' günstige ''}}{\text{'' mögliche ''}})$$
zuweisen. Dies ist sinnvoll, wenn man davon ausgeht, dass alle Elementarereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten, es gilt dann
$$P(\{\omega \})=\frac{1}{|\mathrm{\Omega }|}(\text{für alle}\omega \in \mathrm{\Omega }).$$

Beispiele Laplace-Wahrscheinlichkeiten

(man vergleiche mit Zufallsexperimente)

Beispiele Laplace-Wahrscheinlichkeiten I

1.) Beim Werfen eines Würfels mit $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$ sind Laplace-Wahrscheinlichkeiten angebracht. Es gilt $|\mathrm{\Omega }|=6$. Für die Ereignisse aus Ereignisse gilt: $$\begin{array}{ccccccc}|A|=3& \to & P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}& & |B|=2& \to & P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\\ & & & & & & \\ |C|=0& \to & P(C)=\frac{0}{6}=0& & |D|=5& \to & P(D)=\frac{5}{6}\\ & & & & & & \\ |E|=1& \to & P(E)=\frac{1}{6}& & & & \end{array}$$
2.) Beim Werfen eines Würfels mit $\mathrm{\Omega }=\{$ " fällt vom Tisch " , " bleibt auf dem Tisch liegen " $\}$ sind Laplace-Wahrscheinlichkeiten nicht angebracht.

Beispiele Laplace-Wahrscheinlichkeiten II

3.) Beim Werfen zweier Würfel mit der Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }=\{2,3,\dots ,12\}$ (Augensumme) sind Laplace-Wahrscheinlichkeiten nicht angebracht.
4.) Beim Werfen eines roten und eines blauen Würfels mit $\mathrm{\Omega }=\{(i,j);i,j\in \{1,\dots ,6\}\}$ sind Laplace-Wahrscheinlichkeiten angebracht. Es gilt $|\mathrm{\Omega }|=36$. Für die Ereignisse aus Ereignisse gilt: $$\begin{array}{ccccccc}|A|=6& \to & P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}& & |B|=6& \to & P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\\ |C|=3& \to & P(C)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}& & |D|=5& \to & P(D)=\frac{5}{36}\\ |A\cup B|=11& \to & P(A\cup B)=\frac{11}{36}& & |A\cap B|=1& \to & P(A\cap B)=\frac{1}{36}\end{array}$$

Beispiele Laplace-Wahrscheinlichkeiten III

5.) Beim Drehen des dargestellten Glücksrads sind Laplace-Wahrscheinlichkeiten nicht angebracht, da die Winkel der einzelnen Sektoren nicht gleich groß sind.
6.) Beim Fußballspiel mit der Ergebnismenge $\{0,1,3\}$ sind Laplace-Wahrscheinlichkeiten nicht angebracht.

Laplace-Experiment

Man nennt dann das ZE ein Laplace-Experiment und $P(A)$ die Laplace-Wahrscheinlichkeit von $A$.

Ereignisse eines Laplace-Experiments

Für alle Ereignisse eines Laplace-Experiments $A,B\in 𝒫$ gilt:

• $0\le P(A)\le 1$
• $P(\mathrm{\Omega })=1,P(\mathrm{\varnothing })=0$
• Falls $P(A)=1$ gilt, so folgt $A=\mathrm{\Omega }$. Falls $P(A)=0$ gilt, so folgt $A=\mathrm{\varnothing }$.
• $P(\mathrm{\Omega }\setminus A)=1-P(A)$
• Falls $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ ist, so gilt $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• Gilt $A\subseteq B$, so folgt $P(A)\le P(B)$.

Aufgabe:

In einer Lostrommel befinden sich 10 Kugeln mit den Nummern $1,\dots ,10$.

Aufgabe 1.1

Eine Kugel wird gezogen. Geben Sie eine Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }$ an, bezüglich der das ZE ein Laplace-Experiment ist. Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von $\mathrm{\Omega }$ und berechnen Sie ihre Wahrscheinlichkeit.
$$\begin{array}{ccc}A& :& \text{'' Eine ungerade Zahl wird gezogen.''}\\ B& :& \text{'' Die gezogene Zahl ist kleiner als 7.''}\\ C& :& \text{'' Eine Quadratzahl wird gezogen.''}\end{array}$$ $$A\cap B\cap C,\mathrm{\Omega }\setminus A,B\cap (A\cup C),(B\cap A)\cup C,$$
$$\mathrm{\Omega }\setminus (B\cup C),(\mathrm{\Omega }\setminus B)\cup C$$

Aufgabe 1.2

Zwei Kugeln werden mit Zurücklegen gezogen. Geben Sie eine Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }$ an, bezüglich der das ZE ein Laplace-Experiment ist. Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von $\mathrm{\Omega }$ und berechnen Sie ihre Wahrscheinlichkeit.
$$\begin{array}{ccc}A& :& \text{'' Beide Male wird die gleiche Zahl gezogen. ''}\\ B& :& \text{'' Die Summe der gezogenen Zahlen ist 17. ''}\\ C& :& \text{'' Beide Male wird eine der Zahlen }1,\dots ,5\text{ gezogen. ''}\end{array}$$ $$A\cup B,A\cap B,\mathrm{\Omega }\setminus C$$

Aufgabe 1.3

Behandeln Sie Teil (2.) für den Fall, dass die Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden.

Frequentistische Wahrscheinlichkeiten

Führt man ein wiederholbares ZE mit Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }=\{{\omega }_1,\dots ,{\omega }_n\}$ oft ($m$-mal) durch, so definiert man für alle $A\in 𝒫$
$h_m(A)=k,\text{falls das Ereignis}A\text{genau}k-\text{mal eingetreten ist}$
$r_m(A)=\frac{h_m(A)}{m}$
Man nennt $h_m(A)$ die absolute Häufigkeit von $A$ bei $m$ Versuchen und $r_m(A)$ die relative Häufigkeit von $A$ bei $m$ Versuchen.

Beispiel Frequentistische Wahrscheinlichkeiten I

Ein Plastikdeckel wird fallengelassen. Bei diesem (wiederholbaren) ZE unterscheidet man die drei Ergebnisse: $$\begin{array}{cc}O:& \text{er bleibt auf der offenen Seite liegen}\\ G:& \text{er bleibt auf der geschlossenen Seite liegen},\\ R:& \text{er bleibt auf dem Rand liegen}\end{array}$$
Das ZE wird nun $m=400$-mal durchgeführt. Dabei beobachte man $224$-mal das Ergebnis $O$, $155$-mal das Ergebnis $G$ und $21$-mal das Ergebnis $R$. Wir betrachten nun alle Ereignisse:

Beispiel Frequentistische Wahrscheinlichkeiten II

$$\begin{array}{ccccccc}A& h_{400}(A)& r_{400}(A)& & A& h_{400}(A)& r_{400}(A)\\ \mathrm{\varnothing }& 0& 0& & \{O\}& 224& 0.56\\ \{G\}& 155& 0.3875& & \{R\}& 21& 0.0525\\ \{G,O\}& 379& 0.9475& & \{G,R\}& 245& 0.6125\\ \{O,R\}& 176& 0.44& & \{G,R,O\}& 400& 1\end{array}$$

Anmerkungen zur relativen Häufigkeit

Für die relativen Häufigkeiten gilt (für alle $A,B\in 𝒫$):

• $0\le r_m(A)\le 1$
• $r_m(\mathrm{\Omega })=1,r_m(\mathrm{\varnothing })=0$
• Es kann $r_m(A)=1$ gelten, auch wenn $A=\mathrm{\Omega }$ ist. Es kann $r_m(A)=0$ gelten, auch wenn $A=\mathrm{\varnothing }$ ist.
• $r_m(\mathrm{\Omega }\setminus A)=1-r_m(A)$
• Falls $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ ist, so gilt $r_m(A\cup B)=r_m(A)+r_m(B)$.
• $r_m(A\cup B)=r_m(A)+r_m(B)-r_m(A\cap B)$
• Gilt $A\subseteq B$, so folgt $r_m(A)\le r_m(B)$.

Empirische Gesetz der großen Zahlen

Bei wiederholbaren ZE beobachtet man das sogenannte Empirische Gesetz der großen Zahlen. Es besagt:
$\begin{array}{c}\text{Bei einer großen Anzahl }m\text{ von experimenten stabilisiert sich}\\ \text{die relative Häufigkeit eines Ereignisses um einen}\\ \text{festen Zahlenwert }p\in [0,1].\end{array}$

Dabei handelt es sich um ein Naturgesetz und nicht um eine mathematische Aussage. Der Grenzwert $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to \mathrm{\infty }}{r}_m(A)$ muss nicht existieren.

Interpretation von relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten

Es stellt sich nun die Frage, ob es sinnvoll ist, die relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten zu interpretieren (frequentistische Wahrscheinlichkeiten).

Contra

• Führt man weitere Versuche durch (oder startet man eine neue Serie), so verändern sich die relativen Häufigkeiten. Man kann auf diese Art und Weise also keinen bestimmten Wert für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ermitteln.
• Die relativen Häufigkeiten hängen vom Zufall ab. Bei einer festen Versuchszahl $m$ gibt es keine Garantie dafür, dass die relative Häufigkeit sehr weit von dem wahren Wert der Wahrscheinlichkeit entfernt ist (es ist bei großem $m$ zwar unwahrscheinlich, aber nichtsdestotrotz möglich).

Pro

• Das Empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass die Schwankungen der relativen Häufigkeiten bei hoher Versuchszahl (normalerweise) klein sind. Es ist dann extrem wahrscheinlich, dass die relativen Häufigkeiten nahe bei der wahren Wahrscheinlichkeit liegen.
• Oft gibt es keine bessere Methode, Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.

Relative Häufigkeit als Schätzung für Wahrscheinlichkeit I

Die relative Häufigkeit ist also eine Schätzung für die Wahrscheinlichkeit. In der schließenden Statistik (Vorlesung ’Statistik für Anwender II’) werden Methoden entwickelt, mit denen solche Schätzungen auch quantitativ beurteilt werden können.

Nach dem Empirischen Gesetz der großen Zahlen stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten bei einer Zahl $p\in [0,1]$. Dies bedeutet aber nicht, dass sich die Differenzen

$h_m(A)-m\cdot p(m\in \mathbb{N})$
ebenfalls stabilisieren.

Relative Häufigkeit als Schätzung für Wahrscheinlichkeit II

Im Gegenteil beobachtet man (auch hierbei handelt es sich um eine rein empirische Aussage), dass diese Differenzen bei wachsendem $m$ stark schwanken (und dabei jede vorgegebene Schranke über- oder untertreffen).

Subjektive und deterministische Wahrscheinlichkeiten

Bei einem ZE kann man jedem Ergebnis $\omega \in \mathrm{\Omega }$ eine Wahrscheinlichkeitseinschätzung, also eine Zahl $p_{\omega }\in [0,1]$ zuordnen. (Diese Zahl ist ein subjektives Maß für den Grad der persönlichen Überzeugung und kann nicht mathematisch begründet werden (subjektive Wahrscheinlichkeit). Sie kann sich verändern, wenn man neue Erkenntnisse gewinnt.)

Alternativ kann $p_{\omega }$ auch aus theoretischen Überlegungen gewonnen werden (deterministische Wahrscheinlichkeit).

Es muss stets $\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}{p}_{\omega }=1$ gelten. Für $A\in 𝒫$ ergibt sich dann: $P(A)=\sum _{\omega \in A}{p}_{\omega }$

Beispiel subjektive Wahrscheinlichkeit

(man vergleiche mit Zufallsexperimente)

Bei dem Fußballspiel des 1.FCK am kommenden Wochenende mit der Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }=\{0,1,3\}$ ist eine subjektive Einschätzung erforderlich, beispielsweise: $$p_0=0.45,p_1=0.35\text{und}{p}_3=0.2(\text{subjektiv})$$ Daraus ergibt sich dann etwa: $$P(\{1\})=0.35,P(\{1,3\})=0.55\text{und}P(\{0,1,3\})=1$$

Beispiel deterministische Wahrscheinlichkeit I

Bei dem Drehen des Glücksrads macht es (aufgrund der Symmetrie des Rades) Sinn, als Wahrscheinlichkeit für ein $\omega \in \mathrm{\Omega }=\{\text{grau},\text{rot},\text{gelb},\text{grün},\text{blau}\}$ den Wert $$p_{\omega }=\frac{{\alpha }_{\omega }}{360^{\circ }}(\text{wobei}\alpha \text{der Winkel des Kreissektors zu}\omega )(\text{deterministisch})$$ anzusetzen. Es ergibt sich:

$$\begin{array}{ccc}\text{Ergebnis }\omega & \text{Winkel }{\alpha }_{\omega }& \text{Wahrscheinlichkeit }{p}_{\omega }\\ \text{grau}& {\alpha }_{\text{grau}}=80^{\circ }& p_{\text{grau}}=\frac{80^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{2}{9}\\ \text{rot}& {\alpha }_{\text{rot}}=40^{\circ }& p_{\text{rot}}=\frac{40^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{1}{9}\\ \text{gelb}& {\alpha }_{\text{gelb}}=80^{\circ }& p_{\text{gelb}}=\frac{80^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{2}{9}\\ \text{grün}& {\alpha }_{\text{grün}}=40^{\circ }& p_{\text{grün}}=\frac{40^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{1}{9}\\ \text{blau}& {\alpha }_{\text{blau}}=120^{\circ }& p_{\text{blau}}=\frac{120^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{2}{9}\end{array}$$

Beispiel deterministische Wahrscheinlichkeit II

$$\begin{array}{ccc}\text{Folglich:}P(\{\text{rot, blau}\})& =& \frac{4}{9}\\ P\left(\underset{=\{\text{grau},\text{gelb},\text{grün}\}}{\underbrace{\mathrm{\Omega }\setminus \{\text{rot, blau}\}}}\right)& =& \frac{5}{9}\\ \text{Also gilt:}P(\mathrm{\Omega }\setminus \{\text{rot, blau}\})& =& 1-P(\{\text{rot, blau}\})\end{array}$$

Aufgabe 1.1

Ein Schüler hat eine Arbeit geschrieben, bei der die Noten $1,\dots ,6$ möglich sind. Danach nimmt er folgende (subjektive) Einschätzungen vor:

• Die Chance, dass er entweder eine 1 oder eine 2 erhält, schätzt er auf $30\mathrm{\%}$.
• Die Chance, dass er entweder eine 2 oder eine 3 erhält, schätzt er auf $75\mathrm{\%}$.
• Die Chance, dass er entweder eine 3 oder eine 4 erhält, schätzt er auf $65\mathrm{\%}$.
• Die Chance, dass er entweder eine 4 oder eine 5 erhält, schätzt er auf $20\mathrm{\%}$.
• Er ist sich absolut sicher, dass er keine 6 erhält.

Aufgabe 1.2

Wie groß ist demnach die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Noten?

Aufgabe 2.1

An einer Bushaltestelle fahren vier Linien zur Universität. Sie fahren immer im stündlichen Rhythmus ab und zwar:

• Linie 1 immer zur vollen Stunde

• Linie 2 immer um 12 Minuten nach der vollen Stunde

• Linie 3 immer um 28 Minuten nach der vollen Stunde

• Linie 4 immer um 42 Minuten nach der vollen Stunde

Aufgabe 2.2

Ein Student, der seine Uhr verloren hat, begibt sich nach dem Aufstehen zur Haltestelle und nimmt den nächsten Bus zur Universität. Weisen Sie den 4 Linien sinnvolle (deterministische) Wahrscheinlichkeiten zu. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Student eine der Linien 1 oder 3 erwischt?

Wahrscheinlichkeitsmaße

Wahrscheinlichkeitsmaß und Wahrscheinlichkeitsraum

Ist $|\mathrm{\Omega }|<\mathrm{\infty }$, so heißt eine Funktion $P:𝒫\to ℝ$ mit

• $P(A)\ge 0$ für alle $A\in 𝒫$ (Nichtnegativität)
• $P(\mathrm{\Omega })=1$ (Normiertheit)
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ für alle $A,B\in 𝒫$ mit $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ (Additivität)

ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\mathrm{\Omega }$. Man nennt dann $(\mathrm{\Omega },P)$ (bzw. $(\mathrm{\Omega },𝒫,P)$) einen Wahrscheinlichkeitsraum.

Eigenschaften Wahrscheinlichkeitsmaß und Wahrscheinlichkeitsraum

Weitere Eigenschaften lassen sich aus diesen Axiomen ableiten. Ist $(\mathrm{\Omega },P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, so gilt zwingend für alle $A,B\in 𝒫$:

• $P(\mathrm{\varnothing })=0$ und $P(A)\le 1$
• $P(\mathrm{\Omega }\setminus A)=1-P(A)$
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• Für $A\subseteq B$ gilt $P(A)\le P(B)$. Genauer gilt dann $P(A)=P(B)-P(B\setminus A)$.
• $P(A_1\cup \dots \cup A_n)=P(A_1)+\dots +P(A_n)$, falls $A_1,\dots ,A_n\in 𝒫$ mit $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }(i=j)$

Festlegung eines Wahrscheinlichkeitsraum I

Für die Festlegung eines W-Raumes gibt es (aus Sicht der Mathematik) bis auf obige Axiome keine Vorgaben. Wir haben verschiedene Ansätze vorgestellt, mit denen man zu einem W-Maß kommen kann. Dabei handelt es sich um die Bildung eines Modells, dessen Gültigkeit nicht mit rein mathematischen Methoden belegt werden kann. Hat man jedoch einen (sinnvollen) W-Raum festgelegt, so kann man damit innermathematisch weiterarbeiten und neue Erkenntnisse gewinnen. (Diese kann man dann wiederum (im Sinne eines Modellbildungskreislaufs) einsetzen, um das Modell (also die Festlegung des W-Raumes) erneut zu hinterfragen.)

Festlegung eines Wahrscheinlichkeitsraum II

Innerhalb der Wahrscheinlichkeitsrechnung arbeitet man meist gegebenen W-Räumen. Man geht also davon aus, dass man bereits über ein geeignetes Modell verfügt. (Die Wahl dieses Modells kann dabei in manchen Fällen mit Hilfe geeigneter Annahmen begründet werden.)

In der Praxis stellt sich oft ein anderes (schwierigeres) Problem: Mithilfe von zufälligen Beobachtungen (typischerweise von vielen Durchführungen eines ZE) soll das zugrundeliegende Modell (also der W-Raum) hinterfragt werden. Dies ist Gegenstand der schließenden Statistik (Vorlesung ’Statistik für Anwender’).

Aufgabe 1.1

Begründen Sie, ob die Laplace-Verteilung eines Würfels ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Überprüfen Sie die Eigenschaften anhand mehrerer Beisiele oder Argumentieren Sie logisch.
Überprüfen Sie auch, anhand von Beispielen für einen Würfel oder begründen Sie, weshalb die folgenden Eigenschaften aus den Eigenschaften für ein Wahrscheinlichkeitsmaß folgern.

Aufgabe 1.2

1. $P(\mathrm{\varnothing })=0$
2. $P(A)\le 1$
3. $P(\mathrm{\Omega }\setminus A)=1-P(A)$
4. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
5. Falls $A\subseteq B$ ist, gilt $P(A)\le P(B)$. Es gilt sogar $P(A)=P(B)-P(B\setminus A)$
6. $P(A_1\cup \dots \cup A_n)=P(A_1)+\dots +P(A_n)$ falls $A_1,\dots A_n\in 𝒫(\mathrm{\Omega })$ mit $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$ für $i\ne j$

Aufgabe 2.1

Würfeln Sie mit einem Würfel $m=60$ mal und notieren Sie die Anzahl der gewürfelten Augenzahl in der unten stehenden Tabelle unter $h_m$ (Wenn Sie wollen, können Sie diesen Würfelsimulator verwenden, er notiert auch direkt die Häufigkeit der geworfenen Augenzahl: https://www.mathematik.tu-clausthal.de/interaktiv/simulation/wuerfelsimulator ). Bestimmen Sie die absoluten Häufigkeiten und relativen Häufigkeiten. Was fällt Ihnen auf und was vermuten Sie? Vergleichen Sie dafür die relativen Häufigkeiten mit den Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Elementarereignisse $P(\omega )$ mit ${\omega }_j\in \mathrm{\Omega }$ mit $j=1,\dots ,6$. Geben Sie auch $\mathrm{\Omega }$ selbst an.

Aufgabe 2.2

$$\begin{array}{ccccccc}{\omega }_j& {\omega }_1=1& {\omega }_2=2& {\omega }_3=3& {\omega }_4=4& {\omega }_5=5& {\omega }_6=6\\ h_m& & & & & & \\ r_m& & & & & & \\ P({\omega }_j)& & & & & & \\ P({\omega }_j)\cdot m& & & & & & \end{array}$$
Bestimmen Sie sowohl die subjektive Wahrscheinlichkeit $P_S$ sowie die deterministische Wahrscheinlichkeit $P_D$ für die Menge der Primzahlen $A$ und die Menge der geraden Zahlen $B$.

1. $P(A\cap B)$
2. $P(A\cup B)$
3. $P(\mathrm{\Omega }\setminus A)$
4. $P(\mathrm{\Omega })$
5. $P(\mathrm{\varnothing })$

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