Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schwangerschaft/Modellierungszyklus Uni

Ziel

• Betrachtung einer größeren Gruppengröße
• Bestimmung Anz. unter 20-Jährige, die in Niger verhüten müssten, um auf unter 6 % Jugendschwangerschaften zu kommen
• dabei Vergleich Verhütung mit Kondom/ Pille
• Kosten mit einbeziehen

Mathematische Theorie

Definition diskreter ZV

• Betrachtung eines diskreten W-Raums $(\mathrm{\Omega },𝒫\mathcal{(}\mathrm{\Omega }\mathcal{)},P)$, $\mathrm{\Omega }$ ist also diskret (d.h. endlich oder abzählbar unendlich)

• Funktion $X$ auf $\mathrm{\Omega }$ mit $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ , $\omega \mapsto X(\omega )$ heißt diskrete ZV

• $P(X=a_i)$ bezeichnet mit welcher W-keit $a\in X(\mathrm{\Omega })$ angenommen wird

Poissonverteilung (Verteilung der seltenen Ereignisse)

• Eine diskrete ZV $X$ heißt Poisson-verteilt mit Parameter $\lambda \in {ℝ}^{+}$ (erwartete Ereignishäufigkeit), falls $X(\mathrm{\Omega })={\mathbb{N}}_0$ und:

$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}\cdot e^{-\lambda }$ für alle $k\in {\mathbb{N}}_0$ (Verteilung von X)

• → Ergibt sich aus Binomialverteilung für große $n$ & kleine $p$ (also für seltene Ereignisse), denn $\frac{{\lambda }^k}{k!}\cdot e^{-\lambda }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot {\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k\cdot {(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}$

• $\lambda$ wird typischerweise aus Daten gewonnen, jedoch kann man bei (passender) zugrundeliegender Binomialverteilung $\lambda =n\cdot p$ setzen

• Faustregel hierfür: $n\ge 100$ und $p\le 0,1$

Erwartungswert diskreter ZV

• Für eine diskrete ZV $X$ definiert man: $E(X)=\sum _{a\in X(\mathrm{\Omega })}a\cdot P(X=a)\in ℝ$ falls diese Summe konvergiert.

• EW bezieht sich nicht auf Daten, sondern auf eine zukünftige Durchführung des zugehörigen Zufallsexperiments.

• Entspricht durchschnittlich zu erwartendem Wert, der von der ZV angenommen wird

• Eigenschaften:

• (i) $E(u\cdot X+v)=u\cdot E(X)+v$ bzw. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ (Linearität)

• (ii) Falls $X,Y$ unabhängig sind: $E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)$

Erwartungswert ausgewählter diskreter ZV

• Eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ hat den Erwartungswert: $E(X)=\sum _{k\in X(\mathrm{\Omega })}k\cdot P(X=k)=\sum _{k=0}^{n}k\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}=n\cdot p$

• Eine Poisson-verteilte Zufallsvariable $Y$ hat den Erwartungswert: $E(Y)=\sum _{k\in Y(\mathrm{\Omega })}k\cdot P(Y=k)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k\cdot \frac{{\lambda }^k}{k!}\cdot e^{-\lambda }=\lambda$

Modellierung

Poissonverteilung

• Poissonverteilung als Verbesserung für kleine p und große n (Binomialverteilung hier zu großer Rechenaufwand)
• n = 2.549.082
• Zufallsvariablen:

• $X:$ Anzahl unter 20-Jährige, die trotz Verhütung mit der Pille schwanger werden

• $Y:$ Anzahl unter 20-Jährige, die trotz Verhütung mit Kondom schwanger werden

• $Z:$ Anzahl unter 20-Jährige, die ohne Verhütung in Niger schwanger werden

Parameter λ für Verteilung

Pille: ${\lambda }_X=n\cdot p=2.549.082\cdot 0,0075=19.118,115$

Kondom: ${\lambda }_Y=n\cdot p=2.549.082\cdot 0,05=127.454,1$

Niger: ${\lambda }_Z=n\cdot p=2.549.082\cdot 0,0902=229.927,1964$

Verteilungen

Pille

Abbildung 16: Poissonverteilung Verhütung mit Pille

Kondom

Abbildung 17: Poissonverteilung Verhütung mit Kondom

Niger

Abbildung 18: Poissonverteilung Niger ohne Verhütung

Ungleichung

• Ziel: Jugendschwangerschaften auf unter 6 % (Pille auch unter 2 %) drücken --> Verbesserung um 3 Prozentpunkte
• gesucht: n (= Anzahl Teenager, die verhüten müssten)
• 6% stellen relative Häufigkeit aller Teenagerschwangerschaften dar mit oder ohne Verhütung (Mengen sind disjunkt)

$R_n=\frac{h}{2.549.082}\le 0,06$ , wobei h:= Gesamtzahl aller Jugendschwangerschaften

1) $(2.549.082-n)\cdot 0,0902$

2) $n\cdot 0,05$ (für Kondom, bzw. für Pille: 2) $n\cdot 0,0075$)
zu 1) Schwanger ohne Verhütung, zu 2) Schwanger trotz Verhütung

Rechnung in Maxima

Aufstellung Ungleichung Kondom

Abbildung 19: Rechnung in Maxima, Aufstellung Ungleichung Kondom

Lösung Ungleichung Kondom

Abbildung 20: Rechnung in Maxima, Lösung der Ungleichung zu Kondom

Lösung Ungleichung Pille 6%

Abbildung 21: Rechnung in Maxima, Lösung der Ungleichung zu Pille für 6%

Lösung Ungleichung Pille 2 %

Abbildung 22: Rechnung in Maxima, Lösung der Ungleichung zu Pille für 2%

Kostenberechnung

• Schätzung Produktionskosten Kondom 10 ct pro Stück , Pille auf 2 € pro Monatspackung
• Schätzung Teenager haben 10 mal im Monat Geschlechtsverkehr

Kostenfunktion

Abbildung 23: Kostenfunktion für Pille und Kondom

Kosten bezogen auf vorherige Ergebnisse

• Kostenfunktion zeigt, dass Kosten für Pille pro Monat ca. doppelt so hoch
• bezogen auf Anzahl n von Ungleichung:

• Kondom: $1.914.982\cdot k(12)=22.979.784$
• Pille: $930.862\cdot p(12)=22.340.688$

• Unterschied von 640.000 € (Fazit folgt später)

Umsetzung in Geogebra

• Poissonverteilung: Name=Poisson(λ)
• Skalierung der Achsen: Rechte Maustaste → Grafik → für x-Achse und y-Achse gewünschte Skalierung eintragen
• Befehl "Strahl" mit Punkt A=(0,0) und B=(1,1) für die Kostenfunktion von Kondomen (B=(1,2) für Pille)

Umsetzung in Maxima

• ratsimp(%oX); → Vereinfacht den Term der in Zeile %oX steht
• load(to_poly_solve); → ermöglicht die Verwendung eines Packages (beim ersten Download von Maxima dabei, aber nicht in den Standardfunktionen enthalten), dass das Lösen von Ungleichungen möglich macht
• to_poly_solve(u,n); → löst die zuvor definierte Ungleichung mit dem Namen u nach der Variable n

Vereinfachungen

• absolute Anzahl aller unter-20-Jährigen wurde betrachtet, können aber nicht alle schon schwanger werden
• möchten ggf. keine Verhütungmittel verwenden (Kinder bedeuten in Niger oft soziale Sicherheit)
• Annahme, dass Wsk., dass Frau schwanger wird jeden Tag gleich hoch ist
• Abweichung von Erwartungswert wird nicht berücksichtigt
• Schätzungen Produktionspreise und keine Berücksichtigung Transport/ Mengenrabatt
• Schätzung Anzahl benötigte Kondome pro Monat, Frau sorgt für Verhütung

Bewertung

• Jugendschwangerschaften durch die Pille deutlich stärker auf einen kleinen Anteil gedrückt
• Vergleich zu Deutschland: Anteil der Schwangeren bereits viel kleiner
  → bessere Aufklärung und verbreitete Verhütung mit Pille und Kombination
  → auch Nutzung der Pille danach
• Richtwert für Hilfsorganisationen kann geschaffen werden
  → zusätzliche Berücksichtigung sozialer und gesundheitlicher Aspekte

Warum Umsetzung in Maxima

• Rechenschritte und Lösung nachvollziehbar

• in Libre Calc Ungleichungen nicht einfach lösbar