Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Volumenschätzung und Verbrauch von Ressourcen/Mathematische Lernvoraussetzungen Sek II

Mathematische Lernvoraussetzungen - Niveau Sekundarstufe II

Funktionen

• Zuordnung zwischen einer Definitionsmenge $𝔻$ und einer (Ziel-) Menge $𝕄$, die jedem Element x aus $𝔻$ genau ein Element y aus $𝕄$ zuordnet:
  $f:𝔻\to 𝕄,x⟼y$

Wellenfunktion

• beschreibt die Auslenkung eines von der Welle erfassten Teilchens in y-Richtung an einem beliebigen Ort x zu einem beliebigen Zeitpunkt t
• beschreibbar mithilfe der Sinus- oder Kosinus-Funktion
• 2π-periodische Wellenfunktion: $a\cdot cos(\frac{x}{a})$
• abflachender/dämpfender Faktor: $e^{-(\frac{x}{10a}{)}^2}$
• Daraus folgt als annähernde Wellenfunktion: $f(x)=a\cdot cos(\frac{x}{a})\cdot e^{-(\frac{x}{10a}{)}^2}$

Abschätzen von Funktionen

• Abschätzungen von Funktionen mithilfe oberer Grenzen und Näherungsfaktoren

Integralrechnung

• unbestimmtes Integral
  • F ist eine Funktion, deren erste Ableitung die ursprüngliche Funktion f ist
  • F heißt Stammfunktion von f
• bei Addition und Subraktion einer beliebigen Zahl zu F, erhält man eine weitere Stammfunktion
• bestimmtes Integral ergibt eine Zahl: entspricht der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse

Integral einer Funktion

Hauptsatz der Differential und Integralrechnung

• Sei $f:[a,b]\to ℝ$ eine reelwertige stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,b]\subset ℝ$:

für alle $x_0\in [a,b]$ ist die Integralfunktion $F:[a,b]\to ℝ$ mit $F(x)=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$ differenzierbar und eine Stammfunktion von $f$

für alle $x\in [a,b]$ gilt: $F^{\prime }(x)=f(x)$

• Sei $f:[a,b]\to ℝ$ eine stetige Funktion mit Stammfunktion $F:[a,b]\to ℝ$

Berechnung Integral in den Integrationsgrenzen a und b:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={[F(x)]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Rotationsvolumen

Rotation einer Sinuskurve

Rotation einer Sinuskurve

Rotation um die x-Achse

• durch Drehung einer Kurve um die x-Achse ensteht ein Rotationskörper mit Volumen V
• Volumen berechnet sich im Intervall $[a,b]$ folgendermaßen: $V=\pi \cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}{\left(f\left(x\right)\right)}^{2}dx$

Rotation um die y-Achse

• durch Drehung einer Kurve um die y-Achse ensteht ein Rotationskörper mit Volumen V
• Volumen berechnet sich mithilfe der Umkehrfunktion $f^{-1}\left(y\right)$ mit $f(x)$ stetig und monoton im Intervall $[a,b]$ folgendermaßen: $V=\pi \cdot \underset{f(a)}{\overset{f(b)}{\int }}{\left(f^{-1}\left(y\right)\right)}^{2}dy$ mit $f(a)$und $f(b)$ Grenzen des Wertebereichs mit $f(b)>f(a)$ oder:
  $V=\pi \cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^2|f^{\text{'}}(x))|dx$