Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Modellierung Fleischkonsum/Mathematische Grundlagen

Mathematische Grundlagen Sek 1

Einfache lineare Regression

Bei der einfachen linearen Regression betrachten wir den linearen Zusammenhang zwischen einer abhängigen Variablen (Kriterium) und einer unabhängigen Variable (Prädiktor).
Ziel ist es, mit Hilfe der Prädiktorvariable eine Vorhersage für die Werte der Kriteriumsvariable zu finden.

Regressionsgleichung

$f(x)={\alpha }_0+{\alpha }_{1}x$

$f(x)$: Vorhergesagter Wert auf dem Kriterium y für den jeweiligen Messwert

$x$: Messwert auf dem Prädiktor x (Wert der Variablen, die zur Vorhersage genutzt wird)

${\alpha }_1$: Regressionsgewicht/ -koeffizent, Steigung der Regressionsgeraden

${\alpha }_0$:y-Achsenabschnitt der Regressionsgeraden

Berechnung der Regressionsgleichung

Vorrausetzung: Daten mit zwei verschiedenen Variablen (Kriterium und Prädiktor)

$\bar{x}:=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots +x_n)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$

$S_{xx}:=(x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\dots +(x_n-\bar{x}{)}^2=\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$

$S_{xy}:=(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+\dots +(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y})=\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$

${\alpha }_1=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})y_i}{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}=\frac{S{P}_{xy}}{S{Q}_x}$
${\alpha }_1=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i{y}_i)-n\bar{x}\bar{y}}{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)-n\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}}$

${\alpha }_0=\bar{y}-{\alpha }_1\bar{x}$

Regressionsgerade einzeichnen

• lineare Gleichungen der Form :$f(x)=m*x+b$ in ein Koordinatensystem einzeichnen
  

Gebrochenrationale Funktion

Grundlagen

• Allgemeine Form:$f(x)=\frac{a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_0}{b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_0}=\frac{P_m(x)}{Q_n(x)}$

mit natürlichen Zahlen $m$ und $n$

• Einfluss verschiedener Parameter bei der gewählten Funktion:
  

$f(x)=\frac{a}{1+(\frac{x}{s}{)}^2}$

Abbildung 8: Einfluss der Parameter auf gebrochenrationale Funktion

• a: Verschiebung des Maximums auf der y-Achse
• s: Graf wird steiler/flacher

natürliche Exponentialfunktion

• auch "e-Funktion" genannt
• Definition: Funktionen, der Form $f:IR$→$I{R}^{+}$, x→ $e^x$, wobei e die eulersche Zahl $e=2,718281828459\dots$ ist.
  

Grenzverhalten e-Funktion

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\exp (x))=\mathrm{\infty }$
• $\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(\exp (x))=0$

Verkettete e-Funktion und Einfluss von Parametern

Mathematische Grundlagen Sek 2

Gleitender Mittelwert

• Methode zur Glättung von Datenreihen
• Folge von arithmetische Mittelwerten über eine sich ändernde aber gleich groß bleibende Untermenge der insgesamt erhobenen Werte
• einfacher gleitender Durchschnitt n-ter Ordnung: $m_{\text{MA}}^{(n)}(t)=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}x(t-i)$

Flächeninhalt unter Kurve mit Hilfe von Trapezen bestimmen

• Flächeninhalt Trapez: $A=\frac{(a+c)\cdot h}{2}$
• Flächeninhalt unter Kurve in Trapeze einteilen, einzelne Flächeninhalte berechnen und addieren

• 

  Abbildung 5: Berechnung der Flächeninhaltes mit Hilfe von Trapezen

Integralrechnung

• Stammfunktion bilden (gegebenenfalls mit Computeralgebrasystem)
• Grenzen wählen und in Stammfunktion einsetzen

Mathematische Grundlagen Uni-Niveau

Differenzieren

• Partielle Ableitung: Ableiten einer Funktion mit mehreren Variablen nach einer Variablen
• Gradient: Vektor aus den ersten partiellen Ableitungen

$\text{grad}f=\mathrm{\nabla }f:={(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n})}^T$

Gradientenabstiegsverfahren

siehe Gradientenabstiegsverfahren

Idee

• Verfahren, um allgemeine Orientierungsprobleme zu löse
• Minimierungsverfahren: man startet bei Näherungswert und geht schrittweise in Richtung des negativen Gradienten bis man keine Verbesserung mehr der Näherungswerte erhält

Animation

• Datei:Gradient Descent in 2D.webm

Verfahren

• Fehlerfunktion bilden
• Gradient aus partiellen Ableitungen bilden (Gradient gibt Steigung an)
• Gradient normieren: Länge/Norm berechnen: $\Vert (x,y)\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$, mit Kehrwert multiplizieren
• negativer Gradient zeigt in die Richtung, in der die Funktionswerte fallen
• falls man bei einem Iterationsschritt über Maximum springt, wird die Schrittweite verkleinert
• Abbruchkriterium: wenn der Gradient null ist