Hausdorff-Raum

Definition - Hausdorff-Raum

Sei $(X,{𝒯}_X)$ ein topologischer Raum mit $𝒯\subseteq \mathrm{\wp }(X)$ als System von offenen Mengen. $(X,{𝒯}_X)$ heißt Hausdorff-Raum bzw. $T_2$-Raum, wenn es für zwei beliebige Punkte $x,y\in X$ mit $x<=y$ offene Mengen $U,V\in {𝒯}_X$ gibt, mit:

$x\in U\wedge y\in V\wedge U\cap V=\mathrm{\varnothing }$

Graphische Darstellung der Hausdorff-Eigenschaft

Aufgaben

• Definieren Sie unterschiedliche Topologie auf der Menge der stetigen Funktionen $𝒞([a,b],ℝ)$ von dem Intervall $[a,b]$ nach $ℝ$, die die Hausdorff-Trennungseigenschaften besitzen.
• Sei $ℐ([a,b],ℝ)$ die Menge der integrablen Funktion von dem Intervall $[a,b]$ nach $ℝ$ mit Halbnorm

$\Vert f{\Vert }_1:=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx.$

Zeigen Sie, dass $ℐ([a,b],ℝ)$ mit der durch $\Vert \cdot {\Vert }_1$ definierten Halbnorm, die Hausdorff-Trennungseigenschaften nicht besitzt.

Siehe auch

• Topologischer Raum
• Halbnorm
• Normen, Metriken, Topologie
• Quiz zur Topologie
• Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen