Minkowski-Raum/Beobachtervektor/Abschätzung/Aufgabe/Lösung

Für zwei nicht kolineare Vektoren $z_1$ und $z_2$ existieren genau zwei $\lambda \in ℝ$, sodass $\lambda z_1+z_2$ lichtartig ist. Dann gilt:

$0=⟨\lambda z_1+z_2,\lambda z_1+z_2⟩={\lambda }^2⟨z_1,z_1⟩+2⟨z_1,z_2⟩+⟨z_2,z_2⟩$

Dann muss jedoch $4[⟨z_1,z_2{⟩}^2-⟨z_1,z_1⟩⟨z_2,z_2⟩]>0$ gelten, dies impliziert jedoch $⟨z_1,z_2{⟩}^2>⟨z_1,z_1⟩\cdot ⟨z_2,z_2⟩$

Sind $z_1$ und $z_2$ kolinear, so existiert ein $\lambda \ne 0\in ℝ$ mit $z_1=\lambda z_2$, dann gilt:

$⟨z_1,z_2{⟩}^2=⟨z_2,z_1⟩\cdot ⟨z_1,z_2⟩=⟨\frac{1}{\lambda }{z}_1,z_1⟩\cdot ⟨\lambda z_2,z_2⟩=⟨z_1,z_1⟩\cdot ⟨z_2,z_2⟩$