Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren

Einleitung

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Orthogonal - Orthonormal

Das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren ist ein Spezialfall des Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren, bei dem aus einem gegebenen System linear unabhängiger Vektoren (z.B. einer Hamelbasis) ein System von orthogonal zueinander stehenden Vektoren der Länge 1 ersteht. ist ein Algorithmus aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra.

Orthogonalsystem

Das Verfahren erzeugt zu jedem System linear unabhängiger Vektoren aus einem Prähilbertraum (einem Vektorraum mit Skalarprodukt) ein Orthogonalsystem, das denselben Untervektorraum erzeugt.

Orthonormalsystem

Aus dem Orthogonalsystem erhält man durch Normalisierung $v_k:=\frac{w_k}{\Vert w_k\Vert }$ ein Orthonormalsystem. Die Normalisierung ist möglich, da linear unabhängige Vektoren sich vom Nullvektor unterscheiden und damit eine positive Länge haben $\Vert w_k\Vert >0$.

Basis/Hamelbasis

Verwendet man ein System von Basisvektoren als Eingabe für die Algorithmen, so berechnen sie eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis.

Numerische Berechnung von Orthonormalsystem

Für die numerische Berechnung durch einen Computer mit Gleitpunktarithmetik sind die Gram-Schmidt-Verfahren schlecht geeignet. Durch akkumulierte Rundungsfehler weisen die berechneten Vektoren z.T. deutliche Abweichung von orthogonalen Vektor auf. Es existieren aber Modifikationen des Verfahrens, die diesen Nachteil nicht haben. Andere Orthogonalisierungsverfahren basieren auf Householdertransformationen oder Givens-Rotationen.

Geschichte

Die beiden Verfahren sind nach Jørgen Pedersen Gram und Erhard Schmidt benannt. Sie wurden allerdings bereits früher in den Werken von Pierre-Simon Laplace und Augustin-Louis Cauchy verwendet.

Orthonormalisierungsatz nach Gram-Schmidt

Im Folgenden betrachteten man ein separablen Hilbertraum $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ mit einer abzählbaren Basis $B=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\{b_n\}\subset V$. Dann gibt es ein Orthonormalsystem $B_0=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\{v_n\}\subset V$ mit der Eigenschaft:

• (ON1) $Span(B)=Span(B_0)$
• (ON2) $⟨v_k,v_n⟩=0$ für alle $n,k\in \mathbb{N}$ und $n=k$
• (ON3) $\Vert v_n\Vert =1$ für alle $n\in \mathbb{N}$

Bemerkung - Orthogonalprojektion

Für zwei beliebige vom Nullvektor $0_V$ verschiedene Vektoren $v,w\in V$ ist die Orthogonalprojektion von $w$ auf $v=0_V$ über das Skalarprodukt wie folgt definiert.

$P_v(w):=\frac{⟨v,w⟩}{⟨v,v⟩}\cdot v=\frac{⟨v,w⟩}{\Vert v{\Vert }^2}\cdot v$

Bemerkung - seminlinear komplexer Fall

Im komplexen Fall wird dabei die Konvention verwendet, dass das Skalarprodukt im ersten Argument semilinear, im zweiten Argument linear ist, das heißt

$⟨\lambda v,w⟩=\bar{\lambda }⟨v,w⟩,⟨v,\lambda w⟩=\lambda ⟨v,w⟩$

für alle Vektoren $v$, $w$ und alle $\lambda \in ℂ$. Im komplexen Fall kommt es deshalb bei den unten dargestellten Formeln auf die Reihenfolge der Faktoren im Skalarprodukt an, im reellen Fall jedoch nicht.

Bemerkung - Skalarproduktinduzierte Norm

Zudem bezeichnet $\Vert v\Vert =\sqrt{⟨v,v⟩}$ die Norm des Vektors $v$. Dabei liegt der von $B_0=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\{v_n\}$ aufgespannte Untervektorraum dicht in $V$ bzgl. dieser Norm.

Animation - Orthonormalisierung

Illustration des Gram-Schmidt-Verfahrens an einem Beispiel mit drei Vektoren.

Bemerkung - Orthogonalisierung

Für die Orthogonalisierung des 3. Vektors $v_3$ subtrahiert die Orthogonalprojektionen von $v_3$ auf die bereits orthogonalisierten Vektoren $u_1$ und $u_2$ und erhält dann $u_3$.

$u_3:=v_3-\sum _{k=1}^2\frac{⟨u_k,v_3⟩}{⟨u_k,u_k⟩}{u}_k$

Dieses Vorgehen entspricht dem induktiv im konstruktiven Beweis des Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren, bei dem $u_{n+1}$ über die Subtraktion der Orthogonalprojektion von $v_{n+1}$ auf die $n$ vorher bereits orthogonalisierten Vektoren $u_1,...,u_n$ berechnet wird.

Algorithmus des Orthogonalisierungsverfahrens

Die Kontruktion und der Beweis für abzählbar viele Basisvektoren erfolgt über vollständige Induktion.

Induktionsanfang

Zunächt einmal wird als Induktionsanfang der erste Vektor gewählt $v_1:=w_1$ gewählt. Im Gegensatz zur Orthonormalisierung muss hier $v_1$ nicht normiert werden.

• Definiere $V_1:=Span(\{v_1\})=Span(\{w_1\})$
• Für die Orthogonalität ist nichts zu überprüfen, da es in dem System $B_1$ keine zwei paarweise verschiedene Vektoren gibt.

Induktionsvoraussetzung

Seien nun $n$ linear unabhängigen Vektoren $w_1,\dots ,w_n$ in ein Orthogonalsystem von $n$ paarweise orthogonalen Vektoren überführt worden, mit $B_n:=\{v_1,\dots ,v_n\}$:

• (ON1) $V_n:=Span(\{v_1,\dots ,v_n\})=Span(\{b_1,\dots ,b_n\})$
• (ON2) $⟨v_k,v_m⟩=0$ für alle $k,m\in \{1,\dots ,n\}$ und $m=k$

Induktionsbehauptung

Man kann einen weiteren Vektor $v_{n+1}\in V$ so wählen, dass mit $B_{n+1}:=\{v_1,\dots ,v_n,v_{n+1}\}$:

• (ON1) $V_{n+1}:=Span(\{v_1,\dots ,v_n,v_{n+1}\})=Span(\{b_1,\dots ,b_n,b_{n+1}\})$
• (ON2) $⟨v_k,v_m⟩=0$ für alle $k,m\in \{1,\dots ,n,n+1\}$ und $m=k$

Induktionschritt

Der Vektor $v_{n+1}\in V$ wird über $b_{n+1}\in B$ und die Projektion von $b_{n+1}\in B$ auf Vektoren aus dem Orthogonalsystem aus $v_1,\dots ,v_n$ definiert.

$v_{n+1}:=b_{n+1}-\sum _{k=1}^n\frac{⟨v_k,b_{n+1}⟩}{⟨v_k,v_k⟩}{v}_k$

Span

Die Bedingung (ON1) $V_{n+1}:=Span(\{v_1,\dots ,v_n,v_{n+1}\})=Span(\{b_1,\dots ,b_n,b_{n+1}\})$ gilt über den Nachweis von zwei Mengeninklusionen.

• $V_{n+1}=Span(\{v_1,\dots ,v_n,v_{n+1}\})\subseteq Span(\{b_1,\dots ,b_n,b_{n+1}\})$
• $V_{n+1}=Span(\{v_1,\dots ,v_n,v_{n+1}\})\supseteq Span(\{b_1,\dots ,b_n,b_{n+1}\})$

Span - Mengeninklusion 1

Aus $w\in V_{n+1}:=Span(\{v_1,\dots ,v_n,v_{n+1}\})$ folgt, dass es ein $w_1\in V_n$ und ein $w_2=\lambda \cdot v_{n+1}\in Span(\{v_{n+1}\})$ gibt mit:

$\begin{array}{ccc}w& =& w_1+w_2=w_1+\lambda \cdot v_{n+1}=\\ & =& \underset{\in V_n=Span(\{b_1,...,b_n\})}{\underbrace{w_1}}+\lambda \cdot \underset{\in Span(\{b_1,...,b_n,b_{n+1}\})}{\underbrace{(b_{n+1}-\underset{\in V_n=Span(\{b_1,...,b_n\})}{\underbrace{\sum _{i=1}^n\frac{⟨v_i,b_{n+1}⟩}{⟨v_i,v_i⟩}{v}_i}})}}\\ & \in & Span(\{b_1,...,b_n,b_{n+1}\})\end{array}$

Span - Mengeninklusion 2

Aus $w\in Span(\{b_1,\dots ,b_n,b_{n+1}\})$ folgt, dass es ein $w_1\in V_n=Span(\{b_1,\dots ,b_n\})$ und ein $w_2=\lambda \cdot b_{n+1}\in Span(\{b_{n+1}\})$ gibt mit:

$\begin{array}{ccc}w& =& w_1+w_2=w_1+\lambda \cdot b_{n+1}=\\ & =& \underset{\in V_n=Span(\{v_1,...,v_n\})}{\underbrace{w_1+\lambda \cdot \sum _{i=1}^n\frac{⟨v_i,b_{n+1}⟩}{⟨v_i,v_i⟩}{v}_i}}+\lambda \cdot \underset{=v_{n+1}}{\underbrace{(b_{n+1}-\underset{\in V_n=Span(\{b_1,...,b_n\})}{\underbrace{\sum _{i=1}^n\frac{⟨v_i,b_{n+1}⟩}{⟨v_i,v_i⟩}{v}_i}})}}\\ & \in & Span(\{v_1,...,v_n,v_{n+1}\})\end{array}$

Nachweis der Orthogonalität

Sei nun $m\in \{1,...,n\}$ beliebig gewählt und man zeigt nun das $⟨v_m,v_{n+1}⟩=0$ gilt:

$\begin{array}{ccc}⟨v_m,v_{n+1}⟩& =& ⟨v_m,b_{n+1}-\sum _{i=1}^n\frac{⟨v_i,b_{n+1}⟩}{⟨v_i,v_i⟩}{v}_i⟩\\ & =& ⟨v_m,b_{n+1}⟩-\sum _{i=1}^n⟨v_m,\frac{⟨v_i,b_{n+1}⟩}{⟨v_i,v_i⟩}{v}_i⟩\\ & =& ⟨v_m,b_{n+1}⟩-\underset{⟨v_m,b_{n+1}⟩}{\underbrace{\frac{⟨v_m,b_{n+1}⟩}{⟨v_m,v_m⟩}\cdot ⟨v_m,v_m⟩}}=0\end{array}$

In der zweiten Gleichung fallen durch die Orthogonalität von $⟨v_m,v_i⟩=0$ für $i=m$ genau $n-1$ weg.

Normalisierung der Vektoren

Wenn die Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ durch normalisierte Vektoren der Länge 1 ersetzt, spannen die normalisierten Vektoren genau den Gleichen Untervektorraum auf und die Skalarprodukte bleiben 0 durch die Semilinearität in der ersten und die Linearität in der zweiten Komponente.

$⟨{\lambda }_k\cdot v_k,{\lambda }_m\cdot v_m⟩=\overline{{\lambda }_k}\cdot {\lambda }_m\cdot \underset{=0}{\underbrace{⟨v_k,v_m⟩}}=0$

Zusammenfassung 1

Die einzelnen Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ des Orthogonalsystems berechnen sich wie folgt:

$v_1=b_1$

$v_2=b_2-\frac{⟨v_1,b_2⟩}{⟨v_1,v_1⟩}{v}_1$

$v_3=b_3-\frac{⟨v_1,b_3⟩}{⟨v_1,v_1⟩}{v}_1-\frac{⟨v_2,b_3⟩}{⟨v_2,v_2⟩}{v}_2$

$⋮$

$v_n=b_n-\frac{⟨v_1,b_n⟩}{⟨v_1,v_1⟩}{v}_1-\frac{⟨v_2,b_n⟩}{⟨v_2,v_2⟩}{v}_2-\cdots -\frac{⟨v_{n-1},b_n⟩}{⟨v_{n-1},v_{n-1}⟩}{v}_{n-1}=b_n-\sum _{i=1}^{n-1}\frac{⟨v_i,b_n⟩}{⟨v_i,v_i⟩}{v}_i$

Zusammenfassung 2

Die Vektoren wurden induktiv definiert für $v_{n+1}$ über die bereits definierten Vektoren $v_i$ für $j=1,2,\dots ,n$.

$v_{n+1}=b_{n+1}-\sum _{i=1}^n\frac{⟨v_i,b_{n+1}⟩}{⟨v_i,v_i⟩}{v}_i$

In dem neu definierten System sind paarweise verschiedene Vektoren zueinander orthogonal und für ein festes $n$ spannt das erzeugte Orthogonalsystem den gleichen Untervektoraum auf. Über die vollständige Induktion wird die Behauptung auf das abzählbare System von linear unabhängigen Vektoren übertragen.

Beispiel - Orthogonalisierung

Im ${ℝ}^3$ versehen mit dem Standardskalarprodukt $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ seien zwei linear unabhängige Vektoren vorgegeben, die einen Untervektorraum erzeugen:

$w_1=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right),w_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Es werden nun zwei orthogonale Vektoren $v_1$ und $v_2$ berechnet, die denselben Untervektorraum erzeugen:

$v_1=w_1=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

$v_2=w_2-\frac{⟨v_1,w_2⟩}{⟨v_1,v_1⟩}\cdot v_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)-\frac{12}{14}\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 2\end{array}\right)$

Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens

Der folgende Algorithmus berechnet zu den linear unabhängigen Vektoren $w_1,\dots ,w_n$ ein Orthonormalsystem von $n$ normierten, paarweise orthogonalen Vektoren, das denselben Untervektorraum erzeugt. Er ist identisch mit einer Normierung der orthogonalen Vektoren, welche durch den obigen Algorithmus bestimmt wurden.

Die einzelnen Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ des Orthonormalsystems erhält man, indem zuerst jeweils ein orthogonaler Vektor berechnet und anschließend normalisiert wird:

$v_1=\frac{w_1}{\Vert w_1\Vert }$ (Normalisieren des ersten Vektors $w_1$)

$v_2^{\prime }=w_2-⟨v_1,w_2⟩\cdot v_1$ (Orthogonalisieren des zweiten Vektors $w_2$)

$v_2=\frac{v_2^{\prime }}{\Vert v_2^{\prime }\Vert }$ (Normalisieren des Vektors $v_2^{\prime }$)

$v_3^{\prime }=w_3-⟨v_1,w_3⟩\cdot v_1-⟨v_2,w_3⟩\cdot v_2$ (Orthogonalisieren des dritten Vektors $w_3$)

$v_3=\frac{v_3^{\prime }}{\Vert v_3^{\prime }\Vert }$ (Normalisieren des Vektors $v_3^{\prime }$)

$⋮$

$v_n^{\prime }=w_n-\sum _{i=1}^{n-1}⟨v_i,w_n⟩\cdot v_i$ (Orthogonalisieren des $n$-ten Vektors $w_n$)

$v_n=\frac{v_n^{\prime }}{\Vert v_n^{\prime }\Vert }$ (Normalisieren des Vektors $v_n^{\prime }$)

Anders gesagt werden die $v_j$ und $v_j^{\prime }$ für $j=1,2,\dots ,n$ also rekursiv durch

$v_j^{\prime }=w_j-\sum _{i=1}^{j-1}⟨v_i,w_j⟩\cdot v_i$ und $v_j=\frac{v_j^{\prime }}{\Vert v_j^{\prime }\Vert }$ definiert.

Im Allgemeinen erhält man durch dieses Verfahren kein besonders ausgezeichnetes System. Im ${ℝ}^3$ muss z. B. erst ein Umordnungsschritt nachgeschaltet werden, um ein Rechts- oder Linkssystem zu erhalten.

Beispiel - Orthonormalisierung

Im ${ℝ}^2$ versehen mit dem Standardskalarprodukt $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ seien zwei Basisvektoren gegeben:

$w_1=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right),w_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$

Es werden nun zwei Vektoren $v_1$ und $v_2$ berechnet, die eine Orthonormalbasis des ${ℝ}^2$ bilden.

$v_1=\frac{w_1}{\Vert w_1\Vert }=\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$

$v_2^{\prime }=w_2-⟨v_1,w_2⟩\cdot v_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)-\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot ⟨\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)⟩\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\end{array}\right)$

$v_2=\frac{v_2^{\prime }}{\Vert v_2^{\prime }\Vert }=\sqrt{\frac{25}{40}}\cdot \frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)$

Anmerkungen

Eine besondere Eigenschaft der beiden Verfahren ist, dass nach jedem Zwischenschritt die bisher berechneten Vektoren $v_1,\dots ,v_i$ den gleichen Vektorraum erzeugen wie die Vektoren $w_1,\dots ,w_i$. Die Vektoren $v_1,\dots ,v_i$ bilden also eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis der entsprechenden Untervektorräume. Anders ausgedrückt ist die Transformationsmatrix, die die Koordinaten des einen Systems im anderen ausdrückt, eine rechtsobere Dreiecksmatrix. Diese hat außerdem eine positive Determinante, daher hat die resultierende Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis die gleiche Orientierung wie die Ausgangsbasis. Fasst man die orthonormalen Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ als Spalten einer Matrix Q zusammen, ebenso die Vektoren des Ausgangssystems $w_1,\dots ,w_n$ zu einer Matrix A, so gibt es eine Dreiecksmatrix R mit A=QR, es wird also eine QR-Zerlegung bestimmt. Dementsprechend kann das Ergebnis der Gram-Schmidt-Orthonormalisierung auch mit anderen Methoden zur QR-Zerlegung bestimmt werden, die mit Givens-Rotationen oder Householder-Spiegelungen arbeiten.

Berechnet man ein Orthonormalsystem von Hand, ist es oftmals einfacher, zunächst ein Orthogonalsystem auszurechnen und dann die einzelnen Vektoren zu normieren. Dadurch erspart man sich das zweifache Normieren und kann oftmals mit einfacheren Werten rechnen. Gegebenenfalls lohnt es sich, vor dem Erstellen des Orthogonalsystems/Orthonormalsystems das Gaußsche Eliminationsverfahren durchzuführen.

Prinzip des Verfahrens

Sind die orthogonalen Vektoren $v_1,\dots ,v_{k-1}$ bereits bestimmt, versuchen wir, von $b_k$ eine passende Linearkombination der Vektoren $v_1,\dots ,v_{k-1}$ abzuziehen, sodass der Differenzvektor

$v_k=b_k-\sum _{i=1}^{k-1}{\lambda }_i{v}_i$

zu allen Vektoren $v_1,\dots ,v_{k-1}$ orthogonal wird. Dies ist gleichbedeutend damit, dass das Skalarprodukt $⟨v_j,v_k⟩$ für alle $j=1,\dots ,k-1$ den Wert 0 ergibt. Eine solche Linearkombination ergibt sich, wenn für jedes $i$ der Ausdruck

${\lambda }_i=\frac{⟨v_i,b_k⟩}{⟨v_i,v_i⟩}$

gewählt wird. Eine Kontrollrechnung zeigt, dass dadurch alle Skalarprodukte $⟨v_j,v_k⟩$ mit $j\ne k$ den Wert 0 annehmen:

$\begin{array}{cc}⟨v_j,v_k⟩& =⟨v_j,b_k-\sum _{i=1}^{k-1}{\lambda }_i{v}_i⟩\\ & =⟨v_j,b_k⟩-\sum _{i=1}^{k-1}\frac{⟨v_i,b_k⟩}{⟨v_i,v_i⟩}⟨v_j,v_i⟩\\ & =⟨v_j,b_k⟩-⟨v_j,b_k⟩\\ & =0\end{array}$

Orthonormalisierung unendlicher Systeme von Vektoren

In einem beliebigen Hilbertraum $H$ lässt sich das Verfahren auch auf unendliche Systeme unabhängiger Vektoren anwenden, wobei die Unabhängigkeit in dem Sinne zu verstehen ist, dass kein Element im Abschluss der linearen Hülle der übrigen Vektoren liegt. Den Fall eines abzählbaren Systems (d. h. $H$ ist ein separabler Hilbertraum) kann direkt auf den oben dargestellten endlichen Fall zurückgeführt werden: Gegeben sei eine unabhängige Folge ${\left(w_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$, so erhält man eine entsprechende orthonormale Folge ${\left(v_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$, indem man für jedes $n\in \mathbb{N}$ das obige Verfahren anwendet und $v_n$ erhält. Allgemeiner kann jedes unabhängige System nach dem Wohlordnungssatz als Folge ${\left(w_{\alpha }\right)}_{\alpha <d}$ für eine Kardinalzahl $d$ und Ordinalzahlen $\alpha$ angesehen werden (im Falle einer dichten linearen Hülle des unabhängigen Systems ist $d$ gerade die Dimension von $H$). Bezeichne nun ${\pi }_A:H\to A$ die orthogonale Projektion auf einen abgeschlossenen Teilraum $A$, die aufgrund der Vollständigkeit des Raumes stets existiert, $\hat{x}$ bezeichne die Normierung $\frac{x}{\Vert x\Vert }$. So ergibt sich ein Orthonormalsystem ${\left(v_{\alpha }\right)}_{\alpha <d}$ durch

$A_{\alpha }:=\overline{\mathrm{span}\left(\{w_{\beta }:\beta <\alpha \}\right)}$

$v_{\alpha }:=\widehat{(w_{\alpha }-{\pi }_{A_{\alpha }}\left(w_{\alpha }\right))}$.

Per transfiniter Induktion lässt sich dann zeigen, dass $A_{\alpha }=\overline{\mathrm{span}\left(\{v_{\beta }:\beta <\alpha \}\right)}$, sogar für $\alpha =d$. Expliziter lässt sich das Verfahren per transfiniter Rekursion wie folgt schreiben:

$v_{\alpha }:=\widehat{(w_{\alpha }-\sum _{\beta <\alpha }⟨v_{\beta },w_{\alpha }⟩\cdot v_{\beta })}$

Hierbei ist die Summe aufgrund der besselschen Ungleichung wohldefiniert (insbesondere sind stets nur abzählbar viele Summanden ungleich Null).

Literatur

• K. Kirchgessner, M. Schreck: Vektoranalysis für Dummies. Das Pocketbuch Paperback . Wiley-VCH, 2012. ISBN 978-3-527-70742-3

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