Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Erneuerbare Energien/Modellierungszyklus 2

Zielsetzung

• Im 1. Modellierungszyklus: lineare Interpolation zwischen den Datenpunkten
• Interpolation der Übergänge zwischen den Messpunkten unter Benutzung von Konvexkombinationen
• "weichere" bzw. "glatte" Übergänge zwischen den gesammelten Datenpunkten, dadurch realitätsnähere Kurve
• Darstellung des Stromverbrauchs/Stromproduktion als differnzierbare Funktion

Vorgehensweise

Bestimmung der Hilfspunkte

Allgemein

• Ermittlung des Hilfspunkts $S_1$ durch Schnittpunkt der Tangenten $t_A$ und $t_B$ der Punkte $A$ und $B$
  

Konstruktion der Tangentengleichung:

• Konstruktion der Winkelhalbierenden $w_A$ bzgl. des Winkels $\alpha$ mit Scheitelpunkt $A$
• Konstruktion der Senkrechten $s_A$ zur Winkelhalbierenden $w_A$
• Die Senkrechte $s_A$ entspricht der gesuchten Tangente $t_A$
• Bestimmung der Funktionsgleichung über GeoGebra
• für $t_B$ bzw. $s_B$ gleiche Vorgehensweise

Schnittpunkt

• Bestimmung des Schnittpunkts $S_1$ zwischen $s_A$ und $s_B$
• Schnittpunktbestimmung erfolgt direkt in GeoGebra

Konstruktion in GeoGeobra

• Konvexkombination 2. Ordnung zwischen zwei Punkte $A$ und $B$ und Hilfspunkt $S$

Konstruktionsschritte

• Punkt $P_0$ mit $P_0=(1-t)A+tB$
• Punkt $P_A$ mit $P_A=(1-t)A+tS$
• Punkt $P_B$ mit $P_B=(1-t)S+tB$
• Punkt $P$ mit $P=(1-t)P_A+t{P}_B$
• Ortslinie von Punkt $P$
• Varriation von $t\in [0,1]$ mit Hilfe eines Schiebereglers

Bestimmung der Hilfspunkte

• Bestimmung von $H_1$ und $H_2$ durch Tangentengleichungen aus Konvexkombination 2. Ordnung
• Bestimmung $x$ Wertes von $H_1$ und $H_2$:

$x_{H_1}=\frac{2}{3}\cdot x_A+\frac{1}{3}\cdot x_B$

$x_{H_2}=\frac{1}{3}\cdot x_A+\frac{2}{3}\cdot x_B$

• $y$ Werte durch Einsetzen der errechneten $x$ Werte in die Tangentengleichungen der jeweiligen Punkte $A$ und $B$
• Konvexkombination 3. Ordnung, falls die beiden Tangenten der beiden Punkte $A$ und $B$ parallel

Konstruktion in GeoGeobra

• Konvexkombination 3. Ordnung zwischen den Punkten $A$ und $B$ mit den Hilfspunkten $H_1$ und $H_2$

Konstruktionsschritte

• Punkt $K_1$ mit $K_1=(1-t)A+t{H}_1$
• Punkt $K_2$ mit $K_2=(1-t)H_1+t{H}_2$
• Punkt $K_3$ mit $K_3=(1-t)H_2+tB$
• Punkt $K_4$ mit $K_4=(1-t)K_1+t{K}_2$
• Punkt $K_5$ mit $K_5=(1-t)K_2+t{K}_3$
• Punkt $P$ mit $P=(1-t)K_4+t{K}_5$
• Ortslinie von Punkt $P$

Bewertung und Optimierung

Bewertung

• stationäres System abhängig von einem bestimmten Tag und einer bestimmten Uhrzeit
• "weichere" und "glättere" Übergänge zwischen den Messwerten durch die Konvexkombination verschiedener Ordnungen
• Man erhält "eine" differenzierbare Funktion durch Konvexkombinationen

Optimierung

• Stromverbrauch/Stromerzeugung dynamische Prozesse, abhängig von verschiedener Faktoren (Digitalisierung, E-Autos, Klima,...)
• Integration neuer Daten zu den bereits vorhandenen Messzeiten in ein dynamisches Modell
• Integration von Zwischenwerten in das dynamische Modell

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