Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Radioaktivität und Risikoliteralität/Mathematische und Physikalische Grundlagen

Radioaktivität

• Zerfallsarten
  • Alpha-Zerfall
  • Beta-Zerfälle
  • Gamma Zerfall

• Halbwertszeit
  • Die Halbwertszeit eines Isotops := Zeit, nach der sich die Menge eines Isotops in einer Probe halbiert hat
  • Die Halbwertszeit radioaktiver Isotope variiert.

• Zerfallsreihen
  • Zerfall eines radioaktiven Nuklid in ein anderes radioaktives Nuklid

• Radioaktivität als unsichtbarer Begleiter
  • Risiken und Maßnahmen

Mathematische Beschreibung eines radioaktiven Zerfalls

• Eine Probe eines radioaktiven Isotops besteht aus einer großen Menge radioaktiver Kerne ⇒ Diese Kerne zerfallen nicht alle gleichzeitig, sondern innerhalb eines gewissen Zeitintervalls
• Es handelt sich dabei um einen Zufallsprozess ⇒ genaue Vorhersage wann ein bestimmter Kern zerfällt nicht möglich, sondern nur eine ungefähre Abschätzung auf Grundlage von Wahrscheinlichkeiten.

Mathematische Beschreibung

• Anzahl der in einem sehr kurzen Zeitintervall $\mathrm{\Delta }t$ stattfindenden Zerfälle $\mathrm{\Delta }N$ ist proportional zu $\mathrm{\Delta }t$ und der der Gesamtzahl $N$ der vorhandenen radioaktiven Kerne: $\mathrm{\Delta }N=-\lambda \cdot N\cdot \mathrm{\Delta }t$

• $\lambda$ : Zerfallskonstante, die je nach Nuklid unterschiedliche Werte annimmt

• $\mathrm{\Delta }N$ : Anzahl der in dem Zeitintervall $\mathrm{\Delta }t$ stattfindenden Zerfälle

Zerfallsgesetz

• Zerfallsgesetz: $N=N_0\cdot e^{-\lambda t}$
• Integrationskonstante $N_0$ : Anzahl der zur Zeit $t=0$ vorhandenen Mutterkerne

• Radioaktive Zerfallsgesetz besagt, dass die Anzahl der radioaktiven Kerne in einer gegebenen Probe mit der Zeit exponentiell abfällt ⇒ Beschreibung eines radioaktiven Zerfalls mithilfe der Exponentialfunktion

• Mit $N=\frac{N_0}{2}$ bei $t=T_{\text{1/2}}$ ergibt sich dadurch: $\frac{N_0}{2}=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot T_{\text{1/2}}}$

• Aus $e^{\lambda \cdot T_{\text{1/2}}}=2$ ergibt sich durch logarithmieren für die Halbwertszeit: $T_{\text{1/2}}=\frac{0,693}{\lambda }$.

• Insgesamt: Funktion zur mathematischen Beschreibung des radioaktiven Zerfalls: $N(t)=N_0\cdot e^{-0,693t/T_{\text{1/2}}}$

Siehe auch

• Wiki2Reveal

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