Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra - Beispiel

Einleitung

In dieser Lerneinheit betrachten wir ein Beispiel zu lokalbeschränkten Räumen und untersuchen die Eigenschaften im Vergleich zu einer normierten Algebra.

Beispiel: Reeller Folgenraum

Man betrachtet den Folgenraum $x:=(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {ℝ}^{\mathbb{N}}$. Für $p\in (0,1]$ definiert man folgende Abbildung:

• $\Vert x{\Vert }_p:=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p$
• mit dem Raum $l_p:=\{(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {ℝ}^{\mathbb{N}}:\Vert x{\Vert }_p<\mathrm{\infty }\}$

Man betrachtet nun die Abbildung $\Vert \cdot {\Vert }_p:l_p\to {ℝ}_0^{+}$.

Aufgabe für Studierende

• Untersuchen Sie, ob $l_p$ mit dem Cauchy-Produkt eine topologische Algebra ist.
• Ist die Algebra lokalbeschränkt?

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