Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - KP-TNT-Summen

Einführung

Der Beweis zum Satz über Summen von Elementen mit kleinen Potenzen und topologischen Nullteilern wurde von Zelazko (1983) über permanente Radikale in kommutativen lokalkonvexen Algebren formuliert. Der folgende Beweis des Satzes über Gaugefunktionale soll zeigen, dass Elementen $z\in 𝒦𝒫(A)+𝒯𝒩𝒯(A)$ sogar in beliebigen topologischen Algebren permanent singuläre Elemente sind.

Topologische kleine Potenzen

Die Aussage steht ebenfalls im Zusammenhang mit dem Begriff der topologisch kleinen Potenzen, denn Summen aus

• Elementen mit kleinen Potenzen und
• topologischen Nullteiler

sind Elemente mit topologisch kleinen Potenzen.

Satz: KP-TNT-Summen

Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in {𝒯}_e^k$, dann besteht die Menge

$$𝒦𝒫(A)+𝒯𝒩𝒯(A):=\{z_1+z_2:z_1\in 𝒦𝒫(A)\wedge z_2\in 𝒯𝒩𝒯(A)\}$$

aus $𝒯$-singulären Elementen.

Beweis - KP-TNT-Summen

Sei $z=z_1+z_2\in 𝒦𝒫(A)+𝒯𝒩𝒯(A)$, dann gibt es für alle $k\in \mathbb{N}$ ein $a_k\in A$ mit $z^k=z_1^k+a_k\cdot z_2$.

Beweis 1 - Lemma über Produkte von TNT

Nach dem Lemma über Produkte mit topologischen Nullteilern ist $a_k\cdot z_2\in 𝒯𝒩𝒯(A)$. Aus $z_1\in 𝒦𝒫(A)$ folgt

$${\mathrm{\forall }}_{\beta \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{n(\beta )\in \mathbb{N}}:{\Vert z_1^{k(\beta )}\Vert }_{\beta }=0.$$

Beweis 2 - Toplogische Nullteiler

Ferner gibt es mit Lemma zur Charakterisierung der topologischen Nullteiler über Gaugefunktionale und $z_2\in 𝒯𝒩𝒯(A)$ ein $\alpha \in 𝒜$, so dass

$$\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert z_{2}x\Vert }_{\beta }=0\text{ für alle }\beta \in 𝒜\text{ gilt.}$$

Beweis 3 - Stetigkeit der Addition

Zu jedem $\beta$ wählt man aufgrund der Stetigkeit der Addition ein $\tilde{\beta }\in 𝒜$ mit

$${\Vert x+y\Vert }_{\beta }\le {\Vert x\Vert }_{\tilde{\beta }}+{\Vert y\Vert }_{\tilde{\beta }}\text{ für alle }x,y\in A.$$

Beweis 4 - Stetigkeit der Multiplikation

Wegen der Stetigkeit der Multiplikation kann man wieder zu jedem $\tilde{\beta }\in 𝒜$ ein $\hat{\beta }\in 𝒜$ finden mit

$${\Vert xy\Vert }_{\tilde{\beta }}\le {\Vert x\Vert }_{\hat{\beta }}\cdot {\Vert y\Vert }_{\hat{\beta }}\text{ für alle }x,y\in A.$$

Beweis 5 - Abschätzung des Infimums

Insgesamt erhält man

$\begin{array}{ccc}\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert z^{k(\hat{\beta })}\cdot x\Vert }_{\beta }& \le & \underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }({\Vert z_1^{k(\hat{\beta })}\cdot x\Vert }_{\tilde{\beta }}+{\Vert a_{k(\hat{\beta })}\cdot z_2\cdot x\Vert }_{\tilde{\beta }})\\ & \le & \underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }(\underset{=0}{\underbrace{{\Vert z_1^{k(\hat{\beta })}\Vert }_{\hat{\beta }}}}\cdot {\Vert x\Vert }_{\hat{\beta }}+{\Vert a_{k(\hat{\beta })}\Vert }_{\hat{\beta }}\cdot {\Vert z_2\cdot x\Vert }_{\hat{\beta }})\\ & =& 0\end{array}$

Beweis 6 - permanente Singularität

Also ist die $𝒯𝒦𝒫$-Bedingung erfüllt und damit ist die Summe aus einem Element mit kleinen Potenzen und einem topologischen Nullteiler ein permanent singuläres Element in $A$ bzw. ist $𝒯$-singulär. $◻$

Siehe auch

• Topologisch kleine Potenzen
• Topologische Nullteiler
• Kleine Potenzen

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