Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung/Softwarenutzung/Tabellenkalkulation

Allgemeines

• Arbeitsblatt mit Spalten und Zeilen
• einfach zu Bedienen
• viele Funktionen und Verwendungsmöglichkeiten:

Wertetabellen, Diagramme, numerische Verfahren, stochastische Experimente etc.

Formeln

• Formeln beginnen mit "="
• Wert der Zelle A1: "=A1"
• Bezug auf andere Zellen möglich

z.B.: Multiplikation der Werte der Zellen A1 und A2:

"=A1*A2"

• relative Bezüge bleiben beim Kopieren oder Verschieben erhalten

verschieden Funktionen

• "=SUMME()": bildet Summe
• "=MITTELWERT()": bildet Mittelwert
• "=VARIANZ()": bildet empirische Stichprobenvarianz
• "=STABW()": bildet Standardabweichung der Stichprobe

Beispiel: Aufgabe Tiere

Erstellen von Diagrammen

• Säulen-, Balken-, Kreis-, Linien-, XY-Streudiagramme möglich
• Datenbereich markieren und über "Einfügen" eine Diagrammart wählen
• Diagrammtyp, Datenbereiche, Beschriftungen, Legenden, Farben etc. können im Nachhinein angepasst werden

Beispiel: Aufgabe Tiere

Aufgabe Tiere Diagramm

weitere wichtige Befehle

• "=ZUFALLSZAHL()*x": erzeugt eine zufällige Zahl aus [0,x[
• "=ZUFALLSBEREICH(x;y)": erzeugt eine zufällige ganze Zahl aus [x,y]
• Wenn-Abfragen:

"=WENN(Bedingung; Wert wenn wahr; Wert wenn falsch)"

"=ZÄHLENWENN(Bereich; Bedingung)"

Beispiel: Monte-Carlo-Simulation

• Näherungsweise Bestimmung von π
• Zwei Spalten X und Y (500 Punkte) in denen jeweils Zufallszahlen in [0,1] simuliert werden
• Überprüfung, ob der simulierte Punkt innerhalb des Kreises liegt
• Näherungsweise Bestimmung von π durch:

$\pi \approx \frac{4\cdot Treffer-in-Kreisfl\ddot{a}che}{Treffer-im-Quadrat}$

Monte-Carlo-Simulation

Beispiel: Monte-Carlo Simulation

Das Newtonverfahren

• Verfahren zur numerischen Nullstellenbestimmung einer Funktion
• Idee: Nullstelle der Tangente in (x_n,f(x_n)) an den Graphen ist neuer Iterationspunkt
• Iterationsvorschrift: $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$
• Abbruchbedingung: $|x_{n+1}-x_n|<\epsilon$

Umsetzung in Excel

• Tabelle mit $x_n,f(x_n),f^{\prime }(x_n),x_{n+1},$ anlegen
• Überprüfung der Abbruchbedingung:

"=WENN((ABS($x_{n+1}-x_n)<\epsilon$));"JA";"NEIN")"

Umsetzung in Excel

Gradientenabstiegsverfahren

• Numerisches Näherungsverfahren im Bereich der Optimierung (z.B: Minimierungsproblem)
• Gradient: Vektor, der in Richtung des steilsten Anstieges zeigt
• Idee: Wähle Startpunkt. Verschiebe diesen immer wieder stückweise in Richtung des negativen Gradienten, bis der Gradient gleich Null ist → Minimum oder Sattelpunkt

Umsetzung in Excel

• Wähle Startstelle $(x_1,x_2)$
• Berechne $\frac{df}{d{x}_1}$ und $\frac{df}{d{x}_2}$
• Schritt in $x_1$Richtung:

"=- $\frac{df}{d{x}_1}$ * Schrittweite / WURZEL(${\frac{df}{d{x}_1}}^2$ + ${\frac{df}{d{x}_2}}^2$)"

• Schritt in $x_2$ Richtung analog
• neue Schrittweite:

"=WENN(f($x_{n+1}$) > f($x_n$); Schrittweite/2; Schrittweite)"

Umsetzung in Excel

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