Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung/Zyklus 2 Teilprojekt 1

Einführung in das Thema

Kurzvorstellung

Untersuchen der Luftqualität in Klassenräumen im Hinblick auf die Sitzordnung

• im ersten Lockdown (März 2020) Schließungen von jeglichen Bildungseinrichtungen

• Präsenzunterricht soll nicht mehr ausfallen

• deshalb mittlerweile (seit Juni 2020) Hygiene-Konzepte, die neben den AHA-Regeln auch regelmäßiges Lüften vorsehen

• aufgrund dieser Relevanz Thema dieses Projekts

Mathematische Aspekte

Fragestellung der Modellierung:

Wie gut werden verschiedenen Raumpunkte und Bereiche in einem Klassenzimmer gelüftet und was bedeutet dies für die Sitzordnung?

Bezug zur Mathematik

Modellierung auf verschiedenen Niveaus:

• Sekundarstufe 1: elementare Geometrie
• Sekundarstufe 2: analytische Geometrie
• Universität: mehrdimensionale Analysis
• verwendete Programme: Geogebra, Maxima

Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2

Ablauf eines Modellierungszyklus'

Modellbildungszyklus

Einführung

• Betrachtung des Klassenzimmers als dreidimensionaler Körper

⇒ Luftgüte ist jedem einzelnen Raumpunkt zuzuordnen

3D Modell zur Bewertung der Luftqualität im Klassenzimmer

3D Modell zur Bewertung der Luftqualität im Klassenzimmer

Vorläufiges Modell

• Luftströme zwischen Tür und Fenster als schiefe Pyramidenstümpfe
• inkl. zusätzlichem Teilstück um die Fenster und die Tür

⇒Annahme: Gesamter Pyramidenstumpf optimal belüftet

• Abstand des Raumpunkts zur Oberfläche des äußersten Pyramidenstumpfes als Maß für die Luftqualität
• berechenbar über das Lotfußpunktverfahren

Problematik

• 16 Ebenen und 36 Kanten, zu denen Abstand bestimmt werden könnte

⇒ Zuordnung und resultierende Berechnung wird zu komplex

Lösung des Problems

• Betrachtung der Geraden zwischen den Schwerpunkten der Tür und der Fenster
• Berechnung wird ohne Verlust an Aussagekraft vereinfacht, eher Verbesserung

⇒ realitätsnäher

• nur Bereich der Gerade wird optimal belüftet, je weiter weg, desto schlechter

Überarbeitetes 3D Modell zur Bewertung der Luftqualität im Klassenzimmer - https://www.geogebra.org/classic/sd7cj7x4

[1]

Berechnung

Vorgehensweise (1)

• Abstand des Punktes zu den Schwerpunktgeraden zwischen der Tür und den Fenstern als Indikator für Lüftungsqualität
• Verwendung des Lotfußpunktverfahrens oder Abstand zwischen dem Schwerpunkt des jeweiligen Fensters und dem Raumpunkt
• Abstände zu allen Strecken in Kombination werden betrachtet

Vorgehensweise (2)

• Die Lüftungsgüte wird so normiert, sodass sie auf jede einzelne Strecke bezogen nur einen Wert zwischen Null und Eins erreichen kann
• Eins ist optimale Lüftung, Null keine Lüftung
• Die Lüftungsgüte der einzelnen Strecken werden addiert: Gesamtlüftungsgüte hat Werte zwischen Null und Vier

Beispielrechnung

1.

Berechnung vom Abstand von einem beliebigen Punkt $P$ zu allen Strecken, welche von der Tür zu einem der vier Fenster verlaufen

1.1

• Abstand des Punktes $P$ zur Strecke $ϵ$
• Punkt $T$ sei der Mittelpunkt der Tür, Punkt $F_4$ der Mittelpunkt des vierten Fensters.
• Gerade $e$ ist die Trägergerade der Strecke $ϵ$

1.2

• Geradengleichung von $e$: $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{T}+\lambda \cdot (\overrightarrow{F_4}-\overrightarrow{T})$.
• Abstand von $P$ zu $e$ mithilfe des Lotfußpunktverfahrens.

1.3

• Normalengleichung der Hilfsebene $h_4$: $(\overrightarrow{P}-\overrightarrow{x})\cdot (\overrightarrow{F_4}-\overrightarrow{T})=\overrightarrow{0}$ (Skalarprodukt)
• Schnittpunkt der Gerade $e$ und der Hilfsebene $h_4$:
• Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung: $(\overrightarrow{P}-(\overrightarrow{T}+\lambda \cdot (\overrightarrow{F_4}-\overrightarrow{T})))\cdot (\overrightarrow{F_4}-\overrightarrow{T})=\overrightarrow{0}$
• Auflösen nach Parameter $\lambda$
• Einsetzen in die Geradengleichung von $e$ ergibt den Lotfußpunkt $L{F}_4$ von $P$ auf $e$.

Fallunterscheidung

Fall 1:

• Lotfußpunkt $L{F}_4$ liegt innerhalb des Klassenzimmers $[0;9]$x$[0;7]$x$[0;3]$
• Betrag des Vektors $|\overrightarrow{P}-\overrightarrow{L{F}_4}|$ ist Abstand von Punkt $P$ zur Strecke $ϵ=|T{F}_4|$
• Betrag berechnet sich durch: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
• Es folgt: $|\overrightarrow{P}-\overrightarrow{L{F}_4}|=\sqrt{(P_x-L{F}_{4x}{)}^2+(P_y-L{F}_{4y}{)}^2+(P_z-L{F}_{4z}{)}^2}$.

Fallunterscheidung

Fall 2:

• Lotfußpunkt $L{F}_4$ liegt außerhalb des Klassenzimmers $[0;9]$x$[0;7]$x$[0;3]$
• Abstand zur Trägergeraden entspricht nicht dem geringsten Abstand zur eigentlichen Strecke
• Lage des Lotfußpunkts ist an dessen y-Koordinate zu erkennen
• Ist y-Koordinate > 7, so befindet sich der Lotfußpunkt nicht mehr im Quader
• Abstand von Punkt $P$ zum Schwerpunkt $F_4$ von Fenster 4: $|\overrightarrow{P}-\overrightarrow{F_4}|=\sqrt{(P_x-F_{4x}{)}^2+(P_y-F_{4y}{)}^2+(P_z-F_{4z}{)}^2}$

2.

Berechnung der Lüftungsqualität

2.1

• Abstand muss sinnvoll normiert werden. Hierzu wurde folgende Gleichung gewählt: $L_4=\frac{1}{1+{s_4}^2}$
• $L_4$ ist Lüftungsqualität im Bezug zu Fenster 4
• $s_4$ Abstand zu der Lüftungsgeraden von Fenster 4
• Die Lüftungsgüte kann nur Werte im Bereich $(0,1]$ annehmen
• Mit immer größer werdendem Abstand konvergiert Lüftungsqualität gegen Null
• Quadrieren des Abstandes führt dazu, dass Abständen im Bereich $(0,1)$ um die Schwerpunktgeraden herum kleinere Werte zugeordnet werden

2.2

• Insgesamt Lüftungsgüte $L_{gesamt}\in (0,4]$: Summe der einzelnen Werte $L_1$ bis $L_4$: $L_{gesamt}=L_1+L_2+L_3+L_4$
• Lüftungsgüte von vier bedeutet eine ideale Lüftung

Umsetzung in GeoGebra

• Fallunterscheidung: für jede Lüftungsstrecke werden zwei Vektoren definiert.
• $v_1$ vom Raumpunkt zum Lotfußpunkt a
• $v_2$ vom Raumpunkt zum jeweiligen Fensterschwerpunkt
• bedingte Sichtbarkeit für $v_2$
• Wahrheitswert: "$IstDefiniert(v_1)$"
• $v_2$ einblenden, falls $IstDefiniert(v_1)=false$
• "wenn-Abfrage" zur Angabe des Abstands

Wenn der erste Vektor definiert ist, ist der Abstand $|v_1|$, ansonsten $|v_2|$

Bewertung (1)

• Luftqualität für jeden Raumpunkt bestimmbar
• Skaliertes Maß
• Abstände zu allen Luftkorridoren fließen ins Maß ein

⇒ Verbesserung gegenüber des ersten Zyklus'

• erstes Modell liefert qualitativen Überblick
• zweites Modell liefert quantitative Informationen

Bewertung (2)

• für Schülerverteilung: Referenzwert von Nöten
• Wie ist dieser zu wählen?
• Mittelwert nicht berechenbar

⇒ funktionaler Zusammenhang

Optimierung Modellierungszyklus 2

• weiterhin Annahme, dass Volumenstrom zwischen Tür und Fenster gleich bleibt

⇒ Ab- oder Zunahme vom Fenster zur Tür hin

• Betrachtung der Geraden führt dazu, dass nur Punkte auf der Geraden selbst als optimal belüftet gelten

⇒ im nahen Bereich um die Gerade vermutlich gleiche Belüftung wie auf der Geraden

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