Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)

Einleitung

Wir untersuchen hier Folgen gegen $0\in ℂ$ und das Verhalten von $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$ für diese Folgen, die gegen die wesentliche Singularität 0 konvergieren. Dieses konstruktive Vorgehen zeigt, dass es für jeden Bildpunkt in $w\in ℂ$ und in jeder punktierten $\epsilon$-Umgebung um 0 eine Folge ${\left(z^{(n)}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ existiert, deren Bildfolge ${(f(z^{(n)}))}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $w\in ℂ$ konvergiert.

Laurant-Reihe für exp(1/z)

Zunächst notieren wir die Laurent-Reihe für $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$ mit $z=z_1+i{z}_2\in ℂ\setminus \{0\}$ über die Definition der Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt $z_o=0$.

$f(z)=e^{\frac{1}{z}}=e^{z^{-1}}=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{z^{-n}}{n!}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^0\frac{z^n}{(-n)!}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^0\frac{1}{(-n)!}\cdot z^n$.

Berechnen Sie nun die Laurent-Entwicklung $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$ mit einem Entwicklungspunkt $z_o=0$!

Bildpunkte von punktierten $\epsilon$-Umgebungen

Als Spezialfall des Satzes von Casorati-Weierstrass zeigen wir konstruktiv für $f(x):=e^{\frac{1}{z}}$:

${\mathrm{\forall }}_{w\in ℂ}\mathrm{\exists }{\left(z^{(n)}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}^{(n)}=0$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(z^{(n)})=w=w_1+i{w}_2$

Beweis (konstruktiv)

Für die Bildpunkte $w=w_1+i{w}_2\in ℂ$ wird eine Fallunterscheidung

• Fall 1: $w=0$
• Fall 2: $w=0$

vorgenommen.

Fall 1:

Sei $w=w_1+i{w}_2\in ℂ\setminus \{0\}$ beliebig gewählt. Sei $w=0$. Definieren Sie eine Folge ${\left(z^{(n)}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in $z^{(n)}=z_1^{(n)}+i{z}_2^{(n)}\in ℂ\setminus \{0\}$ mit

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}^{(n)}=0$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(z^{(n)})=w=w_1+i{w}_2$

Folgendefinition (Fall 1)

Wir verwenden die Polarkoordinatendarstellung von $w=w_1+i{w}_2\in ℂ\setminus \{0\}$ mit

$w=w_1+i{w}_2=|w|\cdot (\cos (\alpha )+i\cdot \sin (\alpha ))=|w|\cdot e^{i\alpha }$

$z^{(n)}=z_1^{(n)}+i{z}_2^{(n)}=\frac{1}{log(|w|)+i\cdot (\alpha +2\pi n)}\in ℂ\setminus \{0\}$

Wir zeigen die obige Konvergenzeigenschaft:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f\left(z^{(n)}\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f\left(\frac{1}{log(|w|)+i\cdot (\alpha +2\pi n)}\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{log(|w|)+i\cdot (\alpha +2\pi n)}$

$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|w|\cdot e^{i\alpha +2\pi n}=|w|\cdot e^{i\alpha }=w=w_1+i{w}_2$

Fall 2:

Sei $w=0$. Definieren Sie eine Folge ${\left(z^{(n)}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in $z^{(n)}=z_1^{(n)}+i{z}_2^{(n)}\in ℂ\setminus \{0\}$ mit

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}^{(n)}=0$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(z^{(n)})=0$

Folgendefinition (Fall 2)

Wir verwenden die Eigenschaft der Exponentialfunktional aus $ℝ$ mit $w=0$ mit

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-n}=0$

$z^{(n)}=z_1^{(n)}+i{z}_2^{(n)}=-\frac{1}{n}+i\cdot 0\in ℂ\setminus \{0\}$

Wir zeigen nun die obigen Konvergenzeigenschaften!

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}^{(n)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }-\frac{1}{n}=0$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f\left(z^{(n)}\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(-\frac{1}{n})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-n}=0$

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