Kurs:Stochastik/Bernoulli-Experiment/weitere Eigenschaften

Eigenschaften

Variationskoeffizient

Die Bernoulliverteilung hat folgenden Variationskoeffizient

$\mathrm{VarK}(X)=\sqrt{\frac{q}{p}}$

Symmetrie

Für den Parameter $p=\frac{1}{2}$ ist die Bernoulli-Verteilung symmetrisch um den Punkt $a=\frac{1}{2}$.

Schiefe

Die Schiefe der Bernoulli-Verteilung ist

$\mathrm{v}(X)=\frac{1-2p}{\sqrt{pq}}$

Dies kann folgendermaßen gezeigt werden. Eine standardisierte Zufallsvariable $\frac{X-\mathrm{E}(X)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}}$ mit $X$ Bernoulli-verteilt nimmt den Wert $\frac{q}{\sqrt{pq}}$ mit Wahrscheinlichkeit $p$ an und den Wert $-\frac{p}{\sqrt{pq}}$ mit Wahrscheinlichkeit $q$. Damit erhalten wir für die Schiefe

$\begin{array}{cc}\mathrm{v}(X)& =\mathrm{E}\left[{\left(\frac{X-\mathrm{E}(X)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}}\right)}^3\right]\\ & =p\cdot {\left(\frac{q}{\sqrt{pq}}\right)}^3+q\cdot {(-\frac{p}{\sqrt{pq}})}^3\\ & =\frac{1}{{\sqrt{pq}}^3}(p{q}^3-q{p}^3)\\ & =\frac{pq}{{\sqrt{pq}}^3}(q-p)\\ & =\frac{q-p}{\sqrt{pq}}\end{array}$

Wölbung und Exzess

Der Exzess der Bernoulli-Verteilung ist

$\gamma (X)=\frac{1-6pq}{pq}$

und damit ist die Wölbung

${\beta }_2(X)=\frac{1-3pq}{pq}$

Momente

Alle k-ten Momente $m_k$ sind gleich und es gilt

$m_k=p$.

Es ist nämlich

$m_k=E\left(X^k\right)=p\cdot 1^k+q\cdot 0^k=p$.

Entropie

Die Entropie der Bernoulli-Verteilung ist

$\mathrm{H}=-q{\log }_2(q)-p{\log }_2(p)$

gemessen in Bit.

Modus

Der Modus der Bernoulli-Verteilung ist

$x_D=\{\begin{array}{cc}0& \text{falls }q>p\\ 0;1& \text{falls }q=p\\ 1& \text{falls }q<p\end{array}$.

Median

Der Median der Bernoulli-Verteilung ist

${\tilde{m}}_X=\{\begin{array}{cc}0& \text{falls }q>p,\\ 1& \text{falls }q<p,\end{array}$

falls $p=q$ gilt, ist jedes ${\tilde{m}}_X\in [0,1]$ ein Median.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

$g_X(t)=\ln (p{e}^t+q)$.

Damit sind die ersten Kumulanten ${\kappa }_1=p,{\kappa }_2=pq$ und es gilt die Rekursionsgleichung

${\kappa }_{n+1}=p(1-p)\frac{d{\kappa }_n}{dp}.$

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist

$m_X(t)=1-p+pt$

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist

${\phi }_X(t)=1-p+p{e}^{\mathrm{i}t}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist

$M_X(t)=1-p+p{e}^t$