Komplexe Zahlen/Definition

Definition: Komplexe Zahlen

Seien $a_1,a_2\in ℝ$ gegeben. Eine komplexe Zahl ist dann $a:=a_1+i\cdot a_2$ mit $i^2=-1$

Definition: Konjugiert komplexe Zahl

Seien $a_1,a_2\in ℝ$ und eine komplexe Zahl ist dann $a:=a_1+i\cdot a_2$ mit $i^2=-1$ gegeben. Die konjugiert komplexe Zahl $\bar{a}$ ist dann wie folgt definiert:

$\bar{a}:=a_1-i\cdot a_2$

Definition: Betrag einer komplexen Zahl

Seien $a_1,a_2\in ℝ$ und eine komplexe Zahl ist dann $a:=a_1+i\cdot a_2$ mit $i^2=-1$ gegeben. Der Betrag einer komplexen Zahl $|a|$ ist dann wie folgt definiert:

$|a|:=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$

Aufgabe

• Zeigen Sie, dass $|a|=\sqrt{a\cdot \bar{a}}$ für beliebige komplexe Zahlen $a\in ℂ$ gilt!
• Zeigen Sie, dass $|a+b|\le |a|+|b|$ für beliebige komplexe Zahlen $a,b\in ℂ$ gilt! Wann gilt die Gleichheit?

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