Holomorphie/Kriterien

Einleitung

Holomorphie einer Funktion $f:U\to ℂ$ in einem Punkt $z_0\in U$ ist eine Umgebungseigenschaft von $z_0$. Dazu gibt es in der komplexen Analysis zahlreiche Kriterien, mit denen man die Holomorphie überprüfen kann. Im Folgenden sei $U\subseteq ℂ$ ein Gebiet als Teilmenge der komplexen Ebene und $z_0\in U$ ein Punkt dieser Teilmenge.

Animation - Veranschaulichung der Abbildung

Die Animation zeigt für die Funktion $f(z)=\frac{1}{z}$. Für die Animation werden $z$ in blauer Farbe und der zugehörige Bildpunkt $f(z)$ in roter Farbe dargestellt. Der Punkt $z$ und $f(z)$ werden dabei in $ℂ\widetilde{=}{ℝ}^2$ dargestellt. Die $y$-Achse repräsentiert den Imaginärteil einer komplexen Zahl $z$ bzw. $f(z)$. Der blaue Punkt $z$ bewegt sich auf dem Weg $\gamma (t):=t\cdot (cos(t)+i\cdot \sin (t))$

Animation

Komplexe Differenzierbarkeit

Eine Funktion $f:U\to ℂ$ heißt komplex differenzierbar im Punkt $z_0$, falls der Grenzwert

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$

mit $h\in ℂ$ existiert. Man bezeichnet ihn dann als $f^{\prime }(z_0)$.

Holomorphie

Die Funktion $f:U\to ℂ$ heißt holomorph im Punkt $z_0$, falls eine Umgebung $U_0\subseteq U$ von $z_0$ existiert, in der $f$ komplex differenzierbar ist. Ist $f$ auf ganz $U$ holomorph, so nennt man $f$ holomorph. Ist weiter $U=ℂ$, so nennt man $f$ eine ganze Funktion.

Holomorphiekriterien

Sei $f:U\to ℂ$ eine Funktion $U\subseteq ℂ$ Gebiet, dann sind folgende Eigenschaften der komplexwertigen Funktionen $f$ äquivalent:

(HK1) 1x komplex differenzierbar

Die Funktion $f$ ist einmal komplex differenzierbar auf $U$.

(HK2) beliebig oft komplex differenzierbar

Die Funktion $f$ ist beliebig oft komplex differenzierbar auf $U$.

(HK3) Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

Real- und Imaginärteil erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf $U$.

(HK4) Lokal in Potenzreihen entwickelbar

Die Funktion lässt sich lokal auf $U$ in eine komplexe Potenzreihe entwickeln.

(HK5) Wegintegrale 0

Die Funktion $f$ ist stetig und das Wegintegral der Funktion über einen beliebigen geschlossenen zusammenziehbaren Weg verschwindet (d.h. Umlaufzahl des Wegintegrals für alle Punkte aus dem Komplement von $U$ ist 0).

(HK6) Cauchysche Integralformel

Die Funktionswerte im Inneren einer Kreisscheibe lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der cauchyschen Integralformel ermitteln.

(HK7) Cauchy-Riemann-Operator

$f$ ist reell differenzierbar und es gilt
$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0,$
wobei $\frac{\partial }{\partial \overline{z}}$ der Cauchy-Riemann-Operator ist, der durch $\frac{\partial }{\partial \overline{z}}:=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y})$ definiert ist.

Aufgaben

• Seinen $a,z_o\in ℂ$ beliebig gewählt, es gelte $a\ne z_o$. Entwickeln Sie nun den Funktion $f(z):=\frac{1}{z-a}$ für $z\in ℂ\setminus \{a\}$ in eine Potenzreihe um $z_o\in ℂ$ und zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt:

$$f(z)=\frac{1}{z-a}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}-\frac{1}{(a-z_o{)}^{n+1}}\cdot (z-z_o{)}^n$$

• Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe! Erläutern Sie, warum der Konvergenzradius in der berechneten Weise von $a,z_o\in ℂ$ abhängt und nicht größer sein kann!
• Dass aus der einmaligen Differenzierbarkeit der holomorphen Funktion $f$ auch folgt, dass $f$ unendlich oft differenzierbar ist, gilt in der reellen Analysis nicht. Betrachten Sie die auf ganz $ℝ$ definierte Funktion $g(x):=x\cdot |x|$.
• Erläutern Sie, mit welchen zentralen Satz der Funktionaltheorie aus dem Kriterium 1 das Kriterium 2 folgt!

Siehe auch

• Kurs:Funktionentheorie
• Kurs:Funktionentheorie/Quiz