Kurs:Vektor-Algebra/Basis

Multiplikation eines Vektors mit einer skalaren Größe

Es sei V ein Vektor und S eine skalare Größe mit dem Zahlenwert {S} und der Einheit [S], also

$S=\left\{S\right\}\cdot \left[S\right].$

(Gelesen: Größenwert von S = Zahlenwert von S mal Einheit von S.)

Der Größenwert des Vektors V sei analog V = {V}·[V]. Dann ist der Vektor W = S·V ein Vektor von der Richtung des Vektors V und dem Größenwert W = {S}·{V}·[S]·[V]. Anders ausgedrückt:

Der Größenwert des Vektors W ist gleich dem Größenwert von S multipliziert mit dem Größenwert von V, die Richtung des Vektors W ist dieselbe wie des Vektors V, wenn der Zahlenwert von S größer null ist, anderenfalls entgegengesetzt.

Beispiel: Die Kraft F, die eine elektrische Ladung Q in einem Punkt eines elektrischen Feldes mit der Feldstärke E erfährt, ist

$𝐅=Q\cdot 𝐄.$

Für Q > 0 ist $𝐅\uparrow \uparrow 𝐄$, anderen falls ist $𝐅\uparrow \downarrow 𝐄$.

Es sei zum Beispiel E = 4,0·10⁵ V/m und Q = 3,2·10^-8 As, dann ist der Größenwert des Vektors F

$F=3,2\cdot 10^{-8}\text{As}\cdot 4,0\cdot 10^5\text{V/m = 3}\text{,2}\cdot {\text{10}}^{\text{ - 8}}\cdot 4,0\cdot 10^5\frac{\text{AsV}}{\text{m}}$ $F=12,8\cdot 10^{-3}\text{N}\text{.}$

Jeder Vektor V kann dann dargestellt werden als das Produkt seines Größenwertes mit dem Einheitsvektor e_V= V₀, das ist ein Vektor mit derselben Richtung wie der Vektor V und dem Größenwert 1:

(3.1)

$𝐕=V\cdot {𝐞}_{𝐕}.$

Umgekehrt ist der Einheitsvektor von der Richtung des Vektors V:

(3.2)

${𝐞}_{𝐕}={𝐕}_0=\frac{𝐕}{V}=\frac{1}{V}𝐕.$

Die (bisher noch nicht definierte) Division eines Vektors durch einen Skalar wird dabei interpretiert als Multiplikation mit dem Kehrwert des Skalars. Diese Definition wird hiermit nachgeholt: Es sei

(3.3)

$\frac{𝐕}{S}=\frac{1}{S}𝐕.$

Beispiel: Die Feldstärke E in einem Punkt eines elektrischen Feldes ist der Quotient aus der Kraft F , die eine elektrische Ladung Q dort erfährt, und der Ladung:

$𝐄=\frac{𝐅}{Q}=\frac{1}{Q}𝐅$